Theorem evlsscaval 22396

Description: Polynomial evaluation builder for a scalar. Compare evl1scad 22614. Note that scalar multiplication by 𝑋 is the same as vector multiplication by (𝐴‘𝑋) by asclmul1 22155. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsscaval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsscaval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsscaval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsscaval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evlsscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
evlsscaval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Proof of Theorem evlsscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsscaval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
2		evlsscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		evlsscaval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evlsscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evlsscaval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7		evlsscaval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8	7	subrgring 20787	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mplasclf 22335	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶𝐵)
11		evlsscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
12	7	subrgbas 20794	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
13	6, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
15	10, 14	ffvelcdmd 7073	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
16		evlsscaval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evlsscaval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18		evlsscaval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19	16, 1, 7, 17, 4, 5, 18, 6, 11	evlssca 22364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
20	19	fveq1d 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿))
21		evlsscaval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
22		fvconst2g 7196	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
23	11, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋)
25	15, 24	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421  SubRingcsubrg 20782  algSccascl 22121   mPoly cmpl 22175   evalSub ces 22342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-srg 20374  df-ring 20422  df-cring 20423  df-rhm 20663  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-assa 22122  df-asp 22123  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-evls 22344

This theorem is used by:  evlsmaprhm  22401