MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkcomp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkcomp 28878
Description: A walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkcomp.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkcomp.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkcomp.1 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
wlkcomp.2 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
wlkcomp ((𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇)) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   π‘ˆ(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)
Proof of Theorem wlkcomp
StepHypRef Expression
1 wlkcomp.1 . . . . . . 7 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
21eqcomi 2742 . . . . . 6 (1st β€˜π‘Š) = 𝐹
3 wlkcomp.2 . . . . . . 7 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
43eqcomi 2742 . . . . . 6 (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃
52, 4pm3.2i 472 . . . . 5 ((1st β€˜π‘Š) = 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃)
6 eqop 8014 . . . . 5 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š = ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ↔ ((1st β€˜π‘Š) = 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃)))
75, 6mpbiri 258 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ π‘Š = ⟨𝐹, π‘ƒβŸ©)
87eleq1d 2819 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ)))
9 df-br 5149 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ))
108, 9bitr4di 289 . 2 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃))
11 wlkcomp.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
12 wlkcomp.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
1311, 12iswlkg 28860 . 2 (𝐺 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
1410, 13sylan9bbr 512 1 ((𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇)) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  if-wif 1062   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  β™―chash 14287  Word cword 14461  Vtxcvtx 28246  iEdgciedg 28247  Walkscwlks 28843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-wlks 28846
This theorem is referenced by:  wlkcompim  28879
  Copyright terms: Public domain W3C validator