Theorem evls1maplmhm 22240

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 is a module homomorphism, when considering the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
evls1maplmhm.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evls1maplmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maplmhm

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3	2	subrgring 20459	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
5		evls1maprhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6	5	ply1lmod 22112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
8		evls1maplmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)
9	8	sralmod 21070	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ LMod)
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
11		evls1maprhm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
12		evls1maprhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		evls1maprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
15		evls1maprhm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1maprhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17	11, 5, 12, 13, 14, 1, 15, 16	evls1maprhm 22239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
18		rhmghm 20369	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
20	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
21	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
22	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆))
23	12	subrgss 20457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24, 12	sseqtrdi 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
26	22, 25	srabase 21060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
27	12, 26	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
28		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
29	22, 25	sraaddg 21061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
30	29	oveqdr 7397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
31	20, 21, 20, 27, 28, 30	ghmpropd 19164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 GrpHom 𝑅) = (𝑃 GrpHom 𝐴))
32	19, 31	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴))
33	22, 25	srasca 21063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
34		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V
35	5	ply1sca 22113	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
36	34, 35	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
37	33, 36	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃))
38		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)))
39	38	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
40	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ LMod)
41		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
44		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
45		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
46	13, 43, 44, 45	lmodvscl 20760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
48		fvexd 6855	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) ∈ V)
49	16, 39, 47, 48	fvmptd3 6973	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
50		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
52	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
53	2, 12	ressbas2 17184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
54	24, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
55	36	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
56	54, 55	eqtr2d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑆)
57	56	eqimssd 4000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ 𝑆)
58	57	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	11, 12, 5, 2, 13, 44, 50, 51, 52, 59, 42, 60	evls1vsca 22236	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) = (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)))
62	22, 25	sravsca 21064	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
63	62	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
64		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 = 𝑘)
65		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑥))
66	65	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
67		fvexd 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) ∈ V)
68	16, 66, 42, 67	fvmptd3 6973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
69	68	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) = (𝐹‘𝑥))
70	63, 64, 69	oveq123d 7390	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
71	49, 61, 70	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
72	71	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
73	72	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
74		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
75		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
76	43, 74, 45, 13, 44, 75	islmhm 20910	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴) ↔ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))))
77	76	biimpri 228	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
78	7, 10, 32, 37, 73, 77	syl23anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200   GrpHom cghm 19120  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  SubRingcsubrg 20454  LModclmod 20742   LMHom clmhm 20902  subringAlg csra 21054  Poly₁cpl1 22037   evalSub₁ ces1 22176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lmhm 20905  df-sra 21056  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-evls1 22178  df-evl1 22179

This theorem is referenced by:  algextdeglem2  33681  algextdeglem4  33683