MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1muld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1muld 22392
Description: Univariate polynomial evaluation of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl2.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
ressply1evl2.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
ressply1evl2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1muld.1 × = (.r𝑊)
evls1muld.2 · = (.r𝑆)
evls1muld.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1muld.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1muld.m (𝜑𝑀𝐵)
evls1muld.n (𝜑𝑁𝐵)
evls1muld.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
evls1muld (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1muld
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝜑𝜑)
2 evls1muld.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐵)
3 evls1muld.n . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐵)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
5 ressply1evl2.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
6 ressply1evl2.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑈)
7 ressply1evl2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
8 evls1muld.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 eqid 2735 . . . . . . 7 ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)
104, 5, 6, 7, 8, 9ressply1mul 22248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵𝑁𝐵)) → (𝑀(.r𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
111, 2, 3, 10syl12anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀(.r𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12 evls1muld.1 . . . . . 6 × = (.r𝑊)
1312oveqi 7444 . . . . 5 (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r𝑊)𝑁)
147fvexi 6921 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r‘(Poly1𝑆)) = (.r‘(Poly1𝑆))
169, 15ressmulr 17353 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (.r‘(Poly1𝑆)) = (.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (.r‘(Poly1𝑆)) = (.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))
1817oveqi 7444 . . . . 5 (𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
1911, 13, 183eqtr4g 2800 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))
2019fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁)))
2120fveq1d 6909 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶))
22 ressply1evl2.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23 ressply1evl2.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
24 eqid 2735 . . . . . 6 (eval1𝑆) = (eval1𝑆)
25 evls1muld.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2622, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8ressply1evl 22390 . . . . 5 (𝜑𝑄 = ((eval1𝑆) ↾ 𝐵))
2726fveq1d 6909 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)))
285subrgring 20591 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
296ply1ring 22265 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
308, 28, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
317, 12, 30, 2, 3ringcld 20277 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ 𝐵)
3231fvresd 6927 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)))
3327, 32eqtr2d 2776 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)))
3433fveq1d 6909 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶))
35 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑆)) = (Base‘(Poly1𝑆))
36 evls1muld.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
37 eqid 2735 . . . . . . . 8 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
38 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(PwSer1𝑈)) = (Base‘(PwSer1𝑈))
394, 5, 6, 7, 8, 37, 38, 35ressply1bas2 22245 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))))
40 inss2 4246 . . . . . . 7 ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1𝑆))
4139, 40eqsstrdi 4050 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1𝑆)))
4241, 2sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
4326fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑀) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
442fvresd 6927 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1𝑆)‘𝑀))
4543, 44eqtr2d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑀) = (𝑄𝑀))
4645fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶))
4742, 46jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶)))
4841, 3sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
4926fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
503fvresd 6927 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1𝑆)‘𝑁))
5149, 50eqtr2d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑁) = (𝑄𝑁))
5251fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶))
5348, 52jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
54 evls1muld.2 . . . 4 · = (.r𝑆)
5524, 4, 23, 35, 25, 36, 47, 53, 15, 54evl1muld 22363 . . 3 (𝜑 → ((𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶))))
5655simprd 495 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
5721, 34, 563eqtr3d 2783 1 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  PwSer1cps1 22192  Poly1cpl1 22194   evalSub1 ces1 22333  eval1ce1 22334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evls1 22335  df-evl1 22336
This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22396  irngnzply1lem  33705  minplyirred  33719  irredminply  33722
  Copyright terms: Public domain W3C validator