MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvtx01vtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvtx01vtx 27331
Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uvtx01vtx (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))

Proof of Theorem uvtx01vtx
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxval 27321 . . . 4 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
32a1i 11 . . 3 (𝐸 = ∅ → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)})
43neeq1d 2993 . 2 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅))
5 rabn0 4271 . . 3 ({𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
65a1i 11 . 2 (𝐸 = ∅ → ({𝑣𝑉 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
7 falseral0 4403 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
87ex 416 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ¬ 𝑛 ∈ ∅ → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅))
9 noel 4217 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑛 ∈ ∅
108, 9mpg 1804 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
11 ssdif0 4250 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
12 sssn 4711 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ⊆ {𝑣} ↔ (𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}))
13 ne0i 4221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝑉𝑉 ≠ ∅)
14 eqneqall 2945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → 𝑉 = {𝑣}))
1513, 14syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
16 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1715, 16jaoi 856 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 = ∅ ∨ 𝑉 = {𝑣}) → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1812, 17sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ {𝑣} → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
1911, 18sylbir 238 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ → (𝑣𝑉𝑉 = {𝑣}))
2120impcom 411 . . . . . 6 ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) → 𝑉 = {𝑣})
22 vsnid 4550 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ {𝑣}
23 eleq2 2821 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉𝑣 ∈ {𝑣}))
2422, 23mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣} → 𝑣𝑉)
25 ralel 3064 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅
26 difeq1 4004 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ({𝑣} ∖ {𝑣}))
27 difid 4257 . . . . . . . . . 10 ({𝑣} ∖ {𝑣}) = ∅
2826, 27eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (𝑉 ∖ {𝑣}) = ∅)
2928raleqdv 3315 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑣} → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ 𝑛 ∈ ∅))
3025, 29mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝑉 = {𝑣} → ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)
3124, 30jca 515 . . . . . 6 (𝑉 = {𝑣} → (𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
3221, 31impbii 212 . . . . 5 ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣})
3332a1i 11 . . . 4 (𝐸 = ∅ → ((𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ 𝑉 = {𝑣}))
3433exbidv 1927 . . 3 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅) ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
35 isuvtx.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3635eqeq1i 2743 . . . . . . 7 (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
37 nbgr0edg 27291 . . . . . . 7 ((Edg‘𝐺) = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3836, 37sylbi 220 . . . . . 6 (𝐸 = ∅ → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = ∅)
3938eleq2d 2818 . . . . 5 (𝐸 = ∅ → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ 𝑛 ∈ ∅))
4039rexralbidv 3210 . . . 4 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
41 df-rex 3059 . . . 4 (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅ ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅))
4240, 41bitrdi 290 . . 3 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑣(𝑣𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ ∅)))
431fvexi 6682 . . . 4 𝑉 ∈ V
44 hash1snb 13865 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
4543, 44mp1i 13 . . 3 (𝐸 = ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
4634, 42, 453bitr4d 314 . 2 (𝐸 = ∅ → (∃𝑣𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (♯‘𝑉) = 1))
474, 6, 463bitrd 308 1 (𝐸 = ∅ → ((UnivVtx‘𝐺) ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑉) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  wal 1540   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3397  cdif 3838  wss 3841  c0 4209  {csn 4513  cfv 6333  (class class class)co 7164  1c1 10609  chash 13775  Vtxcvtx 26933  Edgcedg 26984   NeighbVtx cnbgr 27266  UnivVtxcuvtx 27319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776  df-nbgr 27267  df-uvtx 27320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator