MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgvsca 27773
Description: The scalar product of a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgvsca.1 · = ( ·𝑠𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgvsca · = ( ·𝑠𝐺)

Proof of Theorem ttgvsca
StepHypRef Expression
1 ttgvsca.1 . 2 · = ( ·𝑠𝐻)
2 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTG‘𝐻)
3 vscaid 17200 . . 3 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
4 slotslnbpsd 27331 . . . . 5 (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
5 simprl 769 . . . . 5 ((((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
76necomi 2998 . . 3 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
8 slotsinbpsd 27330 . . . . 5 (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
9 simprl 769 . . . . 5 ((((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
1110necomi 2998 . . 3 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
122, 3, 7, 11ttglem 27766 . 2 ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠𝐺)
131, 12eqtri 2764 1 · = ( ·𝑠𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wne 2943  cfv 6496  ndxcnx 17064  Basecbs 17082  +gcplusg 17132   ·𝑠 cvsca 17136  distcds 17141  Itvcitv 27322  LineGclng 27323  toTGcttg 27762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-vsca 17149  df-ds 17154  df-itv 27324  df-lng 27325  df-ttg 27763
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator