Theorem vtsprod 34607

Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsprod.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
vtsprod.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))

Assertion

Ref	Expression
vtsprod	⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚   𝑁,𝑎,𝑐,𝑚   𝑆,𝑎,𝑐,𝑚   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑚

Proof of Theorem vtsprod

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		vtsprod.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
3		ax-icn 11068	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
5		2cnd 12206	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6		picn 26365	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
9	4, 8	mulcld 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
10		vtsval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
12	11	efcld 15990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋)) ∈ ℂ)
13		vtsprod.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
14	1, 2, 12, 13	breprexp 34601	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
15	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	13	ffvelcdmda 7018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
18		elmapi 8776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
20	15, 16, 19	vtsval 34605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))))
21		fzssz 13429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℂ)
25	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
26	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mul12d 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))
28	27	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))))
29	11	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
30		efexp 16010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
31	29, 23, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
32	28, 31	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
33	32	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
34	33	sumeq2dv 15609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
35	20, 34	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
36	35	prodeq2dv 15829	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
37		fzssz 13429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑆 · 𝑁)) ⊆ ℤ
38		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁)))
39	37, 38	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	mul12d 11325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))
45	44	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))))
46	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
47		efexp 16010	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
48	46, 40, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
49	45, 48	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
50	49	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
51	50	sumeq2dv 15609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
52	51	sumeq2dv 15609	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
53	14, 36, 52	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   · cmul 11014  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ↑cexp 13968  Σcsu 15593  ∏cprod 15810  expce 15968  πcpi 15973  reprcrepr 34576  vtscvts 34603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-repr 34577  df-vts 34604

This theorem is referenced by:  circlemeth  34608