Theorem upgrimwlklem3 48288

Description: Lemma 3 for upgrimwlk 48291. (Contributed by AV, 25-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrimwlk.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
upgrimwlk.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
upgrimwlk.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
upgrimwlk.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
upgrimwlk.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
upgrimwlk.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
upgrimwlklem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem upgrimwlklem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrimwlk.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐸 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))))))
3		2fveq3 6849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))
4	3	imaeq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
5	4	fveq2d 6848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑥)))) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
7		upgrimwlk.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		upgrimwlk.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
9		upgrimwlk.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
10		upgrimwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
11		upgrimwlk.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
12		upgrimwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
13	7, 8, 9, 10, 11, 1, 12	upgrimwlklem1 48286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐹))
14	13	oveq2d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐹)))
15		wrdf 14455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
16		fdm 6681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹)
20	14, 19	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐹)
21	20	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑋 ∈ dom 𝐹))
22	21	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
23		fvexd 6859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))) ∈ V)
24	2, 6, 22, 23	fvmptd 6959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐸‘𝑋) = (◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)))))
25	24	fveq2d 6848	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))))
26	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐻 ∈ USPGraph)
27	8	uspgrf1oedg 29264	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻))
29		uspgruhgr 29275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
30	9, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
31		uspgruhgr 29275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UHGraph)
32	10, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
33	30, 32	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph))
35	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → 𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
36	7	uhgrfun 29157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
37	30, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → Fun 𝐼)
39	13, 12	wrdfd 14456	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐸))⟶dom 𝐼)
40	39	ffvelcdmda 7040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
41	7	iedgedg 29141	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
42	38, 40, 41	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
44		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
45	43, 44	uhgrimedgi 48279	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph) ∧ (𝑁 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑋)) ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
46	34, 35, 42, 45	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻))
47		f1ocnvfv2 7235	. . 3 ⊢ ((𝐽:dom 𝐽–1-1-onto→(Edg‘𝐻) ∧ (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))) ∈ (Edg‘𝐻)) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
48	28, 46, 47	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(◡𝐽‘(𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))
49	25, 48	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) → (𝐽‘(𝐸‘𝑋)) = (𝑁 “ (𝐼‘(𝐹‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5633  dom cdm 5634   “ cima 5637  Fun wfun 6496  ⟶wf 6498  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  ..^cfzo 13584  ♯chash 14267  Word cword 14450  iEdgciedg 29088  Edgcedg 29138  UHGraphcuhgr 29147  USPGraphcuspgr 29239   GraphIso cgrim 48264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-upgr 29173  df-uspgr 29241  df-grim 48267

This theorem is referenced by:  upgrimwlk  48291