Theorem vtscl 31326

Description: Closure of the Vinogradov trigonometric sums (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsval.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
vtscl	⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) ∈ ℂ)

Proof of Theorem vtscl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		vtsval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3		vtsval.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
4	1, 2, 3	vtsval 31325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))))
5		fzfid 13096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6	3	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝐿:ℕ⟶ℂ)
7		fz1ssnn 12694	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ ℕ)
9	8	sselda 3821	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝑎 ∈ ℕ)
10	6, 9	ffvelrnd 6626	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (𝐿‘𝑎) ∈ ℂ)
11		ax-icn 10333	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
12		2cn 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		picn 24660	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
14	12, 13	mulcli 10386	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
15	11, 14	mulcli 10386	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
17	9	nncnd 11397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	2	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 10399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (𝑎 · 𝑋) ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 10399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)) ∈ ℂ)
21	20	efcld 31279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋))) ∈ ℂ)
22	10, 21	mulcld 10399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
23	5, 22	fsumcl 14880	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ (1...𝑁)((𝐿‘𝑎) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑎 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
24	4, 23	eqeltrd 2859	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐿vts𝑁)‘𝑋) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  1c1 10275  ici 10276   · cmul 10279  ℕcn 11379  2c2 11435  ℕ₀cn0 11647  ...cfz 12648  Σcsu 14833  expce 15203  πcpi 15208  vtscvts 31323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ioc 12497  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-seq 13125  df-exp 13184  df-fac 13385  df-bc 13414  df-hash 13442  df-shft 14220  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-limsup 14619  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-ef 15209  df-sin 15211  df-cos 15212  df-pi 15214  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-limc 24078  df-dv 24079  df-vts 31324

This theorem is referenced by:  circlemethnat  31329  circlevma  31330  circlemethhgt  31331