Theorem upgrimwlklem4 48289

Description: Lemma 4 for upgrimwlk 48291. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
upgrimwlklem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
4	2, 3	grimf1o 48273	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
5		f1of 6784	. . 3 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)⟶(Vtx‘𝐻))
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)⟶(Vtx‘𝐻))
7		upgrimwlklem.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
10		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
12		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
13		upgrimwlk.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	8, 9, 10, 11, 1, 12, 13	upgrimwlklem1 48286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
15	14	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐸)) = (0...(♯‘𝐹)))
16	15	feq2d 6656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	7, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐺))
18	6, 17	fcod 6697	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633  dom cdm 5634   “ cima 5637   ∘ ccom 5638  ⟶wf 6498  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  ...cfz 13437  ♯chash 14267  Word cword 14450  Vtxcvtx 29087  iEdgciedg 29088  USPGraphcuspgr 29239   GraphIso cgrim 48264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-grim 48267

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48291  upgrimpths  48298