Theorem vtsprod 34441

Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtsval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
vtsval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
vtsprod.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
vtsprod.l	⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))

Assertion

Ref	Expression
vtsprod	⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚   𝑁,𝑎,𝑐,𝑚   𝑆,𝑎,𝑐,𝑚   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚   𝜑,𝑎,𝑐,𝑚

Proof of Theorem vtsprod

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtsval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		vtsprod.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
3		ax-icn 11213	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
5		2cnd 12337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
6		picn 26479	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
9	4, 8	mulcld 11280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
10		vtsval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
12	11	efcld 16080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋)) ∈ ℂ)
13		vtsprod.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(0..^𝑆)⟶(ℂ ↑m ℕ))
14	1, 2, 12, 13	breprexp 34435	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
15	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → 𝑋 ∈ ℂ)
17	13	ffvelcdmda 7097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
18		elmapi 8877	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (𝐿‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
20	15, 16, 19	vtsval 34439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))))
21		fzssz 13552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
22		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ (1...𝑁))
23	21, 22	sselid 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑏 ∈ ℂ)
25	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
26	16	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mul12d 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))
28	27	fveq2d 6904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))))
29	11	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
30		efexp 16098	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
31	29, 23, 30	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘(𝑏 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
32	28, 31	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏))
33	32	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = (((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
34	33	sumeq2dv 15702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑏 · 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
35	20, 34	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (0..^𝑆)) → (((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
36	35	prodeq2dv 15920	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((𝐿‘𝑎)‘𝑏) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑏)))
37		fzssz 13552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(𝑆 · 𝑁)) ⊆ ℤ
38		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁)))
39	37, 38	sselid 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40	39	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℤ)
41	40	zcnd 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑚 ∈ ℂ)
42	9	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	10	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → 𝑋 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	mul12d 11469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋)) = ((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))
45	44	fveq2d 6904	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))))
46	11	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → ((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ)
47		efexp 16098	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · (2 · π)) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
48	46, 40, 47	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘(𝑚 · ((i · (2 · π)) · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
49	45, 48	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋))) = ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚))
50	49	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)) → (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = (∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
51	50	sumeq2dv 15702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))) → Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
52	51	sumeq2dv 15702	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · ((exp‘((i · (2 · π)) · 𝑋))↑𝑚)))
53	14, 36, 52	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝐿‘𝑎)vts𝑁)‘𝑋) = Σ𝑚 ∈ (0...(𝑆 · 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(repr‘𝑆)𝑚)(∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)((𝐿‘𝑎)‘(𝑐‘𝑎)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (𝑚 · 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8854  ℂcc 11152  0cc0 11154  1c1 11155  ici 11156   · cmul 11159  ℕcn 12259  2c2 12314  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12605  ...cfz 13533  ..^cfzo 13676  ↑cexp 14076  Σcsu 15685  ∏cprod 15902  expce 16058  πcpi 16063  reprcrepr 34410  vtscvts 34437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-prod 15903  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24309  df-ms 24310  df-tms 24311  df-cncf 24881  df-limc 25878  df-dv 25879  df-repr 34411  df-vts 34438

This theorem is referenced by:  circlemeth  34442