Theorem 4sqlem13 17021

Description: Lemma for 4sq 17028. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem13	⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem13

Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑢 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2		4sq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		4sq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4		4sq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣)) = (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	4sqlem12 17020	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
8		simplrl 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
9		elfznn 13586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
12		abs1 15353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
13	12	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑2) = (1↑2)
14		sq1 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
15	13, 14	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑2) = 1
16	15	oveq2i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = (((abs‘𝑢)↑2) + 1)
17		simplrr 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ[i])
18		1z 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		zgz 16997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ[i]
21	1	4sqlem4a 17015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 1 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
22	17, 20, 21	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
23	16, 22	eqeltrrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) ∈ 𝑆)
24	11, 23	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑘 · 𝑃))
26	25	eleq1d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
27		4sq.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
28	26, 27	elrab2 3654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑇 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
29	10, 24, 28	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ 𝑇)
30	29	ne0d 4295	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑇 ≠ ∅)
31	27	ssrab3 4036	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
32		4sq.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
33		nnuz 12905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
34	31, 33	sseqtri 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1)
35		infssuzcl 12960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
36	34, 30, 35	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
37	32, 36	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ 𝑇)
38	31, 37	sselid 3935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℕ)
39	38	nnred 12252	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℝ)
40	10	nnred 12252	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	4	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmnn 16736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12252	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
45		infssuzle 12959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑘 ∈ 𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
46	34, 29, 45	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
47	32, 46	eqbrtrid 5146	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
48		prmz 16737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
49	41, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
50		elfzm11 13628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
51	18, 49, 50	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
52	8, 51	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
53	52	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 < 𝑃)
54	39, 40, 44, 47, 53	lelttrd 11372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 < 𝑃)
55	30, 54	jca 520	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
56	55	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) → ((((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
57	56	rexlimdvva 3222	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
58	7, 57	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  infcinf 9397  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℕcn 12237  2c2 12299  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539   mod cmo 13907  ↑cexp 14102  abscabs 15290  ℙcprime 16733  ℤ[i]cgz 16993

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-dvds 16315  df-gcd 16557  df-prm 16734  df-gz 16994

This theorem is used by:  4sqlem14  17022  4sqlem17  17025  4sqlem18  17026