Theorem evls1maplmhm 22750

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 is a module homomorphism, when considering the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
evls1maplmhm.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evls1maplmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maplmhm

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3	2	subrgring 20877	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
4	1, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
5		evls1maprhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6	5	ply1lmod 22624	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
8		evls1maplmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)
9	8	sralmod 21513	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ LMod)
10	1, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
11		evls1maprhm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
12		evls1maprhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		evls1maprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
15		evls1maprhm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1maprhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17	11, 5, 12, 13, 14, 1, 15, 16	evls1maprhm 22749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
18		rhmghm 20765	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
20	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
21	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
22	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆))
23	12	subrgss 20875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
24	1, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24, 12	sseqtrdi 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
26	22, 25	srabase 21503	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
27	12, 26	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
28		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
29	22, 25	sraaddg 21504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
30	29	oveqdr 7479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
31	20, 21, 20, 27, 28, 30	ghmpropd 19520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 GrpHom 𝑅) = (𝑃 GrpHom 𝐴))
32	19, 31	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴))
33	22, 25	srasca 21506	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
34		ovex 7484	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V
35	5	ply1sca 22625	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
36	34, 35	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
37	33, 36	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃))
38		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)))
39	38	fveq1d 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
40	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ LMod)
41		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
44		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
45		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
46	13, 43, 44, 45	lmodvscl 21204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
48		fvexd 6931	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) ∈ V)
49	16, 39, 47, 48	fvmptd3 7048	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
50		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
52	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
53	2, 12	ressbas2 17460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
54	24, 53	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
55	36	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
56	54, 55	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑆)
57	56	eqimssd 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ 𝑆)
58	57	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
59	58	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	15	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	11, 12, 5, 2, 13, 44, 50, 51, 52, 59, 42, 60	evls1vsca 22746	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) = (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)))
62	22, 25	sravsca 21507	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
63	62	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
64		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 = 𝑘)
65		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑥))
66	65	fveq1d 6918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
67		fvexd 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) ∈ V)
68	16, 66, 42, 67	fvmptd3 7048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
69	68	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) = (𝐹‘𝑥))
70	63, 64, 69	oveq123d 7472	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
71	49, 61, 70	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
72	71	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
73	72	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
74		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
75		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
76	43, 74, 45, 13, 44, 75	islmhm 21353	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴) ↔ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))))
77	76	biimpri 231	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
78	7, 10, 32, 37, 73, 77	syl23anc 1405	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476   GrpHom cghm 19477  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  SubRingcsubrg 20872  LModclmod 21186   LMHom clmhm 21345  subringAlg csra 21497  Poly₁cpl1 22550   evalSub₁ ces1 22686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lmhm 21348  df-sra 21499  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-evls 22438  df-evl 22439  df-psr1 22553  df-vr1 22554  df-ply1 22555  df-coe1 22556  df-evls1 22688  df-evl1 22689

This theorem is used by:  algextdeglem2  34461  algextdeglem4  34463