Theorem vtscl 34270

Description: Closure of the Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtscl	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) ∈ ℂ)

Proof of Theorem vtscl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		vtsval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		vtsval.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
4	1, 2, 3	vtsval 34269	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
5		fzfid 13970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
7		fz1ssnn 13564	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝑎 ∈ ℕ)
10	6, 9	ffvelcdmd 7095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (𝐿‘𝑎) ∈ ℂ)
11		ax-icn 11197	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
12		2cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		picn 26393	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
14	12, 13	mulcli 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
15	11, 14	mulcli 11251	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
17	9	nncnd 12258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (𝑎 · 𝑋) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)) ∈ ℂ)
21	20	efcld 16059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))) ∈ ℂ)
22	10, 21	mulcld 11264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
23	5, 22	fsumcl 15711	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
24	4, 23	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11136  1c1 11139  ici 11140   · cmul 11143  ℕcn 12242  2c2 12297  ℕ₀cn0 12502  ...cfz 13516  Σcsu 15664  expce 16037  πcpi 16042  vtscvts 34267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795  df-vts 34268

This theorem is referenced by:  circlemethnat  34273  circlevma  34274  circlemethhgt  34275