Theorem evls1muld 22435

Description: Univariate polynomial evaluation of a product of polynomials. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1evl2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
ressply1evl2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
ressply1evl2.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
ressply1evl2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
ressply1evl2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1muld.1	⊢ × = (.r‘𝑊)
evls1muld.2	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1muld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1muld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1muld.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
evls1muld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
evls1muld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1muld	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Proof of Theorem evls1muld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		evls1muld.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
3		evls1muld.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
5		ressply1evl2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		ressply1evl2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7		ressply1evl2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
8		evls1muld.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵) = ((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ressply1mul 22292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵)) → (𝑀(.r‘𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
11	1, 2, 3, 10	syl12anc 847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀(.r‘𝑊)𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁))
12		evls1muld.1	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑊)
13	12	oveqi 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘𝑊)𝑁)
14	7	fvexi 6881	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘(Poly1‘𝑆))
16	9, 15	ressmulr 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵)))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑆)) = (.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))
18	17	oveqi 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁) = (𝑀(.r‘((Poly1‘𝑆) ↾s 𝐵))𝑁)
19	11, 13, 18	3eqtr4g 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = (𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))
20	19	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁)))
21	20	fveq1d 6869	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶))
22		ressply1evl2.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
23		ressply1evl2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
24		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
25		evls1muld.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
26	22, 23, 6, 5, 7, 24, 25, 8	ressply1evl 22433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵))
27	26	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)))
28	5	subrgring 20624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
29	6	ply1ring 22309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
30	8, 28, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
31	7, 12, 30, 2, 3	ringcld 20310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) ∈ 𝐵)
32	31	fvresd 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘(𝑀 × 𝑁)) = ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)))
33	27, 32	eqtr2d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁)) = (𝑄‘(𝑀 × 𝑁)))
34	33	fveq1d 6869	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶))
35		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
36		evls1muld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
37		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑈) = (PwSer1‘𝑈)
38		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑈)) = (Base‘(PwSer1‘𝑈))
39	4, 5, 6, 7, 8, 37, 38, 35	ressply1bas2 22289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))))
40		inss2 4189	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝑈)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝑆))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆))
41	39, 40	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
42	41, 2	sseldd 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
43	26	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀))
44	2	fvresd 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑀) = ((eval1‘𝑆)‘𝑀))
45	43, 44	eqtr2d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑀) = (𝑄‘𝑀))
46	45	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶))
47	42, 46	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑀)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑀)‘𝐶)))
48	41, 3	sseldd 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)))
49	26	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) = (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁))
50	3	fvresd 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆) ↾ 𝐵)‘𝑁) = ((eval1‘𝑆)‘𝑁))
51	49, 50	eqtr2d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘𝑁) = (𝑄‘𝑁))
52	51	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))
53	48, 52	jca 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘𝑁)‘𝐶) = ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
54		evls1muld.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
55	24, 4, 23, 35, 25, 36, 47, 53, 15, 54	evl1muld 22406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑆)) ∧ (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶))))
56	55	simprd 499	. 2 ⊢ (𝜑 → (((eval1‘𝑆)‘(𝑀(.r‘(Poly1‘𝑆))𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))
57	21, 34, 56	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 × 𝑁))‘𝐶) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐶) · ((𝑄‘𝑁)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ↾ cres 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  ._rcmulr 17287  Ringcrg 20283  CRingccrg 20284  SubRingcsubrg 20619  PwSer₁cps1 22237  Poly₁cpl1 22239   evalSub₁ ces1 22376  eval₁ce1 22377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-evls 22127  df-evl 22128  df-psr1 22242  df-vr1 22243  df-ply1 22244  df-coe1 22245  df-evls1 22378  df-evl1 22379

This theorem is referenced by:  evls1maprhm  22439  irngnzply1lem  33987  minplyirred  34008  irredminply  34013  cos9thpiminplylem6  34084