Theorem mpfsubrg 22151

Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.) (Revised by AV, 19-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpfsubrg.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfsubrg	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Proof of Theorem mpfsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfsubrg.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	2, 3, 4, 5, 6	evlsrhm 22128	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
9		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
10	8, 9	rhmf 20519	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11		ffn 6685	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
12		fnima 6645	. . . 4 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
14	1, 13	eqtr4id 2815	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
15	4	subrgring 20610	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
16	3	mplring 22057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
17	15, 16	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
18	17	3adant2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
19	8	subrgid 20609	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
21		rhmima 20640	. . 3 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
22	7, 20, 21	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
23	14, 22	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆 ↑s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ran crn 5644   “ cima 5646   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256   ↑_s cpws 17465  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270   RingHom crh 20504  SubRingcsubrg 20605   mPoly cmpl 21945   evalSub ces 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-srg 20223  df-ring 20271  df-cring 20272  df-rhm 20507  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-assa 21892  df-asp 21893  df-ascl 21894  df-psr 21948  df-mvr 21949  df-mpl 21950  df-evls 22114

This theorem is referenced by:  mpff  22152  mpfaddcl  22153  mpfmulcl  22154