MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlssca 22035
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlssca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i (𝜑𝐼𝑉)
evlssca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evlssca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
2 evlssca.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlssca.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlssca.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlssca.w . . . . . 6 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7 evlssca.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵m 𝐼)) = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
9 evlssca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 evlssca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))
12 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 22033 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
1514simprld 771 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})))
1615fveq1d 6899 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
197subrgring 20513 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
203, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
215, 17, 18, 10, 1, 20mplasclf 22009 . . . 4 (𝜑𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
229subrgss 20511 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
237, 9ressbas2 17218 . . . . . 6 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
243, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
2524feq2d 6708 . . . 4 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
2621, 25mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27 evlssca.x . . 3 (𝜑𝑋𝑅)
28 fvco3 6997 . . 3 ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋𝑅) → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴𝑋)))
2926, 27, 28syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴𝑋)))
30 sneq 4639 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
3130xpeq2d 5708 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
32 ovex 7453 . . . . 5 (𝐵m 𝐼) ∈ V
33 snex 5433 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
3432, 33xpex 7755 . . . 4 ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
3531, 11, 34fvmpt 7005 . . 3 (𝑋𝑅 → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
3627, 35syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
3716, 29, 363eqtr3d 2776 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947  {csn 4629  cmpt 5231   × cxp 5676  ccom 5682  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  m cmap 8845  Basecbs 17180  s cress 17209  s cpws 17428  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  SubRingcsubrg 20506  algSccascl 21786   mVar cmvr 21838   mPoly cmpl 21839   evalSub ces 22016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018
This theorem is referenced by:  evlsscasrng  22043  evlsca  22044  mpfconst  22047  mpfind  22053  evls1sca  22242  evl1sca  22253  pf1ind  22274  evlsscaval  41797
  Copyright terms: Public domain W3C validator