Theorem upgrimwlklem3 47998

Description: Lemma 3 for upgrimwlk 48001. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))))
3		2fveq3 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))
4	3	imaeq2d 6008	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
5	4	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
7		upgrimwlk.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		upgrimwlk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
9		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
10		upgrimwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
12		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	7, 8, 9, 10, 11, 1, 12	upgrimwlklem1 47996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
14	13	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
15		wrdf 14425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
16		fdm 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
20	14, 19	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
21	20	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑋 ∈ dom 𝐹))
22	21	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
23		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))) ∈ V)
24	2, 6, 22, 23	fvmptd 6936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐸‘𝑋) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
25	24	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))))
26	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐻 ∈ USPGraph)
27	8	uspgrf1oedg 29151	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
29		uspgruhgr 29162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
31		uspgruhgr 29162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
33	30, 32	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
35	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
36	7	uhgrfun 29044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
37	30, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → Fun 𝐼)
39	13, 12	wrdfd 14426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐼)
40	39	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
41	7	iedgedg 29028	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
42	38, 40, 41	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
43		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
44		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
45	43, 44	uhgrimedgi 47989	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
46	34, 35, 42, 45	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
47		f1ocnvfv2 7211	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
48	28, 46, 47	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
49	25, 48	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  iEdgciedg 28975  Edgcedg 29025  UHGraphcuhgr 29034  USPGraphcuspgr 29126   GraphIso cgrim 47974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-upgr 29060  df-uspgr 29128  df-grim 47977

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48001