MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 22379
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
scmatid.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatid.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐢 = (𝐴 β†Ύs 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 22372 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ 𝐷))
87ssrdv 3983 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 22356 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
109ancoms 458 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐢 = (𝐴 β†Ύs 𝐷)
1211subgbas 19057 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) β†’ 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ))
1312eqcomd 2732 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = 𝐷)
158, 14sseqtrrd 4018 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 22371 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝑆)
1716ne0d 4330 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1810adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
197com12 32 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷))
2019adantr 480 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷))
2120impcom 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
221, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 22372 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
2322a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)))
2423imp32 418 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
25 eqid 2726 . . . . . . 7 (-gβ€˜π΄) = (-gβ€˜π΄)
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
2725, 11, 26subgsub 19065 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦))
2827eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦))
2918, 21, 24, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦))
301, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 22374 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝑆)
3129, 30eqeltrd 2827 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3194 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)
331, 2, 4, 6dmatsrng 22358 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜π΄))
3433ancoms 458 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜π΄))
3511subrgring 20476 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ Ring)
37 ringgrp 20143 . . 3 (𝐢 ∈ Ring β†’ 𝐢 ∈ Grp)
38 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3938, 26issubg4 19072 . . 3 (𝐢 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)))
4036, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(-gβ€˜πΆ)𝑦) ∈ 𝑆)))
4115, 17, 32, 40mpbir3and 1339 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  SubGrpcsubg 19047  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469   Mat cmat 22262   DMat cdmat 22345   ScMat cscmat 22346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-dmat 22347  df-scmat 22348
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  22380
  Copyright terms: Public domain W3C validator