Theorem upgrimwlklem5 48802

Description: Lemma 5 for upgrimwlk 48803. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐸(𝑥, 𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑥, 𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝑁(𝑥, 𝑖)

Proof of Theorem upgrimwlklem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 30058	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem1 48798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
11	10	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
12	11	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
13		uspgrupgr 29622	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
14	3, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
15	1	upgrwlkedg 30085	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
16	14, 7, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
17		2fveq3 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))
18		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑖))
19		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20	18, 19	preq12d 4705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	17, 20	eqeq12d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
22	21	rspcv 3575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
23	22	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24		imaeq2 6056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27	25, 26	grimf1o 48785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
28		f1ofn 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
29	5, 27, 28	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
31	25	wlkp 30060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
32	7, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
34		elfzofz 13731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
36	33, 35	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺))
37		fzofzp1 13820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
39	33, 38	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
40		fnimapr 6965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
41	30, 36, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
42	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
43	42, 31	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
44	43, 35	fvco3d 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖) = (𝑁‘(𝑃‘𝑖)))
45	33, 38	fvco3d 6983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1)) = (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	preq12d 4705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
47	41, 46	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
48	24, 47	sylan9eqr 2819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
49	48	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
50	23, 49	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
51	50	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
52	16, 51	mpid 45	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
53	12, 52	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
54	53	imp 412	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {cpr 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578  Vtxcvtx 29437  iEdgciedg 29438  UPGraphcupgr 29521  USPGraphcuspgr 29592  Walkscwlks 30040   GraphIso cgrim 48776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-edg 29489  df-uhgr 29499  df-upgr 29523  df-uspgr 29594  df-wlks 30043  df-grim 48779

This theorem is used by:  upgrimwlk  48803