Theorem upgrimwlk 48695

Description: Graph isomorphisms between simple pseudographs map walks onto walks. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlk	⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 29975	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem2 48691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word dom 𝐽)
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12	11	wlkp 29977	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 13	upgrimwlklem4 48693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem3 48692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	upgrimwlklem5 48694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
17	15, 16	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
18	17	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
19		uspgrupgr 29539	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UPGraph)
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
21	20, 2	upgriswlk 30001	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ UPGraph → (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ∧ (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
22	4, 19, 21	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃) ↔ (𝐸 ∈ Word dom 𝐽 ∧ (𝑁 ∘ 𝑃):(0...(♯‘𝐸))⟶(Vtx‘𝐻) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))(𝐽‘(𝐸‘𝑖)) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
23	10, 14, 18, 22	mpbir3and 1360	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸(Walks‘𝐻)(𝑁 ∘ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  {cpr 4590   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660   “ cima 5663   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373  Word cword 14557  Vtxcvtx 29357  iEdgciedg 29358  UPGraphcupgr 29441  USPGraphcuspgr 29509  Walkscwlks 29957   GraphIso cgrim 48668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1078  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-edg 29409  df-uhgr 29419  df-upgr 29443  df-uspgr 29511  df-wlks 29960  df-grim 48671

This theorem is used by:  upgrimwlklen  48696  upgrimtrls  48699