Theorem upgr1pthd 28389

Description: In a pseudograph with two vertices and an edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other vertex via this edge is a path. The two vertices need not be distinct (in the case of a loop) - in this case, however, the path is not a simple path. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
upgr1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
upgr1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
upgr1wlkd.j	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
upgr1wlkd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
upgr1pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem upgr1pthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1wlkd.p	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		upgr1wlkd.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		upgr1wlkd.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
4		upgr1wlkd.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))
5		upgr1wlkd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋, 𝑌})
6	1, 2, 3, 4, 5	upgr1wlkdlem1 28385	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((iEdg‘𝐺)‘𝐽) = {𝑋})
7	1, 2, 3, 4, 5	upgr1wlkdlem2 28386	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘𝐽))
8		eqid 2739	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9		eqid 2739	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	1pthd 28383	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ‘cfv 6415  ⟨“cs1 14203  ⟨“cs2 14457  Vtxcvtx 27244  iEdgciedg 27245  UPGraphcupgr 27328  Pathscpths 27956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-map 8552  df-pm 8553  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-card 9603  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-fz 13144  df-fzo 13287  df-hash 13948  df-word 14121  df-concat 14177  df-s1 14204  df-s2 14464  df-wlks 27844  df-trls 27937  df-pths 27960

This theorem is referenced by: (None)