Theorem scmatsrng1 22545

Description: The set of scalar matrices is a subring of the ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
scmatsrng1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsrng1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		scmatid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		scmatid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
4		scmatid.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		scmatid.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6		scmatsgrp1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
7		scmatsgrp1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	scmatsgrp1 22544	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
9	1, 2, 4, 6	dmatsrng 22523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
10	9	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
12	7, 11	subrg1 20599	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (1r‘𝐴) = (1r‘𝐶))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (1r‘𝐶))
14	13	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) = (1r‘𝐴))
15	1, 2, 3, 4, 5	scmatid 22536	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)
16	14, 15	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
18	7, 17	ressmulr 17353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
19	10, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
20	19	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐶) = (.r‘𝐴))
21	20	oveqdr 7459	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
22	1, 2, 3, 4, 5	scmatmulcl 22540	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
23	21, 22	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
25	7	subrgring 20591	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
26		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
27		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
29	26, 27, 28	issubrg2 20609	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
30	10, 25, 29	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
31	8, 16, 24, 30	mpbir3and 1341	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586   Mat cmat 22427   DMat cdmat 22510   ScMat cscmat 22511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-dmat 22512  df-scmat 22513

This theorem is referenced by: (None)