Theorem resrhm 20576

Description: Restriction of a ring homomorphism to a subring is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resrhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resrhm	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem resrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmrcl2 20451	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Ring)
2		resrhm.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑋)
3	2	subrgring 20549	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
4	1, 3	anim12ci 621	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑈 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
5		rhmghm 20457	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
6		subrgsubg 20552	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑆))
7	2	resghm 19201	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇))
8	5, 6, 7	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇))
9		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
10		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
11	9, 10	rhmmhm 20453	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
12	9	subrgsubm 20560	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
13		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋)
14	13	resmhm 18783	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆))) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
15	11, 12, 14	syl2an 603	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
16		rhmrcl1 20450	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
17	2, 9	mgpress 20125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = (mulGrp‘𝑈))
18	16, 17	sylan 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) = (mulGrp‘𝑈))
19	18	oveq1d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (((mulGrp‘𝑆) ↾s 𝑋) MndHom (mulGrp‘𝑇)) = ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
20	15, 19	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
21	8, 20	jca 517	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
22		eqid 2741	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
23	22, 10	isrhm 20452	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑈 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ ((𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 GrpHom 𝑇) ∧ (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ ((mulGrp‘𝑈) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
24	4, 21, 23	sylanbrc 590	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↾ cres 5622  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ↾_s cress 17195   MndHom cmhm 18744  SubMndcsubmnd 18745  SubGrpcsubg 19091   GrpHom cghm 19182  mulGrpcmgp 20115  Ringcrg 20208   RingHom crh 20443  SubRingcsubrg 20544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-rhm 20446  df-subrg 20545

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20772  evlsval2  22066  evlsval3  22068