Theorem upgrimwlklem3 47860

Description: Lemma 3 for upgrimwlk 47863. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))))
3		2fveq3 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))
4	3	imaeq2d 6047	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
5	4	fveq2d 6879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
7		upgrimwlk.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		upgrimwlk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
9		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
10		upgrimwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
12		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	7, 8, 9, 10, 11, 1, 12	upgrimwlklem1 47858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
14	13	oveq2d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
15		wrdf 14534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
16		fdm 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
20	14, 19	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
21	20	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑋 ∈ dom 𝐹))
22	21	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
23		fvexd 6890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))) ∈ V)
24	2, 6, 22, 23	fvmptd 6992	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐸‘𝑋) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
25	24	fveq2d 6879	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))))
26	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐻 ∈ USPGraph)
27	8	uspgrf1oedg 29098	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
29		uspgruhgr 29109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
31		uspgruhgr 29109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
33	30, 32	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
35	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
36	7	uhgrfun 28991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
37	30, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → Fun 𝐼)
39	13, 12	wrdfd 14535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐼)
40	39	ffvelcdmda 7073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
41	7	iedgedg 28975	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
42	38, 40, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
43		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
44		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
45	43, 44	uhgrimedgi 47851	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
46	34, 35, 42, 45	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
47		f1ocnvfv2 7269	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
48	28, 46, 47	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
49	25, 48	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  ..^cfzo 13669  ♯chash 14346  Word cword 14529  iEdgciedg 28922  Edgcedg 28972  UHGraphcuhgr 28981  USPGraphcuspgr 29073   GraphIso cgrim 47836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14347  df-word 14530  df-edg 28973  df-uhgr 28983  df-upgr 29007  df-uspgr 29075  df-grim 47839

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  47863