MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlssca 19889
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlssca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i (𝜑𝐼𝑉)
evlssca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evlssca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
2 evlssca.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlssca.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlssca.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlssca.w . . . . . 6 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7 evlssca.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
9 evlssca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 evlssca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥}))
12 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 19887 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) ∧ ((𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) ∧ ((𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
1514simprld 788 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥})))
1615fveq1d 6439 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
197subrgring 19146 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
203, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
215, 17, 18, 10, 1, 20mplasclf 19864 . . . 4 (𝜑𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
229subrgss 19144 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
237, 9ressbas2 16301 . . . . . 6 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
243, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
2524feq2d 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
2621, 25mpbird 249 . . 3 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27 evlssca.x . . 3 (𝜑𝑋𝑅)
28 fvco3 6526 . . 3 ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋𝑅) → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴𝑋)))
2926, 27, 28syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴𝑋)))
30 sneq 4409 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
3130xpeq2d 5376 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))
32 ovex 6942 . . . . 5 (𝐵𝑚 𝐼) ∈ V
33 snex 5131 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
3432, 33xpex 7228 . . . 4 ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
3531, 11, 34fvmpt 6533 . . 3 (𝑋𝑅 → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))
3627, 35syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))
3716, 29, 363eqtr3d 2869 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798  {csn 4399  cmpt 4954   × cxp 5344  ccom 5350  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑚 cmap 8127  Basecbs 16229  s cress 16230  s cpws 16467  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909   RingHom crh 19075  SubRingcsubrg 19139  algSccascl 19679   mVar cmvr 19720   mPoly cmpl 19721   evalSub ces 19871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-srg 18867  df-ring 18910  df-cring 18911  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-assa 19680  df-asp 19681  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-evls 19873
This theorem is referenced by:  evlsscasrng  19893  evlsca  19894  mpfconst  19897  mpfind  19903  evls1sca  20055  evl1sca  20065  pf1ind  20086
  Copyright terms: Public domain W3C validator