Theorem evlsscaval 42656

Description: Polynomial evaluation builder for a scalar. Compare evl1scad 22250. Note that scalar multiplication by 𝑋 is the same as vector multiplication by (𝐴‘𝑋) by asclmul1 21823. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsscaval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsscaval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsscaval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsscaval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evlsscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
evlsscaval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Proof of Theorem evlsscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsscaval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
2		evlsscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		evlsscaval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evlsscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evlsscaval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7		evlsscaval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8	7	subrgring 20489	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mplasclf 22000	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶𝐵)
11		evlsscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
12	7	subrgbas 20496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
13	6, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
15	10, 14	ffvelcdmd 7018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
16		evlsscaval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evlsscaval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18		evlsscaval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19	16, 1, 7, 17, 4, 5, 18, 6, 11	evlssca 22024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
20	19	fveq1d 6824	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿))
21		evlsscaval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
22		fvconst2g 7136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋)
25	15, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Ringcrg 20151  CRingccrg 20152  SubRingcsubrg 20484  algSccascl 21789   mPoly cmpl 21843   evalSub ces 22007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-cring 20154  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-assa 21790  df-asp 21791  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-evls 22009

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  42662