Theorem upgrimwlklem5 48290

Description: Lemma 5 for upgrimwlk 48291. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐸(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem upgrimwlklem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 29706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem1 48286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
11	10	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
12	11	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
13		uspgrupgr 29269	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
14	3, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
15	1	upgrwlkedg 29733	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
16	14, 7, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
17		2fveq3 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))
18		fveq2 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑖))
19		fvoveq1 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20	18, 19	preq12d 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	17, 20	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
22	21	rspcv 3574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24		imaeq2 6025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27	25, 26	grimf1o 48273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
28		f1ofn 6785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
29	5, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
31	25	wlkp 29708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
34		elfzofz 13605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
36	33, 35	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺))
37		fzofzp1 13694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
39	33, 38	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
40		fnimapr 6927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
41	30, 36, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
42	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
43	42, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
44	43, 35	fvco3d 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖) = (𝑁‘(𝑃‘𝑖)))
45	33, 38	fvco3d 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1)) = (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	preq12d 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
47	41, 46	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
48	24, 47	sylan9eqr 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
49	48	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
50	23, 49	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
52	16, 51	mpid 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
53	12, 52	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
54	53	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633  dom cdm 5634   “ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6497  ⟶wf 6498  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  ♯chash 14267  Word cword 14450  Vtxcvtx 29087  iEdgciedg 29088  UPGraphcupgr 29171  USPGraphcuspgr 29239  Walkscwlks 29688   GraphIso cgrim 48264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-upgr 29173  df-uspgr 29241  df-wlks 29691  df-grim 48267

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48291