Theorem evlsgsumadd 22042

Description: Polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsgsumadd.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsgsumadd.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsgsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evlsgsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsgsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsgsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsgsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlsgsumadd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsgsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsgsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsgsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evlsgsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evlsgsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evlsgsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evlsgsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsgsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evlsgsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evlsgsumadd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		evlsgsumadd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
5		evlsgsumadd.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6	5	subrgring 20515	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
8		evlsgsumadd.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
9	8	mplring 21966	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ Ring)
10	3, 7, 9	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
11		ringcmn 20220	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
13		evlsgsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
14		crngring 20187	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
16		ovex 7448	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V
17	15, 16	jctir 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V))
18		evlsgsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
19	18	pwsring 20262	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
20		ringmnd 20185	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
21	17, 19, 20	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
22		nn0ex 12506	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24		evlsgsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
25	23, 24	ssexd 5319	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
26		evlsgsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
27		evlsgsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
28	26, 8, 5, 18, 27	evlsrhm 22039	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
29	3, 13, 4, 28	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
30		rhmghm 20425	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
31		ghmmhm 19182	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
32	29, 30, 31	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
33		evlsgsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
34		evlsgsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
35	1, 2, 12, 21, 25, 32, 33, 34	gsummptmhm 19897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
36	35	eqcomd 2731	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑_m cmap 8841   finSupp cfsupp 9383  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17177   ↾_s cress 17206  0_gc0g 17418   Σ_g cgsu 17419   ↑_s cpws 17425  Mndcmnd 18691   MndHom cmhm 18735   GrpHom cghm 19169  CMndccmn 19737  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176   RingHom crh 20410  SubRingcsubrg 20508   mPoly cmpl 21841   evalSub ces 22021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-srg 20129  df-ring 20177  df-cring 20178  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-assa 21789  df-asp 21790  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-evls 22023

This theorem is referenced by: (None)