Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsrng1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsrng1 21131
 Description: The set of scalar matrices is a subring of the ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsrng1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsrng1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatid.e . . 3 𝐸 = (Base‘𝑅)
4 scmatid.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
5 scmatid.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . 3 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
7 scmatsgrp1.c . . 3 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7scmatsgrp1 21130 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
91, 2, 4, 6dmatsrng 21109 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
109ancoms 462 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
11 eqid 2801 . . . . . 6 (1r𝐴) = (1r𝐴)
127, 11subrg1 19541 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (1r𝐴) = (1r𝐶))
1310, 12syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (1r𝐶))
1413eqcomd 2807 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) = (1r𝐴))
151, 2, 3, 4, 5scmatid 21122 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
1614, 15eqeltrd 2893 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
17 eqid 2801 . . . . . . . 8 (.r𝐴) = (.r𝐴)
187, 17ressmulr 16620 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝐶))
1910, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (.r𝐶))
2019eqcomd 2807 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐶) = (.r𝐴))
2120oveqdr 7167 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
221, 2, 3, 4, 5scmatmulcl 21126 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
2321, 22eqeltrd 2893 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
2423ralrimivva 3159 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
257subrgring 19534 . . 3 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
26 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
27 eqid 2801 . . . 4 (1r𝐶) = (1r𝐶)
28 eqid 2801 . . . 4 (.r𝐶) = (.r𝐶)
2926, 27, 28issubrg2 19551 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (1r𝐶) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
3010, 25, 293syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (1r𝐶) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
318, 16, 24, 30mpbir3and 1339 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  SubGrpcsubg 18268  1rcur 19247  Ringcrg 19293  SubRingcsubrg 19527   Mat cmat 21015   DMat cdmat 21096   ScMat cscmat 21097 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-mamu 20994  df-mat 21016  df-dmat 21098  df-scmat 21099 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator