Theorem evlsgsumadd 22015

Description: Polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsgsumadd.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsgsumadd.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsgsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evlsgsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsgsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsgsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsgsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsgsumadd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsgsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsgsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsgsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evlsgsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evlsgsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evlsgsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evlsgsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsgsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evlsgsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evlsgsumadd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		evlsgsumadd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
5		evlsgsumadd.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5	subrgring 20495	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		evlsgsumadd.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
9	8	mplring 21939	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ Ring)
10	3, 7, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
11		ringcmn 20200	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
13		evlsgsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14		crngring 20169	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
16		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V
17	15, 16	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V))
18		evlsgsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
19	18	pwsring 20242	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
20		ringmnd 20167	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
21	17, 19, 20	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
22		nn0ex 12494	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24		evlsgsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
25	23, 24	ssexd 5318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
26		evlsgsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
27		evlsgsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
28	26, 8, 5, 18, 27	evlsrhm 22012	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
29	3, 13, 4, 28	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
30		rhmghm 20405	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
31		ghmmhm 19164	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
32	29, 30, 31	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
33		evlsgsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		evlsgsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
35	1, 2, 12, 21, 25, 32, 33, 34	gsummptmhm 19879	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
36	35	eqcomd 2733	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8834   finSupp cfsupp 9375  ℕ₀cn0 12488  Basecbs 17165   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17406   Σ_g cgsu 17407   ↑_s cpws 17413  Mndcmnd 18679   MndHom cmhm 18723   GrpHom cghm 19151  CMndccmn 19719  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158   RingHom crh 20390  SubRingcsubrg 20488   mPoly cmpl 21819   evalSub ces 21994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-cring 20160  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-assa 21767  df-asp 21768  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-evls 21996

This theorem is referenced by: (None)