Theorem uvtx01vtx 29857

Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtx01vtx	⊢ (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))

Proof of Theorem uvtx01vtx

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxel.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxval 29847	. . . 4 ⊢ (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐸 = ∅ → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)})
4	3	neeq1d 3014	. 2 ⊢ (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ {𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅))
5		rabn0 4339	. . 3 ⊢ ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐸 = ∅ → ({𝑣 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
7		falseral0 4470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
8	7	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
9		noel 4284	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑛 ∈ ∅
10	8, 9	mpg 1830	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
11		ssdif0 4314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
12		sssn 4787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}))
13		ne0i 4287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
14		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → 𝑉 = {𝑣}))
15	13, 14	syl5 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 = {𝑣}))
16		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 = {𝑣}))
17	15, 16	jaoi 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 = {𝑣}))
18	12, 17	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ⊆ {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 = {𝑣}))
19	11, 18	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 = {𝑣}))
20	10, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑉 = {𝑣}))
21	20	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → 𝑉 = {𝑣})
22		vsnid 4624	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
23		eleq2 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑉 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
24	22, 23	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → 𝑣 ∈ 𝑉)
25		ralel 3079	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅
26		difeq1 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
27		difid 4325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
29	28	raleqdv 3319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅))
30	25, 29	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)
31	24, 30	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
32	21, 31	impbii 212	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣})
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 = ∅ → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣}))
34	33	exbidv 1954	. . 3 ⊢ (𝐸 = ∅ → (∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
35		isuvtx.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
36	35	eqeq1i 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
37		nbgr0edg 29817	. . . . . . 7 ⊢ ((Edg‘𝐺) = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
38	36, 37	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
39	38	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = ∅ → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ 𝑛 ∈ ∅))
40	39	rexralbidv 3228	. . . 4 ⊢ (𝐸 = ∅ → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
41		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
42	40, 41	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝐸 = ∅ → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)))
43	1	fvexi 6892	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
44		hash1snb 14484	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
45	43, 44	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐸 = ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
46	34, 42, 45	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝐸 = ∅ → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (♯‘𝑉) = 1))
47	4, 6, 46	3bitrd 308	1 ⊢ (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125  ♯chash 14394  Vtxcvtx 29453  Edgcedg 29504   NeighbVtx cnbgr 29792  UnivVtxcuvtx 29845

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395  df-nbgr 29793  df-uvtx 29846

This theorem is used by: (None)