MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 21266
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 21259 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆𝑥𝐷))
87ssrdv 3881 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 21243 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
109ancoms 462 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
1211subgbas 18394 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
1312eqcomd 2744 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
158, 14sseqtrrd 3916 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 21258 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
1716ne0d 4222 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
1810adantr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
197com12 32 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2019adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2120impcom 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝐷)
221, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 21259 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝑆𝑦𝐷))
2322a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆𝑦𝐷)))
2423imp32 422 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝐷)
25 eqid 2738 . . . . . . 7 (-g𝐴) = (-g𝐴)
26 eqid 2738 . . . . . . 7 (-g𝐶) = (-g𝐶)
2725, 11, 26subgsub 18402 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (𝑥(-g𝐶)𝑦))
2827eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
2918, 21, 24, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
301, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 21261 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
3129, 30eqeltrd 2833 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3103 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
331, 2, 4, 6dmatsrng 21245 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3433ancoms 462 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3511subrgring 19650 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
37 ringgrp 19414 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
38 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3938, 26issubg4 18409 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4036, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4115, 17, 32, 40mpbir3and 1343 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wss 3841  c0 4209  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  Basecbs 16579  s cress 16580  0gc0g 16809  Grpcgrp 18212  -gcsg 18214  SubGrpcsubg 18384  1rcur 19363  Ringcrg 19409  SubRingcsubrg 19643   Mat cmat 21151   DMat cdmat 21232   ScMat cscmat 21233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-dsmm 20541  df-frlm 20556  df-mamu 21130  df-mat 21152  df-dmat 21234  df-scmat 21235
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  21267
  Copyright terms: Public domain W3C validator