Theorem upgrimwlklem5 47862

Description: Lemma 5 for upgrimwlk 47863. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐸(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem upgrimwlklem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 29540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem1 47858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
11	10	oveq2d 7419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
12	11	eleq2d 2820	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
13		uspgrupgr 29103	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
14	3, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
15	1	upgrwlkedg 29568	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
16	14, 7, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
17		2fveq3 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))
18		fveq2 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑖))
19		fvoveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20	18, 19	preq12d 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	17, 20	eqeq12d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
22	21	rspcv 3597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24		imaeq2 6043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27	25, 26	grimf1o 47845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
28		f1ofn 6818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
29	5, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
31	25	wlkp 29542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
34		elfzofz 13690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
36	33, 35	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺))
37		fzofzp1 13778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
39	33, 38	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
40		fnimapr 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
41	30, 36, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
42	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
43	42, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
44	43, 35	fvco3d 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖) = (𝑁‘(𝑃‘𝑖)))
45	33, 38	fvco3d 6978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1)) = (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	preq12d 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
47	41, 46	eqtr4d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
48	24, 47	sylan9eqr 2792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
49	48	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
50	23, 49	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
52	16, 51	mpid 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
53	12, 52	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
54	53	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {cpr 4603   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  ...cfz 13522  ..^cfzo 13669  ♯chash 14346  Word cword 14529  Vtxcvtx 28921  iEdgciedg 28922  UPGraphcupgr 29005  USPGraphcuspgr 29073  Walkscwlks 29522   GraphIso cgrim 47836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14347  df-word 14530  df-edg 28973  df-uhgr 28983  df-upgr 29007  df-uspgr 29075  df-wlks 29525  df-grim 47839

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  47863