Theorem upgrimwlklem4 48693

Description: Lemma 4 for upgrimwlk 48695. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
upgrimwlklem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
4	2, 3	grimf1o 48677	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
5		f1of 6820	. . 3 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)⟶(Vtx‘𝐻))
6	1, 4, 5	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)⟶(Vtx‘𝐻))
7		upgrimwlklem.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
10		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
12		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
13		upgrimwlk.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	8, 9, 10, 11, 1, 12, 13	upgrimwlklem1 48690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
15	14	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐸)) = (0...(♯‘𝐹)))
16	15	feq2d 6689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	7, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐺))
18	6, 17	fcod 6731	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  ...cfz 13539  ♯chash 14371  Word cword 14555  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  USPGraphcuspgr 29507   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-grim 48671

This theorem is used by:  upgrimwlk  48695  upgrimpths  48702