Theorem upgrimwlklem1 48800

Description: Lemma 1 for upgrimwlk 48805 and upgrimwlklen 48806. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ V)
2	1	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ V)
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
4	3	fnmpt 6676	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ V → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) Fn dom 𝐹)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) Fn dom 𝐹)
6		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7	6	fneq1i 6633	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) Fn dom 𝐹)
8	5, 7	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn dom 𝐹)
9		hashfn 14441	. . 3 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐸) = (♯‘dom 𝐹))
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘dom 𝐹))
11		upgrimwlk.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
12		wrdf 14585	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
13		ffun 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → Fun 𝐹)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
15	14	funfnd 6568	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16		hashfn 14441	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
18	10, 17	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396  Word cword 14580  iEdgciedg 29440  USPGraphcuspgr 29594   GraphIso cgrim 48778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581

This theorem is used by:  upgrimwlklem2  48801  upgrimwlklem3  48802  upgrimwlklem4  48803  upgrimwlklem5  48804  upgrimwlklen  48806  upgrimtrls  48809  upgrimpths  48812  upgrimcycls  48814