Theorem scmatsgrp1 22867

Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
scmatsgrp1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
4		scmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6		scmatsgrp1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 22860	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝐷))
8	7	ssrdv 3919	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ 𝐷)
9	1, 2, 4, 6	dmatsgrp 22844	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
10	9	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
11		scmatsgrp1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)
12	11	subgbas 19369	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
13	12	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
14	10, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
15	8, 14	sseqtrrd 3950	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
16	1, 2, 3, 4, 5	scmatid 22859	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)
17	16	ne0d 4291	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
18	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
19	7	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥 ∈ 𝐷))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥 ∈ 𝐷))
21	20	impcom 413	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 22860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐷))
23	22	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝐷)))
24	23	imp32 424	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
26		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
27	25, 11, 26	subgsub 19378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐶)𝑦))
28	27	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥(-g‘𝐶)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐴)𝑦))
29	18, 21, 24, 28	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐶)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐴)𝑦))
30	1, 2, 3, 4, 5	scmatsubcl 22862	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
31	29, 30	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(-g‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
32	31	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(-g‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
33	1, 2, 4, 6	dmatsrng 22846	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
34	33	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
35	11	subrgring 20856	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
36		ringgrp 20494	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
37		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
38	37, 26	issubg4 19385	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(-g‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
39	34, 35, 36, 38	4syl 20	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(-g‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
40	15, 17, 32, 39	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175  SubGrpcsubg 19359  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  SubRingcsubrg 20851   Mat cmat 22752   DMat cdmat 22833   ScMat cscmat 22834

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-mamu 22736  df-mat 22753  df-dmat 22835  df-scmat 22836

This theorem is used by:  scmatsrng1  22868