Theorem evlsscaval 39813

Description: Polynomial evaluation builder for a scalar. Compare evl1scad 21067. Note that scalar multiplication by 𝑋 is the same as vector multiplication by (𝐴‘𝑋) by asclmul1 20661. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsscaval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsscaval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsscaval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsscaval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evlsscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
evlsscaval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Proof of Theorem evlsscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsscaval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
2		evlsscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		evlsscaval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evlsscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evlsscaval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7		evlsscaval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8	7	subrgring 19619	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mplasclf 20839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶𝐵)
11		evlsscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
12	7	subrgbas 19625	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
13	6, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	eleqtrd 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
15	10, 14	ffvelrnd 6849	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
16		evlsscaval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evlsscaval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18		evlsscaval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19	16, 1, 7, 17, 4, 5, 18, 6, 11	evlssca 20865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
20	19	fveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿))
21		evlsscaval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
22		fvconst2g 6961	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
23	11, 21, 22	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋)
25	15, 24	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   × cxp 5526  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8422  Basecbs 16554   ↾_s cress 16555  Ringcrg 19378  CRingccrg 19379  SubRingcsubrg 19612  algSccascl 20630   mPoly cmpl 20681   evalSub ces 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-srg 19337  df-ring 19380  df-cring 19381  df-rnghom 19551  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-assa 20631  df-asp 20632  df-ascl 20633  df-psr 20684  df-mvr 20685  df-mpl 20686  df-evls 20848

This theorem is referenced by:  mhphf  39825