MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem13 16122
Description: Lemma for 4sq 16129. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem13 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem13
Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑢 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2 4sq.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 4sq.3 . . 3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4 4sq.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 eqid 2795 . . 3 {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
6 eqid 2795 . . 3 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣)) = (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
71, 2, 3, 4, 5, 64sqlem12 16121 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
8 simplrl 773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
9 elfznn 12786 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
12 abs1 14491 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
1312oveq1i 7026 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘1)↑2) = (1↑2)
14 sq1 13408 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
1513, 14eqtri 2819 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑2) = 1
1615oveq2i 7027 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = (((abs‘𝑢)↑2) + 1)
17 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ[i])
18 1z 11861 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
19 zgz 16098 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ[i]
2114sqlem4a 16116 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 1 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
2217, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
2316, 22syl5eqelr 2888 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) ∈ 𝑆)
2411, 23eqeltrrd 2884 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25 oveq1 7023 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑘 · 𝑃))
2625eleq1d 2867 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
27 4sq.6 . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
2826, 27elrab2 3621 . . . . . . 7 (𝑘𝑇 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2910, 24, 28sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘𝑇)
3029ne0d 4221 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑇 ≠ ∅)
3127ssrab3 3978 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
32 4sq.7 . . . . . . . . 9 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
33 nnuz 12130 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
3431, 33sseqtri 3924 . . . . . . . . . 10 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
35 infssuzcl 12181 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
3634, 30, 35sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
3732, 36syl5eqel 2887 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀𝑇)
3831, 37sseldi 3887 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3938nnred 11501 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4010nnred 11501 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℝ)
414ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 prmnn 15847 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4443nnred 11501 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
45 infssuzle 12180 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
4634, 29, 45sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
4732, 46eqbrtrid 4997 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀𝑘)
48 prmz 15848 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4941, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
50 elfzm11 12828 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
5118, 49, 50sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
528, 51mpbid 233 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
5352simp3d 1137 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 < 𝑃)
5439, 40, 44, 47, 53lelttrd 10645 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 < 𝑃)
5530, 54jca 512 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
5655ex 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) → ((((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
5756rexlimdvva 3257 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
587, 57mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {cab 2775  wne 2984  wrex 3106  {crab 3109  wss 3859  c0 4211   class class class wbr 4962  cmpt 5041  cfv 6225  (class class class)co 7016  infcinf 8751  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  cn 11486  2c2 11540  cz 11829  cuz 12093  ...cfz 12742   mod cmo 13087  cexp 13279  abscabs 14427  cprime 15844  ℤ[i]cgz 16094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677  df-prm 15845  df-gz 16095
This theorem is referenced by:  4sqlem14  16123  4sqlem17  16126  4sqlem18  16127
  Copyright terms: Public domain W3C validator