Theorem evls1muld 22532

Description: Univariate polynomial evaluation of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1muld.1	⊢ × = (.r‘𝑊)
evls1muld.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1muld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1muld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1muld.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1muld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1muld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1muld.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1muld.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1muld.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1mul 22390	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(.r‘𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1muld.1	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑊)
13	12	oveqi 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressmulr 17355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1muld.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22530	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)))
28	5	subrgring 20673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 12, 30, 2, 3	ringcld 20334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)))
33	27, 32	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)))
34	33	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶))
35		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
36		evls1muld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
37		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
39	4, 5, 6, 7, 8, 37, 38, 35	ressply1bas2 22387	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
40		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
41	39, 40	eqsstrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
42	41, 2	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	26	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
44	2	fvresd 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
45	43, 44	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
46	45	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
47	42, 46	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
48	41, 3	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
49	26	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
50	3	fvresd 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
51	49, 50	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
52	51	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
53	48, 52	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
54		evls1muld.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
55	24, 4, 23, 35, 25, 36, 47, 53, 15, 54	evl1muld 22503	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
56	55	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57	21, 34, 56	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  ._rcmulr 17306  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311  SubRingcsubrg 20668  PwSer₁cps1 22335  Poly₁cpl1 22337   evalSub₁ ces1 22473  eval₁ce1 22474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-evls1 22475  df-evl1 22476

This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22536  irngnzply1lem  34080  minplyirred  34101  irredminply  34106  cos9thpiminplylem6  34177