Theorem upgrimwlklem4 48405

Description: Lemma 4 for upgrimwlk 48407. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
upgrimwlklem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem4	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
2		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
4	2, 3	grimf1o 48389	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
5		f1of 6771	. . 3 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)⟶(Vtx‘𝐻))
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Vtx‘𝐺)⟶(Vtx‘𝐻))
7		upgrimwlklem.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
8		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
10		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
12		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
13		upgrimwlk.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
14	8, 9, 10, 11, 1, 12, 13	upgrimwlklem1 48402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
15	14	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐸)) = (0...(♯‘𝐹)))
16	15	feq2d 6643	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)))
17	7, 16	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐺))
18	6, 17	fcod 6684	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  ...cfz 13456  ♯chash 14287  Word cword 14470  Vtxcvtx 29087  iEdgciedg 29088  USPGraphcuspgr 29239   GraphIso cgrim 48380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-grim 48383

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48407  upgrimpths  48414