Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtsprod 33252
Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
vtsprod.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
vtsprod.l (𝜑𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
Assertion
Ref Expression
vtsprod (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚   𝑁,𝑎,𝑐,𝑚   𝑆,𝑎,𝑐,𝑚   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑚

Proof of Theorem vtsprod
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 vtsprod.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
3 ax-icn 11110 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
5 2cnd 12231 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6 picn 25816 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → π ∈ ℂ)
85, 7mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
94, 8mulcld 11175 . . . . 5 (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
10 vtsval.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 11175 . . . 4 (𝜑 → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
1211efcld 33204 . . 3 (𝜑 → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋)) ∈ ℂ)
13 vtsprod.l . . 3 (𝜑𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
141, 2, 12, 13breprexp 33246 . 2 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
151adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1610adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑋 ∈ ℂ)
1713ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
18 elmapi 8787 . . . . . 6 ((𝐿𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (𝐿𝑎):ℕ⟶ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿𝑎):ℕ⟶ℂ)
2015, 16, 19vtsval 33250 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))))
21 fzssz 13443 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℤ
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (1...𝑁))
2321, 22sselid 3942 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
2423zcnd 12608 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℂ)
259ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
2616adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2724, 25, 26mul12d 11364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))
2827fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))))
2911ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
30 efexp 15983 . . . . . . . 8 ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
3129, 23, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
3228, 31eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
3332oveq2d 7373 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐿𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = (((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
3433sumeq2dv 15588 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
3520, 34eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
3635prodeq2dv 15806 . 2 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
37 fzssz 13443 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑆 · 𝑁)) ⊆ ℤ
38 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁)))
3937, 38sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
4039adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4140zcnd 12608 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℂ)
429ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
4310ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑋 ∈ ℂ)
4441, 42, 43mul12d 11364 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))
4544fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))))
4611ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
47 efexp 15983 . . . . . . 7 ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
4846, 40, 47syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
4945, 48eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
5049oveq2d 7373 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
5150sumeq2dv 15588 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
5251sumeq2dv 15588 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
5314, 36, 523eqtr4d 2786 1 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   · cmul 11056  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  cexp 13967  Σcsu 15570  cprod 15788  expce 15944  πcpi 15949  reprcrepr 33221  vtscvts 33248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-repr 33222  df-vts 33249
This theorem is referenced by:  circlemeth  33253
  Copyright terms: Public domain W3C validator