Theorem upgrimwlklem5 48000

Description: Lemma 5 for upgrimwlk 48001. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐸(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem upgrimwlklem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 29593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem1 47996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
11	10	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
12	11	eleq2d 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
13		uspgrupgr 29156	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
14	3, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
15	1	upgrwlkedg 29620	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
16	14, 7, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
17		2fveq3 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))
18		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑖))
19		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20	18, 19	preq12d 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	17, 20	eqeq12d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
22	21	rspcv 3568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24		imaeq2 6004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27	25, 26	grimf1o 47983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
28		f1ofn 6764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
29	5, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
31	25	wlkp 29595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
34		elfzofz 13575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
36	33, 35	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺))
37		fzofzp1 13664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
39	33, 38	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
40		fnimapr 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
41	30, 36, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
42	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
43	42, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
44	43, 35	fvco3d 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖) = (𝑁‘(𝑃‘𝑖)))
45	33, 38	fvco3d 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1)) = (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	preq12d 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
47	41, 46	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
48	24, 47	sylan9eqr 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
49	48	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
50	23, 49	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
52	16, 51	mpid 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
53	12, 52	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
54	53	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {cpr 4575   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  Vtxcvtx 28974  iEdgciedg 28975  UPGraphcupgr 29058  USPGraphcuspgr 29126  Walkscwlks 29575   GraphIso cgrim 47974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-upgr 29060  df-uspgr 29128  df-wlks 29578  df-grim 47977

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48001