Theorem 4sqlem13 16895

Description: Lemma for 4sq 16902. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem13	⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem13

Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑢 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2		4sq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		4sq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4		4sq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣)) = (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	4sqlem12 16894	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
8		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
9		elfznn 13535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
12		abs1 15249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
13	12	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑2) = (1↑2)
14		sq1 14164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
15	13, 14	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑2) = 1
16	15	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = (((abs‘𝑢)↑2) + 1)
17		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ[i])
18		1z 12597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		zgz 16871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ[i]
21	1	4sqlem4a 16889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 1 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
22	17, 20, 21	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
23	16, 22	eqeltrrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) ∈ 𝑆)
24	11, 23	eqeltrrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑘 · 𝑃))
26	25	eleq1d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
27		4sq.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
28	26, 27	elrab2 3687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑇 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
29	10, 24, 28	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑇)
30	29	ne0d 4336	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑇 ≠ ∅)
31	27	ssrab3 4081	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
32		4sq.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
33		nnuz 12870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
34	31, 33	sseqtri 4019	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1)
35		infssuzcl 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
36	34, 30, 35	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
37	32, 36	eqeltrid 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ 𝑇)
38	31, 37	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℕ)
39	38	nnred 12232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℝ)
40	10	nnred 12232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	4	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmnn 16616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
45		infssuzle 12920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
46	34, 29, 45	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47	32, 46	eqbrtrid 5184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
48		prmz 16617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
49	41, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
50		elfzm11 13577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
51	18, 49, 50	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
52	8, 51	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
53	52	simp3d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 < 𝑃)
54	39, 40, 44, 47, 53	lelttrd 11377	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 < 𝑃)
55	30, 54	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
56	55	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) → ((((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
57	56	rexlimdvva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
58	7, 57	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  {crab 3431   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  infcinf 9439  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449  ℕcn 12217  2c2 12272  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489   mod cmo 13839  ↑cexp 14032  abscabs 15186  ℙcprime 16613  ℤ[i]cgz 16867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-gz 16868

This theorem is referenced by:  4sqlem14  16896  4sqlem17  16899  4sqlem18  16900