Theorem upgrimwlklem3 48587

Description: Lemma 3 for upgrimwlk 48590. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))))
3		2fveq3 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))
4	3	imaeq2d 6063	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
5	4	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
7		upgrimwlk.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		upgrimwlk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
9		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
10		upgrimwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
12		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	7, 8, 9, 10, 11, 1, 12	upgrimwlklem1 48585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
14	13	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
15		wrdf 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
16		fdm 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
18	15, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
19	12, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
20	14, 19	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
21	20	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑋 ∈ dom 𝐹))
22	21	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
23		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))) ∈ V)
24	2, 6, 22, 23	fvmptd 6998	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐸‘𝑋) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
25	24	fveq2d 6886	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))))
26	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐻 ∈ USPGraph)
27	8	uspgrf1oedg 29464	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
28	26, 27	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
29		uspgruhgr 29475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
30	9, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
31		uspgruhgr 29475	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
32	10, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
33	30, 32	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
34	33	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
35	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
36	7	uhgrfun 29357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
37	30, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
38	37	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → Fun 𝐼)
39	13, 12	wrdfd 14556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐼)
40	39	ffvelcdmda 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
41	7	iedgedg 29341	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
42	38, 40, 41	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
43		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
44		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
45	43, 44	uhgrimedgi 48578	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
46	34, 35, 42, 45	syl12anc 849	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
47		f1ocnvfv2 7276	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
48	28, 46, 47	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
49	25, 48	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   “ cima 5665  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550  iEdgciedg 29288  Edgcedg 29338  UHGraphcuhgr 29347  USPGraphcuspgr 29439   GraphIso cgrim 48563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-uspgr 29441  df-grim 48566

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48590