MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvtx01vtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtx01vtx 27106
Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uvtx01vtx (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))

Proof of Theorem uvtx01vtx
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxval 27096 . . . 4 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
32a1i 11 . . 3 (𝐸 = ∅ → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)})
43neeq1d 3072 . 2 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅))
5 rabn0 4336 . . 3 ({𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
65a1i 11 . 2 (𝐸 = ∅ → ({𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
7 falseral0 4455 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
87ex 413 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
9 noel 4293 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑛 ∈ ∅
108, 9mpg 1789 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
11 ssdif0 4320 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
12 sssn 4751 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}))
13 ne0i 4297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑉𝑉 ≠ ∅)
14 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → 𝑉 = {𝑣}))
1513, 14syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
16 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1715, 16jaoi 851 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}) → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1812, 17sylbi 218 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ {𝑣} → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1911, 18sylbir 236 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
2120impcom 408 . . . . . 6 ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → 𝑉 = {𝑣})
22 vsnid 4592 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ {𝑣}
23 eleq2 2898 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑣}))
2422, 23mpbiri 259 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣} → 𝑣𝑉)
25 ralel 3146 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅
26 difeq1 4089 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
27 difid 4327 . . . . . . . . . 10 ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
2826, 27syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2928raleqdv 3413 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑣} → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅))
3025, 29mpbiri 259 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣} → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)
3124, 30jca 512 . . . . . 6 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
3221, 31impbii 210 . . . . 5 ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣})
3332a1i 11 . . . 4 (𝐸 = ∅ → ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣}))
3433exbidv 1913 . . 3 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
35 isuvtx.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3635eqeq1i 2823 . . . . . . 7 (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
37 nbgr0edg 27066 . . . . . . 7 ((Edg‘𝐺) = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3836, 37sylbi 218 . . . . . 6 (𝐸 = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3938eleq2d 2895 . . . . 5 (𝐸 = ∅ → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ 𝑛 ∈ ∅))
4039rexralbidv 3298 . . . 4 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
41 df-rex 3141 . . . 4 (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
4240, 41syl6bb 288 . . 3 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)))
431fvexi 6677 . . . 4 𝑉 ∈ V
44 hash1snb 13768 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
4543, 44mp1i 13 . . 3 (𝐸 = ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
4634, 42, 453bitr4d 312 . 2 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (♯‘𝑉) = 1))
474, 6, 463bitrd 306 1 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  wal 1526   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526  chash 13678  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759   NeighbVtx cnbgr 27041  UnivVtxcuvtx 27094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-nbgr 27042  df-uvtx 27095
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator