Theorem uvtx2vtx1edg 29988

Description: If a graph has two vertices, and there is an edge between the vertices, then each vertex is universal. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.) (Revised by AV, 25-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtx2vtx1edg	⊢ (((♯‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐸

Proof of Theorem uvtx2vtx1edg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isuvtx.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbgr2vtx1edg 29940	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
4	1	uvtxel 29978	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
6	5	baibd 549	. . 3 ⊢ ((((♯‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
7	6	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (((♯‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
8	3, 7	mpbird 260	1 ⊢ (((♯‘𝑉) = 2 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ∖ cdif 4044  {csn 4584  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  2c2 12404  ♯chash 14481  Vtxcvtx 29583  Edgcedg 29634   NeighbVtx cnbgr 29922  UnivVtxcuvtx 29975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482  df-nbgr 29923  df-uvtx 29976

This theorem is used by: (None)