Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtsprod 32024
 Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
vtsprod.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
vtsprod.l (𝜑𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
Assertion
Ref Expression
vtsprod (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚   𝑁,𝑎,𝑐,𝑚   𝑆,𝑎,𝑐,𝑚   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑚

Proof of Theorem vtsprod
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 vtsprod.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
3 ax-icn 10589 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
5 2cnd 11707 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6 picn 25056 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → π ∈ ℂ)
85, 7mulcld 10654 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
94, 8mulcld 10654 . . . . 5 (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
10 vtsval.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 10654 . . . 4 (𝜑 → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
1211efcld 31976 . . 3 (𝜑 → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋)) ∈ ℂ)
13 vtsprod.l . . 3 (𝜑𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
141, 2, 12, 13breprexp 32018 . 2 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
151adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1610adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑋 ∈ ℂ)
1713ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
18 elmapi 8415 . . . . . 6 ((𝐿𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (𝐿𝑎):ℕ⟶ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿𝑎):ℕ⟶ℂ)
2015, 16, 19vtsval 32022 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))))
21 fzssz 12908 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℤ
22 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (1...𝑁))
2321, 22sseldi 3916 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
2423zcnd 12080 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℂ)
259ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
2616adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2724, 25, 26mul12d 10842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))
2827fveq2d 6653 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))))
2911ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
30 efexp 15450 . . . . . . . 8 ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
3129, 23, 30syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
3228, 31eqtr3d 2838 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
3332oveq2d 7155 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐿𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = (((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
3433sumeq2dv 15056 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
3520, 34eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
3635prodeq2dv 15273 . 2 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
37 fzssz 12908 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑆 · 𝑁)) ⊆ ℤ
38 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁)))
3937, 38sseldi 3916 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
4039adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4140zcnd 12080 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℂ)
429ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
4310ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑋 ∈ ℂ)
4441, 42, 43mul12d 10842 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))
4544fveq2d 6653 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))))
4611ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
47 efexp 15450 . . . . . . 7 ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
4846, 40, 47syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
4945, 48eqtr3d 2838 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
5049oveq2d 7155 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
5150sumeq2dv 15056 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
5251sumeq2dv 15056 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
5314, 36, 523eqtr4d 2846 1 (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿𝑎)‘(𝑐𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   · cmul 10535  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  ↑cexp 13429  Σcsu 15038  ∏cprod 15255  expce 15411  πcpi 15416  reprcrepr 31993  vtscvts 32020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-prod 15256  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-repr 31994  df-vts 32021 This theorem is referenced by:  circlemeth  32025
 Copyright terms: Public domain W3C validator