Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtsprod Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtsprod 33651
Description: Express the Vinogradov trigonometric sums to the power of 𝑆 (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtsval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
vtsval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
vtsprod.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
vtsprod.l (πœ‘ β†’ 𝐿:(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
Assertion
Ref Expression
vtsprod (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐿,π‘Ž,𝑐,π‘š   𝑁,π‘Ž,𝑐,π‘š   𝑆,π‘Ž,𝑐,π‘š   𝑋,π‘Ž,𝑐,π‘š   πœ‘,π‘Ž,𝑐,π‘š
Proof of Theorem vtsprod
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtsval.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 vtsprod.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
3 ax-icn 11169 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ i ∈ β„‚)
5 2cnd 12290 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
6 picn 25969 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ β„‚
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
85, 7mulcld 11234 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
94, 8mulcld 11234 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
10 vtsval.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
119, 10mulcld 11234 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
1211efcld 33603 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋)) ∈ β„‚)
13 vtsprod.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿:(0..^𝑆)⟢(β„‚ ↑m β„•))
141, 2, 12, 13breprexp 33645 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
151adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1610adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1713ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
18 elmapi 8843 . . . . . 6 ((πΏβ€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•) β†’ (πΏβ€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (πΏβ€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
2015, 16, 19vtsval 33649 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))))
21 fzssz 13503 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† β„€
22 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ (1...𝑁))
2321, 22sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2423zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
259ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
2616adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2724, 25, 26mul12d 11423 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))
2827fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (expβ€˜(𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋))))
2911ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
30 efexp 16044 . . . . . . . 8 ((((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (expβ€˜(𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏))
3129, 23, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (expβ€˜(𝑏 Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏))
3228, 31eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏))
3332oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))) = (((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
3433sumeq2dv 15649 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (𝑏 Β· 𝑋)))) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
3520, 34eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (0..^𝑆)) β†’ (((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
3635prodeq2dv 15867 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)Σ𝑏 ∈ (1...𝑁)(((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜π‘) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))↑𝑏)))
37 fzssz 13503 . . . . . . . . . . 11 (0...(𝑆 Β· 𝑁)) βŠ† β„€
38 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) β†’ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁)))
3937, 38sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) β†’ π‘š ∈ β„€)
4039adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„€)
4140zcnd 12667 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
429ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (i Β· (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
4310ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4441, 42, 43mul12d 11423 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))
4544fveq2d 6896 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (expβ€˜(π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋))))
4611ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
47 efexp 16044 . . . . . . 7 ((((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (expβ€˜(π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š))
4846, 40, 47syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (expβ€˜(π‘š Β· ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š))
4945, 48eqtr3d 2775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋))) = ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š))
5049oveq2d 7425 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))) = (βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
5150sumeq2dv 15649 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))) β†’ Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
5251sumeq2dv 15649 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· ((expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· 𝑋))β†‘π‘š)))
5314, 36, 523eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πΏβ€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘š ∈ (0...(𝑆 Β· 𝑁))Σ𝑐 ∈ ((1...𝑁)(reprβ€˜π‘†)π‘š)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)((πΏβ€˜π‘Ž)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (π‘š Β· 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849  expce 16005  Ο€cpi 16010  reprcrepr 33620  vtscvts 33647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-repr 33621  df-vts 33648
This theorem is referenced by:  circlemeth  33652
  Copyright terms: Public domain W3C validator