Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1maplmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1maplmhm 33050
Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 is a module homomorphism, when considering the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1maprhm.q 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
evls1maprhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evls1maprhm.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evls1maprhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evls1maprhm.y (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
evls1maprhm.f 𝐹 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
evls1maplmhm.1 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
evls1maplmhm (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑋,𝑝   πœ‘,𝑝   𝑆,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)
Proof of Theorem evls1maplmhm
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1maprhm.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
2 eqid 2731 . . . . 5 (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
32subrgring 20465 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑆) ∈ Ring)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑆) ∈ Ring)
5 evls1maprhm.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆))
65ply1lmod 21995 . . 3 ((𝑅 β†Ύs 𝑆) ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
8 evls1maplmhm.1 . . . 4 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π‘†)
98sralmod 20955 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
101, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ LMod)
11 evls1maprhm.q . . . . 5 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
12 evls1maprhm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
13 evls1maprhm.u . . . . 5 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
14 evls1maprhm.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
15 evls1maprhm.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 evls1maprhm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹))
1711, 5, 12, 13, 14, 1, 15, 16evls1maprhm 33049 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
18 rhmghm 20376 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
1917, 18syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
2013a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ))
2112a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
228a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π‘†))
2312subrgss 20463 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
241, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2524, 12sseqtrdi 4032 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2622, 25srabase 20938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π΄))
2712, 26eqtrid 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π΄))
28 eqidd 2732 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘ƒ)𝑦))
2922, 25sraaddg 20940 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π΄))
3029oveqdr 7440 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦))
3120, 21, 20, 27, 28, 30ghmpropd 19171 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 GrpHom 𝑅) = (𝑃 GrpHom 𝐴))
3219, 31eleqtrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴))
3322, 25srasca 20944 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))
34 ovex 7445 . . . 4 (𝑅 β†Ύs 𝑆) ∈ V
355ply1sca 21996 . . . 4 ((𝑅 β†Ύs 𝑆) ∈ V β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3634, 35mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3733, 36eqtr3d 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
38 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑝 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜π‘) = (π‘‚β€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)))
3938fveq1d 6893 . . . . . 6 (𝑝 = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯) β†’ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((π‘‚β€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯))β€˜π‘‹))
407ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
41 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
42 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
43 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
44 eqid 2731 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
45 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
4613, 43, 44, 45lmodvscl 20633 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ LMod ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯) ∈ π‘ˆ)
4740, 41, 42, 46syl3anc 1370 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯) ∈ π‘ˆ)
48 fvexd 6906 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯))β€˜π‘‹) ∈ V)
4916, 39, 47, 48fvmptd3 7021 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)) = ((π‘‚β€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯))β€˜π‘‹))
50 eqid 2731 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5114ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
521ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
532, 12ressbas2 17187 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆)))
5424, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆)))
5536fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5654, 55eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝑆)
5756eqimssd 4038 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) βŠ† 𝑆)
5857sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑆)
5958adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ ∈ 𝑆)
6015ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6111, 12, 5, 2, 13, 44, 50, 51, 52, 59, 42, 60evls1vsca 32925 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯))β€˜π‘‹) = (π‘˜(.rβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘‹)))
6222, 25sravsca 20946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘…) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
6362ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (.rβ€˜π‘…) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
64 eqidd 2732 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘˜ = π‘˜)
65 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑝 = π‘₯ β†’ (π‘‚β€˜π‘) = (π‘‚β€˜π‘₯))
6665fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (𝑝 = π‘₯ β†’ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π‘‹) = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘‹))
67 fvexd 6906 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘‹) ∈ V)
6816, 66, 42, 67fvmptd3 7021 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘‹))
6968eqcomd 2737 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘₯))
7063, 64, 69oveq123d 7433 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘˜(.rβ€˜π‘…)((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘‹)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π΄)(πΉβ€˜π‘₯)))
7149, 61, 703eqtrd 2775 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π΄)(πΉβ€˜π‘₯)))
7271anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π΄)(πΉβ€˜π‘₯)))
7372ralrimivva 3199 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π΄)(πΉβ€˜π‘₯)))
74 eqid 2731 . . . 4 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
75 eqid 2731 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜π΄)
7643, 74, 45, 13, 44, 75islmhm 20783 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴) ↔ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π΄)(πΉβ€˜π‘₯)))))
7776biimpri 227 . 2 (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (πΉβ€˜(π‘˜( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)π‘₯)) = (π‘˜( ·𝑠 β€˜π΄)(πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
787, 10, 32, 37, 73, 77syl23anc 1376 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206   GrpHom cghm 19128  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  SubRingcsubrg 20458  LModclmod 20615   LMHom clmhm 20775  subringAlg csra 20927  Poly1cpl1 21921   evalSub1 ces1 22053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lmhm 20778  df-sra 20931  df-assa 21628  df-asp 21629  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-evls 21855  df-evl 21856  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-evls1 22055  df-evl1 22056
This theorem is referenced by:  algextdeglem2  33064  algextdeglem4  33066
  Copyright terms: Public domain W3C validator