Theorem upgrimwlk 48215

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map walks onto walks. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlk	⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 29692	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem2 48211	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	wlkp 29694	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 13	upgrimwlklem4 48213	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem3 48212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimwlklem5 48214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
17	15, 16	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
18	17	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
19		uspgrupgr 29255	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UPGraph)
20		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
21	20, 2	upgriswlk 29718	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ UPGraph → (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ∧ (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
22	4, 19, 21	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ∧ (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
23	10, 14, 18, 22	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {cpr 4583   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574  ♯chash 14257  Word cword 14440  Vtxcvtx 29073  iEdgciedg 29074  UPGraphcupgr 29157  USPGraphcuspgr 29225  Walkscwlks 29674   GraphIso cgrim 48188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-edg 29125  df-uhgr 29135  df-upgr 29159  df-uspgr 29227  df-wlks 29677  df-grim 48191

This theorem is referenced by:  upgrimwlklen  48216  upgrimtrls  48219