Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfproj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfproj 19927
 Description: Projections are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i (𝜑𝐼𝑉)
mpfconst.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfproj.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
mpfproj (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑓𝐽)) ∈ 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑓,𝐽   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑄(𝑓)

Proof of Theorem mpfproj
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2778 . . 3 (𝐼 mVar (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2778 . . 3 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 mpfconst.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 mpfconst.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 mpfconst.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
7 mpfconst.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 mpfproj.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 19919 . 2 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) = (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑓𝐽)))
10 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
11 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
121, 10, 3, 11, 4evlsrhm 19917 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
135, 6, 7, 12syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
14 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
15 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)))
1614, 15rhmf 19115 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
17 ffn 6291 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
193subrgring 19175 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
2110, 2, 14, 5, 20, 8mvrcl 19846 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
22 fnfvelrn 6620 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∧ ((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
2318, 21, 22syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
24 mpfconst.q . . 3 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2523, 24syl6eleqr 2870 . 2 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝑅))‘𝐽)) ∈ 𝑄)
269, 25eqeltrrd 2860 1 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑓𝐽)) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 4965  ran crn 5356   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140  Basecbs 16255   ↾s cress 16256   ↑s cpws 16493  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935   RingHom crh 19101  SubRingcsubrg 19168   mVar cmvr 19749   mPoly cmpl 19750   evalSub ces 19900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-assa 19709  df-asp 19710  df-ascl 19711  df-psr 19753  df-mvr 19754  df-mpl 19755  df-evls 19902 This theorem is referenced by:  mzpmfp  38274
 Copyright terms: Public domain W3C validator