MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 20651
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 20644 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆𝑥𝐷))
87ssrdv 3802 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 20628 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
109ancoms 451 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
1211subgbas 17908 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
1312eqcomd 2803 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
158, 14sseqtr4d 3836 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 20643 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
1716ne0d 4120 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
1810adantr 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
197com12 32 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2019adantr 473 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2120impcom 397 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝐷)
221, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 20644 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝑆𝑦𝐷))
2322a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆𝑦𝐷)))
2423imp32 410 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝐷)
25 eqid 2797 . . . . . . 7 (-g𝐴) = (-g𝐴)
26 eqid 2797 . . . . . . 7 (-g𝐶) = (-g𝐶)
2725, 11, 26subgsub 17916 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (𝑥(-g𝐶)𝑦))
2827eqcomd 2803 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
2918, 21, 24, 28syl3anc 1491 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
301, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 20646 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
3129, 30eqeltrd 2876 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3150 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
331, 2, 4, 6dmatsrng 20630 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3433ancoms 451 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3511subrgring 19098 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
37 ringgrp 18865 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
38 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3938, 26issubg4 17923 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4036, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4115, 17, 32, 40mpbir3and 1443 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wral 3087  wss 3767  c0 4113  cfv 6099  (class class class)co 6876  Fincfn 8193  Basecbs 16181  s cress 16182  0gc0g 16412  Grpcgrp 17735  -gcsg 17737  SubGrpcsubg 17898  1rcur 18814  Ringcrg 18860  SubRingcsubrg 19091   Mat cmat 20535   DMat cdmat 20617   ScMat cscmat 20618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mamu 20512  df-mat 20536  df-dmat 20619  df-scmat 20620
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  20652
  Copyright terms: Public domain W3C validator