Theorem evlssca 22085

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlssca.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlssca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlssca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evlssca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlssca.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlssca.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlssca.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlssca.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlssca.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlssca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
9		evlssca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		evlssca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 22078	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
15	14	simprld 772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
16	15	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	7	subrgring 20545	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
20	3, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
21	5, 17, 18, 10, 1, 20	mplasclf 22056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
22	9	subrgss 20543	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	7, 9	ressbas2 17202	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
24	3, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
25	24	feq2d 6647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
26	21, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27		evlssca.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
28		fvco3 6934	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
30		sneq 4578	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
31	30	xpeq2d 5655	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
32		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V
33		snex 5377	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	32, 33	xpex 7701	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
35	31, 11, 34	fvmpt 6942	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
36	27, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
37	16, 29, 36	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194   ↑_s cpws 17403  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  SubRingcsubrg 20540  algSccascl 21845   mVar cmvr 21898   mPoly cmpl 21899   evalSub ces 22063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-evls 22065

This theorem is referenced by:  evlsscasrng  22096  evlsca  22097  mpfconst  22100  mpfind  22106  evls1sca  22301  evl1sca  22312  pf1ind  22333  evlsscaval  43017