Theorem evlssca 22035

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlssca.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlssca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlssca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evlssca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlssca.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlssca.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlssca.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlssca.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlssca.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlssca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
9		evlssca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		evlssca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 22033	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
15	14	simprld 771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
16	15	fveq1d 6899	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	7	subrgring 20513	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
20	3, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
21	5, 17, 18, 10, 1, 20	mplasclf 22009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
22	9	subrgss 20511	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	7, 9	ressbas2 17218	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
24	3, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
25	24	feq2d 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
26	21, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27		evlssca.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
28		fvco3 6997	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
30		sneq 4639	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
31	30	xpeq2d 5708	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
32		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V
33		snex 5433	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	32, 33	xpex 7755	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
35	31, 11, 34	fvmpt 7005	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
36	27, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
37	16, 29, 36	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  {csn 4629   ↦ cmpt 5231   × cxp 5676   ∘ ccom 5682  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209   ↑_s cpws 17428  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  SubRingcsubrg 20506  algSccascl 21786   mVar cmvr 21838   mPoly cmpl 21839   evalSub ces 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018

This theorem is referenced by:  evlsscasrng  22043  evlsca  22044  mpfconst  22047  mpfind  22053  evls1sca  22242  evl1sca  22253  pf1ind  22274  evlsscaval  41797