MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvtx01vtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtx01vtx 29414
Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uvtx01vtx (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))

Proof of Theorem uvtx01vtx
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxval 29404 . . . 4 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
32a1i 11 . . 3 (𝐸 = ∅ → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)})
43neeq1d 3000 . 2 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅))
5 rabn0 4389 . . 3 ({𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
65a1i 11 . 2 (𝐸 = ∅ → ({𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
7 falseral0 4516 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
87ex 412 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
9 noel 4338 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑛 ∈ ∅
108, 9mpg 1797 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
11 ssdif0 4366 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
12 sssn 4826 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}))
13 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑉𝑉 ≠ ∅)
14 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → 𝑉 = {𝑣}))
1513, 14syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
16 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1715, 16jaoi 858 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}) → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1812, 17sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ {𝑣} → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1911, 18sylbir 235 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
2120impcom 407 . . . . . 6 ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → 𝑉 = {𝑣})
22 vsnid 4663 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ {𝑣}
23 eleq2 2830 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑣}))
2422, 23mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣} → 𝑣𝑉)
25 ralel 3064 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅
26 difeq1 4119 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
27 difid 4376 . . . . . . . . . 10 ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
2826, 27eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2928raleqdv 3326 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑣} → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅))
3025, 29mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣} → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)
3124, 30jca 511 . . . . . 6 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
3221, 31impbii 209 . . . . 5 ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣})
3332a1i 11 . . . 4 (𝐸 = ∅ → ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣}))
3433exbidv 1921 . . 3 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
35 isuvtx.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3635eqeq1i 2742 . . . . . . 7 (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
37 nbgr0edg 29374 . . . . . . 7 ((Edg‘𝐺) = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3836, 37sylbi 217 . . . . . 6 (𝐸 = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3938eleq2d 2827 . . . . 5 (𝐸 = ∅ → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ 𝑛 ∈ ∅))
4039rexralbidv 3223 . . . 4 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
41 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
4240, 41bitrdi 287 . . 3 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)))
431fvexi 6920 . . . 4 𝑉 ∈ V
44 hash1snb 14458 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
4543, 44mp1i 13 . . 3 (𝐸 = ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
4634, 42, 453bitr4d 311 . 2 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (♯‘𝑉) = 1))
474, 6, 463bitrd 305 1 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   NeighbVtx cnbgr 29349  UnivVtxcuvtx 29402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator