MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgds 28630
Description: The metric of a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgds.1 𝐷 = (dist‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgds 𝐷 = (dist‘𝐺)

Proof of Theorem ttgds
StepHypRef Expression
1 ttgds.1 . 2 𝐷 = (dist‘𝐻)
2 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTG‘𝐻)
3 dsid 17336 . . 3 dist = Slot (dist‘ndx)
4 slotslnbpsd 28186 . . . . 5 (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
5 simprr 770 . . . . 5 ((((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
76necomi 2987 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
8 slotsinbpsd 28185 . . . . 5 (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
9 simprr 770 . . . . 5 ((((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
1110necomi 2987 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
122, 3, 7, 11ttglem 28621 . 2 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐺)
131, 12eqtri 2752 1 𝐷 = (dist‘𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wne 2932  cfv 6534  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +gcplusg 17202   ·𝑠 cvsca 17206  distcds 17211  Itvcitv 28177  LineGclng 28178  toTGcttg 28617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-vsca 17219  df-ds 17224  df-itv 28179  df-lng 28180  df-ttg 28618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator