Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsscaval 39874
Description: Polynomial evaluation builder for a scalar. Compare evl1scad 21107. Note that scalar multiplication by 𝑋 is the same as vector multiplication by (𝐴𝑋) by asclmul1 20701. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsscaval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsscaval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsscaval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsscaval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsscaval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsscaval.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evlsscaval.i (𝜑𝐼𝑉)
evlsscaval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsscaval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsscaval.x (𝜑𝑋𝑅)
evlsscaval.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsscaval (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Proof of Theorem evlsscaval
StepHypRef Expression
1 evlsscaval.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
2 evlsscaval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4 evlsscaval.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 evlsscaval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
6 evlsscaval.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7 evlsscaval.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
87subrgring 19659 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
101, 2, 3, 4, 5, 9mplasclf 20879 . . 3 (𝜑𝐴:(Base‘𝑈)⟶𝐵)
11 evlsscaval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑅)
127subrgbas 19665 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
136, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
1411, 13eleqtrd 2835 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
1510, 14ffvelrnd 6864 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ 𝐵)
16 evlsscaval.q . . . . 5 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
17 evlsscaval.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
18 evlsscaval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
1916, 1, 7, 17, 4, 5, 18, 6, 11evlssca 20905 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = ((𝐾m 𝐼) × {𝑋}))
2019fveq1d 6678 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴𝑋))‘𝐿) = (((𝐾m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿))
21 evlsscaval.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐾m 𝐼))
22 fvconst2g 6976 . . . 4 ((𝑋𝑅𝐿 ∈ (𝐾m 𝐼)) → (((𝐾m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
2311, 21, 22syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (((𝐾m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
2420, 23eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴𝑋))‘𝐿) = 𝑋)
2515, 24jca 515 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴𝑋))‘𝐿) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {csn 4516   × cxp 5523  cfv 6339  (class class class)co 7172  m cmap 8439  Basecbs 16588  s cress 16589  Ringcrg 19418  CRingccrg 19419  SubRingcsubrg 19652  algSccascl 20670   mPoly cmpl 20721   evalSub ces 20886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-ofr 7428  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-sup 8981  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-seq 13463  df-hash 13785  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-hom 16694  df-cco 16695  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-prds 16826  df-pws 16828  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-mhm 18074  df-submnd 18075  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-mulg 18345  df-subg 18396  df-ghm 18476  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-abl 19029  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-srg 19377  df-ring 19420  df-cring 19421  df-rnghom 19591  df-subrg 19654  df-lmod 19757  df-lss 19825  df-lsp 19865  df-assa 20671  df-asp 20672  df-ascl 20673  df-psr 20724  df-mvr 20725  df-mpl 20726  df-evls 20888
This theorem is referenced by:  mhphf  39886
  Copyright terms: Public domain W3C validator