Theorem upgrimwlk 48922

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map walks onto walks. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlk	⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 30128	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem2 48918	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	wlkp 30130	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 13	upgrimwlklem4 48920	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem3 48919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimwlklem5 48921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
17	15, 16	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
18	17	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
19		uspgrupgr 29692	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UPGraph)
20		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
21	20, 2	upgriswlk 30154	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ UPGraph → (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ∧ (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
22	4, 19, 21	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ∧ (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
23	10, 14, 18, 22	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {cpr 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   “ cima 5650   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174  ...cfz 13608  ..^cfzo 13756  ♯chash 14441  Word cword 14625  Vtxcvtx 29507  iEdgciedg 29508  UPGraphcupgr 29591  USPGraphcuspgr 29662  Walkscwlks 30110   GraphIso cgrim 48895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-upgr 29593  df-uspgr 29664  df-wlks 30113  df-grim 48898

This theorem is used by:  upgrimwlklen  48923  upgrimtrls  48926