Theorem upgr1trld 27927

Description: In a pseudograph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a trail. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop). (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
upgr1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
upgr1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.j	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
upgr1wlkd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
upgr1trld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgr1trld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1wlkd.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		upgr1wlkd.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		upgr1wlkd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
4		upgr1wlkd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		upgr1wlkd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
6	1, 2, 3, 4, 5	upgr1wlkdlem1 27924	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋})
7	1, 2, 3, 4, 5	upgr1wlkdlem2 27925	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘𝐽))
8		eqid 2821	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9		eqid 2821	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	1trld 27921	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cpr 4569   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  ⟨“cs1 13949  ⟨“cs2 14203  Vtxcvtx 26781  iEdgciedg 26782  UPGraphcupgr 26865  Trailsctrls 27472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-wlks 27381  df-trls 27474

This theorem is referenced by: (None)