Theorem evlsscaval 42545

Description: Polynomial evaluation builder for a scalar. Compare evl1scad 22255. Note that scalar multiplication by 𝑋 is the same as vector multiplication by (𝐴‘𝑋) by asclmul1 21828. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsscaval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsscaval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsscaval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsscaval.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
evlsscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
evlsscaval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsscaval	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Proof of Theorem evlsscaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsscaval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
2		evlsscaval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
4		evlsscaval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evlsscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		evlsscaval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7		evlsscaval.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8	7	subrgring 20494	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mplasclf 22005	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝑈)⟶𝐵)
11		evlsscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
12	7	subrgbas 20501	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
13	6, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘𝑈))
14	11, 13	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
15	10, 14	ffvelcdmd 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
16		evlsscaval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evlsscaval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
18		evlsscaval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19	16, 1, 7, 17, 4, 5, 18, 6, 11	evlssca 22029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
20	19	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿))
21		evlsscaval.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
22		fvconst2g 7158	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝐿 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼)) → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↑m 𝐼) × {𝑋})‘𝐿) = 𝑋)
24	20, 23	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋)
25	15, 24	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝐴‘𝑋))‘𝐿) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  SubRingcsubrg 20489  algSccascl 21794   mPoly cmpl 21848   evalSub ces 22012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-assa 21795  df-asp 21796  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-evls 22014

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  42551