Theorem vtsprod 34796

Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsprod.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
vtsprod.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))

Assertion

Ref	Expression
vtsprod	⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚   𝑁,𝑎,𝑐,𝑚   𝑆,𝑎,𝑐,𝑚   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑚

Proof of Theorem vtsprod

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		vtsprod.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
3		ax-icn 11085	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
5		2cnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6		picn 26423	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
9	4, 8	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
10		vtsval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
12	11	efcld 16006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋)) ∈ ℂ)
13		vtsprod.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
14	1, 2, 12, 13	breprexp 34790	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
15	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	13	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
18		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
20	15, 16, 19	vtsval 34794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))))
21		fzssz 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sselid 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℂ)
25	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
26	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mul12d 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))
28	27	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))))
29	11	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
30		efexp 16026	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
31	29, 23, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
32	28, 31	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
33	32	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
34	33	sumeq2dv 15625	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
35	20, 34	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
36	35	prodeq2dv 15845	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
37		fzssz 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑆 · 𝑁)) ⊆ ℤ
38		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁)))
39	37, 38	sselid 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	10	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	mul12d 11342	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))
45	44	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))))
46	11	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
47		efexp 16026	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
48	46, 40, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
49	45, 48	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
50	49	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
51	50	sumeq2dv 15625	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
52	51	sumeq2dv 15625	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
53	14, 36, 52	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   · cmul 11031  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ↑cexp 13984  Σcsu 15609  ∏cprod 15826  expce 15984  πcpi 15989  reprcrepr 34765  vtscvts 34792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-prod 15827  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-repr 34766  df-vts 34793

This theorem is referenced by:  circlemeth  34797