Theorem mpfproj 22016

Description: Projections are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfproj.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mpfproj	⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑓‘𝐽)) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑓,𝐽   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑄(𝑓)

Proof of Theorem mpfproj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		mpfconst.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		mpfconst.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		mpfconst.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		mpfconst.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		mpfproj.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	evlsvar 22004	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))‘𝐽)) = (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑓‘𝐽)))
10		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
11		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
12	1, 10, 3, 11, 4	evlsrhm 22002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
13	5, 6, 7, 12	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
15		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)))
16	14, 15	rhmf 20401	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
17		ffn 6691	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
18	13, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
19	3	subrgring 20490	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
20	7, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
21	10, 2, 14, 5, 20, 8	mvrcl 21908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
22		fnfvelrn 7055	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∧ ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))‘𝐽)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))‘𝐽)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
24		mpfconst.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
25	23, 24	eleqtrrdi 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝑅))‘𝐽)) ∈ 𝑄)
26	9, 25	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑓‘𝐽)) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207   ↑_s cpws 17416  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  SubRingcsubrg 20485   mVar cmvr 21821   mPoly cmpl 21822   evalSub ces 21986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-evls 21988

This theorem is referenced by:  mzpmfp  42742