MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfsubrg 20244
Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.) (Revised by AV, 19-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
mpfsubrg.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfsubrg ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Proof of Theorem mpfsubrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2818 . . . . 5 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2818 . . . . 5 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 eqid 2818 . . . . 5 (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
5 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
61, 2, 3, 4, 5evlsrhm 20229 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
7 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
8 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
97, 8rhmf 19407 . . . 4 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
10 ffn 6507 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
11 fnima 6471 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
1210, 11syl 17 . . . 4 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
136, 9, 123syl 18 . . 3 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
14 mpfsubrg.q . . 3 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
1513, 14syl6reqr 2872 . 2 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
163subrgring 19467 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
172mplring 20160 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
1816, 17sylan2 592 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
19183adant2 1123 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
207subrgid 19466 . . . 4 ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
22 rhmima 19495 . . 3 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
236, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
2415, 23eqeltrd 2910 1 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  ran crn 5549  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Basecbs 16471  s cress 16472  s cpws 16708  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227   RingHom crh 19393  SubRingcsubrg 19460   mPoly cmpl 20061   evalSub ces 20212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228  df-cring 19229  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-assa 20013  df-asp 20014  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-evls 20214
This theorem is referenced by:  mpff  20245  mpfaddcl  20246  mpfmulcl  20247
  Copyright terms: Public domain W3C validator