Theorem evls1maplmhm 22537

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 is a module homomorphism, when considering the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
evls1maplmhm.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evls1maplmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maplmhm

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3	2	subrgring 20673	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
5		evls1maprhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6	5	ply1lmod 22411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
8		evls1maplmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)
9	8	sralmod 21308	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ LMod)
10	1, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
11		evls1maprhm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
12		evls1maprhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		evls1maprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
15		evls1maprhm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1maprhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17	11, 5, 12, 13, 14, 1, 15, 16	evls1maprhm 22536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
18		rhmghm 20562	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
20	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
21	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
22	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆))
23	12	subrgss 20671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
24	1, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24, 12	sseqtrdi 3977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
26	22, 25	srabase 21298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
27	12, 26	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
28		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
29	22, 25	sraaddg 21299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
30	29	oveqdr 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
31	20, 21, 20, 27, 28, 30	ghmpropd 19321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 GrpHom 𝑅) = (𝑃 GrpHom 𝐴))
32	19, 31	eleqtrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴))
33	22, 25	srasca 21301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
34		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V
35	5	ply1sca 22412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
36	34, 35	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
37	33, 36	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃))
38		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)))
39	38	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
40	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ LMod)
41		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
44		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
46	13, 43, 44, 45	lmodvscl 20999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
48		fvexd 6896	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) ∈ V)
49	16, 39, 47, 48	fvmptd3 7013	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
50		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
52	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
53	2, 12	ressbas2 17293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
54	24, 53	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
55	36	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
56	54, 55	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑆)
57	56	eqimssd 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ 𝑆)
58	57	sselda 3937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
59	58	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	15	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	11, 12, 5, 2, 13, 44, 50, 51, 52, 59, 42, 60	evls1vsca 22533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) = (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)))
62	22, 25	sravsca 21302	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
63	62	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
64		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 = 𝑘)
65		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑥))
66	65	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
67		fvexd 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) ∈ V)
68	16, 66, 42, 67	fvmptd3 7013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
69	68	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) = (𝐹‘𝑥))
70	63, 64, 69	oveq123d 7431	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
71	49, 61, 70	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
72	71	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
73	72	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
74		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
75		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
76	43, 74, 45, 13, 44, 75	islmhm 21148	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴) ↔ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))))
77	76	biimpri 231	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
78	7, 10, 32, 37, 73, 77	syl23anc 1404	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309   GrpHom cghm 19278  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311   RingHom crh 20547  SubRingcsubrg 20668  LModclmod 20981   LMHom clmhm 21140  subringAlg csra 21292  Poly₁cpl1 22337   evalSub₁ ces1 22473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lmhm 21143  df-sra 21294  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-evls1 22475  df-evl1 22476

This theorem is referenced by:  algextdeglem2  34108  algextdeglem4  34110