Theorem evls1maplmhm 22271

Description: The function 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴 is a module homomorphism, when considering the subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1maprhm.q	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1maprhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1maprhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evls1maprhm.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1maprhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1maprhm.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evls1maprhm.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
evls1maprhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
evls1maplmhm.1	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evls1maplmhm	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝   𝑆,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑅(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem evls1maplmhm

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1maprhm.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
3	2	subrgring 20490	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring)
5		evls1maprhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
6	5	ply1lmod 22143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
8		evls1maplmhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆)
9	8	sralmod 21101	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ LMod)
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
11		evls1maprhm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
12		evls1maprhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		evls1maprhm.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14		evls1maprhm.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
15		evls1maprhm.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1maprhm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝑋))
17	11, 5, 12, 13, 14, 1, 15, 16	evls1maprhm 22270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅))
18		rhmghm 20400	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
20	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑃))
21	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
22	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑅)‘𝑆))
23	12	subrgss 20488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
25	24, 12	sseqtrdi 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
26	22, 25	srabase 21091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝐴))
27	12, 26	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐴))
28		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
29	22, 25	sraaddg 21092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐴))
30	29	oveqdr 7418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
31	20, 21, 20, 27, 28, 30	ghmpropd 19195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 GrpHom 𝑅) = (𝑃 GrpHom 𝐴))
32	19, 31	eleqtrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴))
33	22, 25	srasca 21094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
34		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V
35	5	ply1sca 22144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝑆) ∈ V → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
36	34, 35	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝑃))
37	33, 36	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃))
38		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)))
39	38	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
40	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ LMod)
41		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
42		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
44		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
45		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
46	13, 43, 44, 45	lmodvscl 20791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥) ∈ 𝑈)
48		fvexd 6876	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) ∈ V)
49	16, 39, 47, 48	fvmptd3 6994	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋))
50		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
51	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
52	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
53	2, 12	ressbas2 17215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
54	24, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)))
55	36	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑅 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
56	54, 55	eqtr2d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = 𝑆)
57	56	eqimssd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑃)) ⊆ 𝑆)
58	57	sselda 3949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝑆)
60	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
61	11, 12, 5, 2, 13, 44, 50, 51, 52, 59, 42, 60	evls1vsca 22267	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥))‘𝑋) = (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)))
62	22, 25	sravsca 21095	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
63	62	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
64		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑘 = 𝑘)
65		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑥))
66	65	fveq1d 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → ((𝑂‘𝑝)‘𝑋) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
67		fvexd 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) ∈ V)
68	16, 66, 42, 67	fvmptd3 6994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝑥) = ((𝑂‘𝑥)‘𝑋))
69	68	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘𝑥)‘𝑋) = (𝐹‘𝑥))
70	63, 64, 69	oveq123d 7411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑘(.r‘𝑅)((𝑂‘𝑥)‘𝑋)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
71	49, 61, 70	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
72	71	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
73	72	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))
74		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
75		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
76	43, 74, 45, 13, 44, 75	islmhm 20941	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴) ↔ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))))
77	76	biimpri 228	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑃 GrpHom 𝐴) ∧ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑃) ∧ ∀𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑥 ∈ 𝑈 (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑃)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐴)(𝐹‘𝑥)))) → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))
78	7, 10, 32, 37, 73, 77	syl23anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 LMHom 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231   GrpHom cghm 19151  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  SubRingcsubrg 20485  LModclmod 20773   LMHom clmhm 20933  subringAlg csra 21085  Poly₁cpl1 22068   evalSub₁ ces1 22207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lmhm 20936  df-sra 21087  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074  df-evls1 22209  df-evl1 22210

This theorem is referenced by:  algextdeglem2  33715  algextdeglem4  33717