Theorem uvtx2vtx1edgb 27293

Description: If a hypergraph has two vertices, there is an edge between the vertices iff each vertex is universal. (Contributed by AV, 3-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtx2vtx1edgb	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑣,𝐸

Proof of Theorem uvtx2vtx1edgb

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isuvtx.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	nbuhgr2vtx1edgb 27246	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
4	1	uvtxel 27282	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))))
6	5	baibd 543	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
7	6	bicomd 226	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
8	7	ralbidva 3125	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
9	3, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ∖ cdif 3857  {csn 4525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  2c2 11734  ♯chash 13745  Vtxcvtx 26893  Edgcedg 26944  UHGraphcuhgr 26953   NeighbVtx cnbgr 27226  UnivVtxcuvtx 27279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-dju 9368  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-hash 13746  df-edg 26945  df-uhgr 26955  df-nbgr 27227  df-uvtx 27280

This theorem is referenced by:  cplgr2v  27326