Theorem mpfsubrg 22039

Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.) (Revised by AV, 19-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfsubrg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Proof of Theorem mpfsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfsubrg.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	evlsrhm 22024	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
10	8, 9	rhmf 20403	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11		ffn 6651	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
12		fnima 6611	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
14	1, 13	eqtr4id 2785	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
15	4	subrgring 20490	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
16	3	mplring 21957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
17	15, 16	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
18	17	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
19	8	subrgid 20489	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
21		rhmima 20520	. . 3 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
22	7, 20, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
23	14, 22	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ran crn 5617   “ cima 5619   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141   ↑_s cpws 17350  Ringcrg 20152  CRingccrg 20153   RingHom crh 20388  SubRingcsubrg 20485   mPoly cmpl 21844   evalSub ces 22008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-srg 20106  df-ring 20154  df-cring 20155  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-evls 22010

This theorem is referenced by:  mpff  22040  mpfaddcl  22041  mpfmulcl  22042