Theorem mpfsubrg 21223

Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.) (Revised by AV, 19-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfsubrg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Proof of Theorem mpfsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfsubrg.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	evlsrhm 21208	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
10	8, 9	rhmf 19885	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11		ffn 6584	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
12		fnima 6547	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
14	7, 10, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
15	1, 14	eqtr4id 2798	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
16	4	subrgring 19942	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
17	3	mplring 21134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
18	16, 17	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
19	18	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
20	8	subrgid 19941	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
22		rhmima 19970	. . 3 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
23	7, 21, 22	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
24	15, 23	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867   ↑_s cpws 17074  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935   mPoly cmpl 21019   evalSub ces 21190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-evls 21192

This theorem is referenced by:  mpff  21224  mpfaddcl  21225  mpfmulcl  21226