Theorem upgrimwlklem3 48375

Description: Lemma 3 for upgrimwlk 48378. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))))
3		2fveq3 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))
4	3	imaeq2d 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
5	4	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
7		upgrimwlk.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		upgrimwlk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
9		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
10		upgrimwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
12		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	7, 8, 9, 10, 11, 1, 12	upgrimwlklem1 48373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
14	13	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
15		wrdf 14480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
16		fdm 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
20	14, 19	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
21	20	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑋 ∈ dom 𝐹))
22	21	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
23		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))) ∈ V)
24	2, 6, 22, 23	fvmptd 6955	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐸‘𝑋) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
25	24	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))))
26	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐻 ∈ USPGraph)
27	8	uspgrf1oedg 29242	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
29		uspgruhgr 29253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
31		uspgruhgr 29253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
33	30, 32	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
35	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
36	7	uhgrfun 29135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
37	30, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → Fun 𝐼)
39	13, 12	wrdfd 14481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐼)
40	39	ffvelcdmda 7036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
41	7	iedgedg 29119	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
42	38, 40, 41	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
43		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
44		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
45	43, 44	uhgrimedgi 48366	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
46	34, 35, 42, 45	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
47		f1ocnvfv2 7232	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
48	28, 46, 47	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
49	25, 48	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  iEdgciedg 29066  Edgcedg 29116  UHGraphcuhgr 29125  USPGraphcuspgr 29217   GraphIso cgrim 48351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-edg 29117  df-uhgr 29127  df-upgr 29151  df-uspgr 29219  df-grim 48354

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48378