Theorem upgrimwlklem5 48377

Description: Lemma 5 for upgrimwlk 48378. (Contributed by AV, 28-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝐸(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑖)   𝐽(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem upgrimwlklem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		upgrimwlk.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		upgrimwlk.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4		upgrimwlk.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		upgrimwlk.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
6		upgrimwlk.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7		upgrimwlk.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8	1	wlkf 29683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	upgrimwlklem1 48373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
11	10	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
12	11	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
13		uspgrupgr 29247	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
14	3, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
15	1	upgrwlkedg 29710	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
16	14, 7, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
17		2fveq3 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))
18		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑖))
19		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
20	18, 19	preq12d 4685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
21	17, 20	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
22	21	rspcv 3560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24		imaeq2 6021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
25		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
27	25, 26	grimf1o 48360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
28		f1ofn 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
29	5, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 Fn (Vtx‘𝐺))
31	25	wlkp 29685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
34		elfzofz 13630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
36	33, 35	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺))
37		fzofzp1 13719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
39	33, 38	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺))
40		fnimapr 6923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘𝑖) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
41	30, 36, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
42	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
43	42, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
44	43, 35	fvco3d 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖) = (𝑁‘(𝑃‘𝑖)))
45	33, 38	fvco3d 6940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1)) = (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1))))
46	44, 45	preq12d 4685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑁‘(𝑃‘𝑖)), (𝑁‘(𝑃‘(𝑖 + 1)))})
47	41, 46	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑁 “ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
48	24, 47	sylan9eqr 2793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})
49	48	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
50	23, 49	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
51	50	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})))
52	16, 51	mpid 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
53	12, 52	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))}))
54	53	imp 406	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = {((𝑁 ∘ 𝑃)‘𝑖), ((𝑁 ∘ 𝑃)‘(𝑖 + 1))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {cpr 4569   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  UPGraphcupgr 29149  USPGraphcuspgr 29217  Walkscwlks 29665   GraphIso cgrim 48351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-upgr 29151  df-uspgr 29219  df-wlks 29668  df-grim 48354

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48378