Theorem upgr1trld 30236

Description: In a pseudograph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a trail. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop). (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
upgr1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
upgr1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.j	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
upgr1wlkd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
upgr1trld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgr1trld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1wlkd.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		upgr1wlkd.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		upgr1wlkd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
4		upgr1wlkd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		upgr1wlkd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
6	1, 2, 3, 4, 5	upgr1wlkdlem1 30233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋})
7	1, 2, 3, 4, 5	upgr1wlkdlem2 30234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘𝐽))
8		eqid 2737	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	1trld 30230	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  ⟨“cs1 14552  ⟨“cs2 14797  Vtxcvtx 29082  iEdgciedg 29083  UPGraphcupgr 29166  Trailsctrls 29775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-concat 14527  df-s1 14553  df-s2 14804  df-wlks 29686  df-trls 29777

This theorem is referenced by: (None)