Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlssca 20222
 Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlssca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i (𝜑𝐼𝑉)
evlssca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evlssca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
2 evlssca.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlssca.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlssca.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlssca.w . . . . . 6 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 eqid 2825 . . . . . 6 (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7 evlssca.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵m 𝐼)) = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
9 evlssca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 evlssca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))
12 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 20220 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
1514simprld 768 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})))
1615fveq1d 6668 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
197subrgring 19460 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
203, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
215, 17, 18, 10, 1, 20mplasclf 20197 . . . 4 (𝜑𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
229subrgss 19458 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
237, 9ressbas2 16547 . . . . . 6 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
243, 22, 233syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
2524feq2d 6496 . . . 4 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
2621, 25mpbird 258 . . 3 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27 evlssca.x . . 3 (𝜑𝑋𝑅)
28 fvco3 6756 . . 3 ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋𝑅) → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴𝑋)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴𝑋)))
30 sneq 4573 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
3130xpeq2d 5583 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
32 ovex 7184 . . . . 5 (𝐵m 𝐼) ∈ V
33 snex 5327 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
3432, 33xpex 7468 . . . 4 ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
3531, 11, 34fvmpt 6764 . . 3 (𝑋𝑅 → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
3627, 35syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
3716, 29, 363eqtr3d 2868 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3939  {csn 4563   ↦ cmpt 5142   × cxp 5551   ∘ ccom 5557  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   ↑m cmap 8399  Basecbs 16475   ↾s cress 16476   ↑s cpws 16712  Ringcrg 19219  CRingccrg 19220   RingHom crh 19386  SubRingcsubrg 19453  algSccascl 20005   mVar cmvr 20053   mPoly cmpl 20054   evalSub ces 20204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-srg 19178  df-ring 19221  df-cring 19222  df-rnghom 19389  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-assa 20006  df-asp 20007  df-ascl 20008  df-psr 20057  df-mvr 20058  df-mpl 20059  df-evls 20206 This theorem is referenced by:  evlsscasrng  20229  evlsca  20230  mpfconst  20233  mpfind  20239  evls1sca  20405  evl1sca  20415  pf1ind  20436
 Copyright terms: Public domain W3C validator