MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlssca 22042
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlssca.w π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlssca.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlssca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evlssca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evlssca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlssca.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlssca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
evlssca (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 evlssca.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evlssca.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 evlssca.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 evlssca.w . . . . . 6 π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (𝐼 mVar π‘ˆ) = (𝐼 mVar π‘ˆ)
7 evlssca.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
9 evlssca.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
10 evlssca.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
12 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 22040 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar π‘ˆ)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘¦β€˜π‘₯))))))
1514simprld 770 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∘ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})))
1615fveq1d 6904 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∘ 𝐴)β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜π‘‹))
17 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
18 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
197subrgring 20520 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
203, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
215, 17, 18, 10, 1, 20mplasclf 22016 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
229subrgss 20518 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
237, 9ressbas2 17225 . . . . . 6 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
243, 22, 233syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2524feq2d 6713 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝐴:(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘Š)))
2621, 25mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜π‘Š))
27 evlssca.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
28 fvco3 7002 . . 3 ((𝐴:π‘…βŸΆ(Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑄 ∘ 𝐴)β€˜π‘‹) = (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)))
2926, 27, 28syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∘ 𝐴)β€˜π‘‹) = (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)))
30 sneq 4642 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
3130xpeq2d 5712 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))
32 ovex 7459 . . . . 5 (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V
33 snex 5437 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
3432, 33xpex 7761 . . . 4 ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ V
3531, 11, 34fvmpt 7010 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑅 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜π‘‹) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))
3627, 35syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))β€˜π‘‹) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))
3716, 29, 363eqtr3d 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216   ↑s cpws 17435  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415  SubRingcsubrg 20513  algSccascl 21793   mVar cmvr 21845   mPoly cmpl 21846   evalSub ces 22023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-evls 22025
This theorem is referenced by:  evlsscasrng  22050  evlsca  22051  mpfconst  22054  mpfind  22060  evls1sca  22249  evl1sca  22260  pf1ind  22281  evlsscaval  41828
  Copyright terms: Public domain W3C validator