Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr1pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr1pthd 27615
 Description: In a pseudograph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
upgr1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
upgr1wlkd.x (𝜑𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.y (𝜑𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.j (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
upgr1wlkd.g (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
Assertion
Ref Expression
upgr1pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgr1pthd
StepHypRef Expression
1 upgr1wlkd.p . 2 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2 upgr1wlkd.f . 2 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3 upgr1wlkd.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
4 upgr1wlkd.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
5 upgr1wlkd.j . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
61, 2, 3, 4, 5upgr1wlkdlem1 27611 . 2 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋})
71, 2, 3, 4, 5upgr1wlkdlem2 27612 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘𝐽))
8 eqid 2795 . 2 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9 eqid 2795 . 2 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
101, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 91pthd 27609 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  {cpr 4474   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  ⟨“cs1 13793  ⟨“cs2 14039  Vtxcvtx 26464  iEdgciedg 26465  UPGraphcupgr 26548  Pathscpths 27180 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-s2 14046  df-wlks 27064  df-trls 27159  df-pths 27184 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator