Theorem iswlkg 29550

Description: Generalization of iswlk 29547: Conditions for two classes to represent a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iswlkg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iswlkg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iswlkg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem iswlkg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 29549	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		3simpc 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
5		elex 3482	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ V)
6		ovex 7457	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) ∈ V
7		iswlkg.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	fvexi 6915	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	6, 8	fpm 8904	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...(♯‘𝐹))))
10	9	elexd 3485	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 ∈ V)
11	5, 10	anim12i 611	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
12	11	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
14		iswlkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
15	7, 14	iswlk 29547	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
16	15	3expib 1119	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))))
17	4, 13, 16	pm5.21ndd 378	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  if-wif 1060   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ↑_pm cpm 8856  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  ♯chash 14347  Word cword 14522  Vtxcvtx 28932  iEdgciedg 28933  Walkscwlks 29533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-wlks 29536

This theorem is referenced by:  wlkcomp  29568  wlkl1loop  29575  upgriswlk  29578  wlkres  29607  wlkp1lem8  29617  lfgriswlk  29625  2pthnloop  29668  isclwlke  29714  0wlk  30049  1wlkd  30074  pfxwlk  34951  revwlk  34952  subgrwlk  34960