Theorem vtsprod 32519

Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsprod.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
vtsprod.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))

Assertion

Ref	Expression
vtsprod	⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚   𝑁,𝑎,𝑐,𝑚   𝑆,𝑎,𝑐,𝑚   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑚

Proof of Theorem vtsprod

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		vtsprod.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
3		ax-icn 10861	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
5		2cnd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6		picn 25521	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
9	4, 8	mulcld 10926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
10		vtsval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 10926	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
12	11	efcld 32471	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋)) ∈ ℂ)
13		vtsprod.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
14	1, 2, 12, 13	breprexp 32513	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
15	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	13	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
18		elmapi 8595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
20	15, 16, 19	vtsval 32517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))))
21		fzssz 13187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℂ)
25	9	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
26	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mul12d 11114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))
28	27	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))))
29	11	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
30		efexp 15738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
31	29, 23, 30	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
32	28, 31	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
33	32	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
34	33	sumeq2dv 15343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
35	20, 34	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
36	35	prodeq2dv 15561	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
37		fzssz 13187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑆 · 𝑁)) ⊆ ℤ
38		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁)))
39	37, 38	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	9	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	10	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	mul12d 11114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))
45	44	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))))
46	11	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
47		efexp 15738	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
48	46, 40, 47	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
49	45, 48	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
50	49	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
51	50	sumeq2dv 15343	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
52	51	sumeq2dv 15343	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
53	14, 36, 52	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   · cmul 10807  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ↑cexp 13710  Σcsu 15325  ∏cprod 15543  expce 15699  πcpi 15704  reprcrepr 32488  vtscvts 32515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-prod 15544  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-repr 32489  df-vts 32516

This theorem is referenced by:  circlemeth  32520