Theorem evls1muld 22598

Description: Univariate polynomial evaluation of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1muld.1	⊢ × = (.r‘𝑊)
evls1muld.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1muld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1muld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1muld.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1muld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1muld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1muld.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1muld.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1muld.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1mul 22456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(.r‘𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1muld.1	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑊)
13	12	oveqi 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6893	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressmulr 17393	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1muld.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)))
28	5	subrgring 20737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 12, 30, 2, 3	ringcld 20397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)))
33	27, 32	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)))
34	33	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶))
35		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
36		evls1muld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
37		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
38		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
39	4, 5, 6, 7, 8, 37, 38, 35	ressply1bas2 22453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
40		inss2 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
41	39, 40	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
42	41, 2	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	26	fveq1d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
44	2	fvresd 6899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
45	43, 44	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
46	45	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
47	42, 46	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
48	41, 3	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
49	26	fveq1d 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
50	3	fvresd 6899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
51	49, 50	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
52	51	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
53	48, 52	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
54		evls1muld.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
55	24, 4, 23, 35, 25, 36, 47, 53, 15, 54	evl1muld 22569	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
56	55	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57	21, 34, 56	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  ._rcmulr 17344  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  SubRingcsubrg 20732  PwSer₁cps1 22401  Poly₁cpl1 22403   evalSub₁ ces1 22539  eval₁ce1 22540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-evls1 22541  df-evl1 22542

This theorem is used by:  evls1maprhm  22602  irngnzply1lem  34201  minplyirred  34222  irredminply  34227  cos9thpiminplylem6  34298