MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgvsca 27868
Description: The scalar product of a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgvsca.1 · = ( ·𝑠𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgvsca · = ( ·𝑠𝐺)

Proof of Theorem ttgvsca
StepHypRef Expression
1 ttgvsca.1 . 2 · = ( ·𝑠𝐻)
2 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTG‘𝐻)
3 vscaid 17208 . . 3 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4 slotslnbpsd 27426 . . . . 5 (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
5 simprl 770 . . . . 5 ((((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
76necomi 2999 . . 3 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
8 slotsinbpsd 27425 . . . . 5 (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
9 simprl 770 . . . . 5 ((((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
1110necomi 2999 . . 3 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
122, 3, 7, 11ttglem 27861 . 2 ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠𝐺)
131, 12eqtri 2765 1 · = ( ·𝑠𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wne 2944  cfv 6501  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140   ·𝑠 cvsca 17144  distcds 17149  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  toTGcttg 27857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-vsca 17157  df-ds 17162  df-itv 27419  df-lng 27420  df-ttg 27858
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator