Theorem ring2idlqus 21276

Description: For every unital ring there is a (two-sided) ideal of the ring (in fact the base set of the ring itself) which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqus	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))

Distinct variable group:   𝑅,𝑖

Proof of Theorem ring2idlqus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	2idl1 21228	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑖) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
5	4	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → ((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ↔ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring))
6		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑖) = (𝑅 ~QG (Base‘𝑅)))
7	6	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))))
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring ↔ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring))
9	5, 8	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = (Base‘𝑅)) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)))
11	2	subrgid 20518	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
13	12	subrgring 20519	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅)))
16	15, 1	qusring 21242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)
17	3, 16	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)
18	14, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring))
19	3, 10, 18	rspcedvd 3580	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169   /_s cqus 17438   ~_QG cqg 19064  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20514  2Idealc2idl 21216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-0g 17373  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-2idl 21217

This theorem is referenced by:  ring2idlqusb  21277