Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsprod Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtsprod 33720
Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
vtsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
vtsprod.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
vtsprod.l (πœ‘ β†’ 𝐿:(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
Assertion
Ref Expression
vtsprod (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž,𝑐,π‘š   𝑁,π‘Ž,𝑐,π‘š   𝑆,π‘Ž,𝑐,π‘š   𝑋,π‘Ž,𝑐,π‘š   πœ‘,π‘Ž,𝑐,π‘š
Proof of Theorem vtsprod
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 vtsprod.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
3 ax-icn 11171 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ i ∈ β„‚)
5 2cnd 12292 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
6 picn 25976 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ β„‚
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
85, 7mulcld 11236 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
94, 8mulcld 11236 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
10 vtsval.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
119, 10mulcld 11236 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
1211efcld 33672 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋)) ∈ β„‚)
13 vtsprod.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿:(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
141, 2, 12, 13breprexp 33714 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
151adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1610adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1713ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
18 elmapi 8845 . . . . . 6 ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (πΏβ€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
2015, 16, 19vtsval 33718 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))))
21 fzssz 13505 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† β„€
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ (1...𝑁))
2321, 22sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2423zcnd 12669 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
259ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
2616adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2724, 25, 26mul12d 11425 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))
2827fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (expβ€˜(𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋))))
2911ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
30 efexp 16046 . . . . . . . 8 ((((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (expβ€˜(𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏))
3129, 23, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (expβ€˜(𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏))
3228, 31eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏))
3332oveq2d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))) = (((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
3433sumeq2dv 15651 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
3520, 34eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
3635prodeq2dv 15869 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
37 fzssz 13505 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑆 Β· 𝑁)) βŠ† β„€
38 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) β†’ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁)))
3937, 38sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) β†’ π‘š ∈ β„€)
4039adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„€)
4140zcnd 12669 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
429ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
4310ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4441, 42, 43mul12d 11425 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))
4544fveq2d 6895 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (expβ€˜(π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋))))
4611ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
47 efexp 16046 . . . . . . 7 ((((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (expβ€˜(π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š))
4846, 40, 47syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (expβ€˜(π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š))
4945, 48eqtr3d 2774 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š))
5049oveq2d 7427 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))) = (βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
5150sumeq2dv 15651 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) β†’ Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
5251sumeq2dv 15651 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
5314, 36, 523eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   Β· cmul 11117  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β†‘cexp 14029  Ξ£csu 15634  βˆcprod 15851  expce 16007  Ο€cpi 16012  reprcrepr 33689  vtscvts 33716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-repr 33690  df-vts 33717
This theorem is referenced by:  circlemeth  33721
  Copyright terms: Public domain W3C validator