Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfsubrg 20871
 Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.) (Revised by AV, 19-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
mpfsubrg.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfsubrg ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))

Proof of Theorem mpfsubrg
StepHypRef Expression
1 mpfsubrg.q . . 3 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2758 . . . . 5 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
3 eqid 2758 . . . . 5 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
4 eqid 2758 . . . . 5 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
5 eqid 2758 . . . . 5 (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)) = (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
6 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
72, 3, 4, 5, 6evlsrhm 20856 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
8 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
9 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)))
108, 9rhmf 19554 . . . 4 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
11 ffn 6502 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
12 fnima 6465 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
147, 10, 133syl 18 . . 3 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
151, 14eqtr4id 2812 . 2 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
164subrgring 19611 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
173mplring 20788 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
1816, 17sylan2 595 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
19183adant2 1128 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
208subrgid 19610 . . . 4 ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
22 rhmima 19639 . . 3 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))) ∧ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
237, 21, 22syl2anc 587 . 2 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) “ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
2415, 23eqeltrd 2852 1 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ran crn 5528   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ↑m cmap 8421  Basecbs 16546   ↾s cress 16547   ↑s cpws 16783  Ringcrg 19370  CRingccrg 19371   RingHom crh 19540  SubRingcsubrg 19604   mPoly cmpl 20673   evalSub ces 20838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-hom 16652  df-cco 16653  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-prds 16784  df-pws 16786  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-srg 19329  df-ring 19372  df-cring 19373  df-rnghom 19543  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-assa 20623  df-asp 20624  df-ascl 20625  df-psr 20676  df-mvr 20677  df-mpl 20678  df-evls 20840 This theorem is referenced by:  mpff  20872  mpfaddcl  20873  mpfmulcl  20874
 Copyright terms: Public domain W3C validator