Theorem evlssca 21209

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlssca.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlssca.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlssca.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlssca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlssca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlssca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlssca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlssca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlssca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evlssca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlssca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlssca.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlssca.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlssca.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlssca.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlssca.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlssca.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
9		evlssca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		evlssca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 21207	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
15	14	simprld 768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})))
16	15	fveq1d 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
19	7	subrgring 19942	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
20	3, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
21	5, 17, 18, 10, 1, 20	mplasclf 21183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊))
22	9	subrgss 19940	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	7, 9	ressbas2 16875	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
24	3, 22, 23	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
25	24	feq2d 6570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐴:(Base‘𝑈)⟶(Base‘𝑊)))
26	21, 25	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊))
27		evlssca.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
28		fvco3 6849	. . 3 ⊢ ((𝐴:𝑅⟶(Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝐴)‘𝑋) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
30		sneq 4568	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
31	30	xpeq2d 5610	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
32		ovex 7288	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V
33		snex 5349	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	32, 33	xpex 7581	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ V
35	31, 11, 34	fvmpt 6857	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
36	27, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))‘𝑋) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
37	16, 29, 36	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867   ↑_s cpws 17074  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935  algSccascl 20969   mVar cmvr 21018   mPoly cmpl 21019   evalSub ces 21190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-evls 21192

This theorem is referenced by:  evlsscasrng  21217  evlsca  21218  mpfconst  21221  mpfind  21227  evls1sca  21399  evl1sca  21410  pf1ind  21431  evlsscaval  40196