Theorem evls1maplmhm 22319

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 is a module homomorphism, when considering the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
evls1maplmhm.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evls1maplmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maplmhm

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3	2	subrgring 20505	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
5		evls1maprhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6	5	ply1lmod 22190	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
8		evls1maplmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)
9	8	sralmod 21137	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ LMod)
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
11		evls1maprhm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
12		evls1maprhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		evls1maprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
15		evls1maprhm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1maprhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17	11, 5, 12, 13, 14, 1, 15, 16	evls1maprhm 22318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
18		rhmghm 20417	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
20	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
21	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
22	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆))
23	12	subrgss 20503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24, 12	sseqtrdi 3972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
26	22, 25	srabase 21127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
27	12, 26	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
28		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
29	22, 25	sraaddg 21128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
30	29	oveqdr 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
31	20, 21, 20, 27, 28, 30	ghmpropd 19183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 GrpHom 𝑅) = (𝑃 GrpHom 𝐴))
32	19, 31	eleqtrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴))
33	22, 25	srasca 21130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
34		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V
35	5	ply1sca 22191	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
36	34, 35	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
37	33, 36	eqtr3d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃))
38		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)))
39	38	fveq1d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
40	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ LMod)
41		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
44		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
45		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
46	13, 43, 44, 45	lmodvscl 20827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
48		fvexd 6847	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) ∈ V)
49	16, 39, 47, 48	fvmptd3 6962	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
50		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
52	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
53	2, 12	ressbas2 17163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
54	24, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
55	36	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
56	54, 55	eqtr2d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑆)
57	56	eqimssd 3988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ 𝑆)
58	57	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	11, 12, 5, 2, 13, 44, 50, 51, 52, 59, 42, 60	evls1vsca 22315	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) = (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)))
62	22, 25	sravsca 21131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
63	62	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
64		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 = 𝑘)
65		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑥))
66	65	fveq1d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
67		fvexd 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) ∈ V)
68	16, 66, 42, 67	fvmptd3 6962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
69	68	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) = (𝐹‘𝑥))
70	63, 64, 69	oveq123d 7377	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
71	49, 61, 70	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
72	71	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
73	72	ralrimivva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
74		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
75		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
76	43, 74, 45, 13, 44, 75	islmhm 20977	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴) ↔ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))))
77	76	biimpri 228	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
78	7, 10, 32, 37, 73, 77	syl23anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179   GrpHom cghm 19139  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167   RingHom crh 20403  SubRingcsubrg 20500  LModclmod 20809   LMHom clmhm 20969  subringAlg csra 21121  Poly₁cpl1 22115   evalSub₁ ces1 22255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lmhm 20972  df-sra 21123  df-assa 21806  df-asp 21807  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-evls 22027  df-evl 22028  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-evls1 22257  df-evl1 22258

This theorem is referenced by:  algextdeglem2  33824  algextdeglem4  33826