Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 21106
 Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 21099 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆𝑥𝐷))
87ssrdv 3949 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 21083 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
109ancoms 462 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
1211subgbas 18261 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
1312eqcomd 2827 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
158, 14sseqtrrd 3984 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 21098 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
1716ne0d 4274 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
1810adantr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
197com12 32 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2019adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2120impcom 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝐷)
221, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 21099 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝑆𝑦𝐷))
2322a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆𝑦𝐷)))
2423imp32 422 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝐷)
25 eqid 2821 . . . . . . 7 (-g𝐴) = (-g𝐴)
26 eqid 2821 . . . . . . 7 (-g𝐶) = (-g𝐶)
2725, 11, 26subgsub 18269 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (𝑥(-g𝐶)𝑦))
2827eqcomd 2827 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
2918, 21, 24, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
301, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 21101 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
3129, 30eqeltrd 2912 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3179 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
331, 2, 4, 6dmatsrng 21085 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3433ancoms 462 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3511subrgring 19513 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
37 ringgrp 19280 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
38 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3938, 26issubg4 18276 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4036, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4115, 17, 32, 40mpbir3and 1339 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  Basecbs 16461   ↾s cress 16462  0gc0g 16691  Grpcgrp 18081  -gcsg 18083  SubGrpcsubg 18251  1rcur 19229  Ringcrg 19275  SubRingcsubrg 19506   Mat cmat 20991   DMat cdmat 21072   ScMat cscmat 21073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-subrg 19508  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-dsmm 20851  df-frlm 20866  df-mamu 20970  df-mat 20992  df-dmat 21074  df-scmat 21075 This theorem is referenced by:  scmatsrng1  21107
 Copyright terms: Public domain W3C validator