Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1muld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1muld 32090
Description: Univariate polynomial evaluation of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1evl.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
ressply1evl.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
ressply1evl.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1muld.1 × = (.r𝑊)
evls1muld.2 · = (.r𝑆)
evls1muld.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1muld.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1muld.m (𝜑𝑀𝐵)
evls1muld.n (𝜑𝑁𝐵)
evls1muld.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
evls1muld (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1muld
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (𝜑𝜑)
2 evls1muld.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐵)
3 evls1muld.n . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐵)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
5 ressply1evl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
6 ressply1evl.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑈)
7 ressply1evl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
8 evls1muld.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 eqid 2737 . . . . . . 7 ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)
104, 5, 6, 7, 8, 9ressply1mul 21553 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐵𝑁𝐵)) → (𝑀(.r𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
111, 2, 3, 10syl12anc 835 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀(.r𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12 evls1muld.1 . . . . . 6 × = (.r𝑊)
1312oveqi 7364 . . . . 5 (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r𝑊)𝑁)
147fvexi 6853 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
15 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r‘(Poly1𝑆)) = (.r‘(Poly1𝑆))
169, 15ressmulr 17147 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (.r‘(Poly1𝑆)) = (.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵)))
1714, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (.r‘(Poly1𝑆)) = (.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))
1817oveqi 7364 . . . . 5 (𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
1911, 13, 183eqtr4g 2802 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))
2019fveq2d 6843 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁)))
2120fveq1d 6841 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶))
22 ressply1evl.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23 ressply1evl.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
24 eqid 2737 . . . . . 6 (eval1𝑆) = (eval1𝑆)
25 evls1muld.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2622, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8ressply1evl 32089 . . . . 5 (𝜑𝑄 = ((eval1𝑆) ↾ 𝐵))
2726fveq1d 6841 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)))
285subrgring 20177 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
296ply1ring 21570 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
308, 28, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
317, 12, 30, 2, 3ringcld 19939 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ 𝐵)
3231fvresd 6859 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)))
3327, 32eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)))
3433fveq1d 6841 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶))
35 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(Poly1𝑆)) = (Base‘(Poly1𝑆))
36 evls1muld.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
37 eqid 2737 . . . . . . . 8 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
38 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(PwSer1𝑈)) = (Base‘(PwSer1𝑈))
394, 5, 6, 7, 8, 37, 38, 35ressply1bas2 21550 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))))
40 inss2 4187 . . . . . . 7 ((Base‘(PwSer1𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1𝑆))
4139, 40eqsstrdi 3996 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1𝑆)))
4241, 2sseldd 3943 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
4326fveq1d 6841 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑀) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
442fvresd 6859 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1𝑆)‘𝑀))
4543, 44eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑀) = (𝑄𝑀))
4645fveq1d 6841 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶))
4742, 46jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄𝑀)‘𝐶)))
4841, 3sseldd 3943 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)))
4926fveq1d 6841 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝑁) = (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
503fvresd 6859 . . . . . . 7 (𝜑 → (((eval1𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1𝑆)‘𝑁))
5149, 50eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘𝑁) = (𝑄𝑁))
5251fveq1d 6841 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶))
5348, 52jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
54 evls1muld.2 . . . 4 · = (.r𝑆)
5524, 4, 23, 35, 25, 36, 47, 53, 15, 54evl1muld 21660 . . 3 (𝜑 → ((𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1𝑆)) ∧ (((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶))))
5655simprd 496 . 2 (𝜑 → (((eval1𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
5721, 34, 563eqtr3d 2785 1 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄𝑀)‘𝐶) · ((𝑄𝑁)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cin 3907  cres 5633  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  s cress 17071  .rcmulr 17093  Ringcrg 19917  CRingccrg 19918  SubRingcsubrg 20170  PwSer1cps1 21497  Poly1cpl1 21499   evalSub1 ces1 21630  eval1ce1 21631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14184  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-hom 17116  df-cco 17117  df-0g 17282  df-gsum 17283  df-prds 17288  df-pws 17290  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mhm 18560  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-mulg 18831  df-subg 18883  df-ghm 18964  df-cntz 19055  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-srg 19876  df-ring 19919  df-cring 19920  df-rnghom 20098  df-subrg 20172  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-assa 21211  df-asp 21212  df-ascl 21213  df-psr 21263  df-mvr 21264  df-mpl 21265  df-opsr 21267  df-evls 21433  df-evl 21434  df-psr1 21502  df-vr1 21503  df-ply1 21504  df-coe1 21505  df-evls1 21632  df-evl1 21633
This theorem is referenced by:  minplyeulem  32176
  Copyright terms: Public domain W3C validator