Theorem upgrimwlklem1 48524

Description: Lemma 1 for upgrimwlk 48529 and upgrimwlklen 48530. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6884	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ V)
2	1	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ V)
3		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
4	3	fnmpt 6663	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) ∈ V → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) Fn dom 𝐹)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) Fn dom 𝐹)
6		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
7	6	fneq1i 6620	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))) Fn dom 𝐹)
8	5, 7	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn dom 𝐹)
9		hashfn 14390	. . 3 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐸) = (♯‘dom 𝐹))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘dom 𝐹))
11		upgrimwlk.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
12		wrdf 14533	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
13		ffun 6696	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → Fun 𝐹)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
15	14	funfnd 6554	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
16		hashfn 14390	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
18	10, 17	eqtr4d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  Vcvv 3456   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   “ cima 5652  Fun wfun 6517   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528  iEdgciedg 29200  USPGraphcuspgr 29351   GraphIso cgrim 48502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529

This theorem is referenced by:  upgrimwlklem2  48525  upgrimwlklem3  48526  upgrimwlklem4  48527  upgrimwlklem5  48528  upgrimwlklen  48530  upgrimtrls  48533  upgrimpths  48536  upgrimcycls  48538