MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 22440
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
scmatid.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatid.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐢 = (𝐴 β†Ύs 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 22433 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ 𝐷))
87ssrdv 3978 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 22417 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
109ancoms 457 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐢 = (𝐴 β†Ύs 𝐷)
1211subgbas 19087 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) β†’ 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ))
1312eqcomd 2731 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = 𝐷)
158, 14sseqtrrd 4014 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 22432 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝑆)
1716ne0d 4331 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1810adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
197com12 32 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷))
2019adantr 479 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷))
2120impcom 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
221, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 22433 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
2322a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)))
2423imp32 417 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
25 eqid 2725 . . . . . . 7 (-gβ€˜π΄) = (-gβ€˜π΄)
26 eqid 2725 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
2725, 11, 26subgsub 19095 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦))
2827eqcomd 2731 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦))
2918, 21, 24, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦))
301, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 22435 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝑆)
3129, 30eqeltrd 2825 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3191 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)
331, 2, 4, 6dmatsrng 22419 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜π΄))
3433ancoms 457 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜π΄))
3511subrgring 20515 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
37 ringgrp 20180 . . 3 (𝐢 ∈ Ring β†’ 𝐢 ∈ Grp)
38 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3938, 26issubg4 19102 . . 3 (𝐢 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)))
4036, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)))
4115, 17, 32, 40mpbir3and 1339 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  -gcsg 18894  SubGrpcsubg 19077  1rcur 20123  Ringcrg 20175  SubRingcsubrg 20508   Mat cmat 22323   DMat cdmat 22406   ScMat cscmat 22407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-dmat 22408  df-scmat 22409
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  22441
  Copyright terms: Public domain W3C validator