Theorem ring2idlqus 21072

Description: For every unital ring there is a (two-sided) ideal of the ring (in fact the base set of the ring itself) which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqus	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))

Distinct variable group:   𝑅,𝑖

Proof of Theorem ring2idlqus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	2idl1 21017	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑖) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
5	4	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → ((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ↔ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring))
6		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑖) = (𝑅 ~QG (Base‘𝑅)))
7	6	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))))
8	7	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → ((𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring ↔ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring))
9	5, 8	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑖 = (Base‘𝑅) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = (Base‘𝑅)) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) ↔ ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)))
11	2	subrgid 20467	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
13	12	subrgring 20468	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring)
15		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅)))
16	15, 1	qusring 21027	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)
17	3, 16	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring)
18	14, 17	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG (Base‘𝑅))) ∈ Ring))
19	3, 10, 18	rspcedvd 3614	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180   /_s cqus 17458   ~_QG cqg 19042  Ringcrg 20131  SubRingcsubrg 20461  2Idealc2idl 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-nsg 19044  df-eqg 19045  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-subrg 20463  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-2idl 21010

This theorem is referenced by:  ring2idlqusb  21073