MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkcomp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkcomp 29322
Description: A walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkcomp.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkcomp.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkcomp.1 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
wlkcomp.2 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
wlkcomp ((𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇)) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   π‘ˆ(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)
Proof of Theorem wlkcomp
StepHypRef Expression
1 wlkcomp.1 . . . . . . 7 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
21eqcomi 2740 . . . . . 6 (1st β€˜π‘Š) = 𝐹
3 wlkcomp.2 . . . . . . 7 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
43eqcomi 2740 . . . . . 6 (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃
52, 4pm3.2i 470 . . . . 5 ((1st β€˜π‘Š) = 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃)
6 eqop 8021 . . . . 5 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š = ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ↔ ((1st β€˜π‘Š) = 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃)))
75, 6mpbiri 258 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ π‘Š = ⟨𝐹, π‘ƒβŸ©)
87eleq1d 2817 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ)))
9 df-br 5149 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ))
108, 9bitr4di 289 . 2 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃))
11 wlkcomp.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
12 wlkcomp.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
1311, 12iswlkg 29304 . 2 (𝐺 ∈ π‘ˆ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
1410, 13sylan9bbr 510 1 ((𝐺 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇)) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  if-wif 1060   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  β™―chash 14297  Word cword 14471  Vtxcvtx 28690  iEdgciedg 28691  Walkscwlks 29287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-wlks 29290
This theorem is referenced by:  wlkcompim  29323
  Copyright terms: Public domain W3C validator