Theorem resrhm 20551

Description: Restriction of a ring homomorphism to a subring is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resrhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resrhm	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem resrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20430	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Ring)
2		resrhm.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑋)
3	2	subrgring 20524	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
4	1, 3	anim12ci 615	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑈 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
5		rhmghm 20436	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6		subrgsubg 20527	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑆))
7	2	resghm 19178	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇))
8	5, 6, 7	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇))
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11	9, 10	rhmmhm 20432	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
12	9	subrgsubm 20535	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋)
14	13	resmhm 18759	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆))) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
15	11, 12, 14	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
16		rhmrcl1 20429	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
17	2, 9	mgpress 20102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = (mulGrp‘𝑈))
18	16, 17	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = (mulGrp‘𝑈))
19	18	oveq1d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)) = ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
20	15, 19	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
21	8, 20	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
22		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
23	22, 10	isrhm 20431	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑈 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
24	4, 21, 23	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↾_s cress 17171   MndHom cmhm 18720  SubMndcsubmnd 18721  SubGrpcsubg 19067   GrpHom cghm 19158  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185   RingHom crh 20422  SubRingcsubrg 20519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-rhm 20425  df-subrg 20520

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20747  evlsval2  22059  evlsval3  22061