Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem13 16286
 Description: Lemma for 4sq 16293. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem13 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem13
Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑢 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2 4sq.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 4sq.3 . . 3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4 4sq.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 eqid 2798 . . 3 {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} = {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)}
6 eqid 2798 . . 3 (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣)) = (𝑣 ∈ {𝑢 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑢 = ((𝑚↑2) mod 𝑃)} ↦ ((𝑃 − 1) − 𝑣))
71, 2, 3, 4, 5, 64sqlem12 16285 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
8 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
9 elfznn 12934 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃))
12 abs1 14652 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
1312oveq1i 7146 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘1)↑2) = (1↑2)
14 sq1 13557 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
1513, 14eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑2) = 1
1615oveq2i 7147 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = (((abs‘𝑢)↑2) + 1)
17 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑢 ∈ ℤ[i])
18 1z 12003 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
19 zgz 16262 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ[i]
2114sqlem4a 16280 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 1 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
2217, 20, 21sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
2316, 22eqeltrrid 2895 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (((abs‘𝑢)↑2) + 1) ∈ 𝑆)
2411, 23eqeltrrd 2891 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆)
25 oveq1 7143 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · 𝑃) = (𝑘 · 𝑃))
2625eleq1d 2874 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
27 4sq.6 . . . . . . . 8 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
2826, 27elrab2 3631 . . . . . . 7 (𝑘𝑇 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ 𝑆))
2910, 24, 28sylanbrc 586 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘𝑇)
3029ne0d 4251 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑇 ≠ ∅)
3127ssrab3 4008 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℕ
32 4sq.7 . . . . . . . . 9 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
33 nnuz 12272 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
3431, 33sseqtri 3951 . . . . . . . . . 10 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
35 infssuzcl 12323 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
3634, 30, 35sylancr 590 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
3732, 36eqeltrid 2894 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀𝑇)
3831, 37sseldi 3913 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3938nnred 11643 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4010nnred 11643 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℝ)
414ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 prmnn 16011 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4443nnred 11643 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
45 infssuzle 12322 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑘𝑇) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
4634, 29, 45sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → inf(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝑘)
4732, 46eqbrtrid 5066 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀𝑘)
48 prmz 16012 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4941, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
50 elfzm11 12976 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
5118, 49, 50sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
528, 51mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
5352simp3d 1141 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑘 < 𝑃)
5439, 40, 44, 47, 53lelttrd 10790 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → 𝑀 < 𝑃)
5530, 54jca 515 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) ∧ (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃)) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
5655ex 416 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑢 ∈ ℤ[i])) → ((((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
5756rexlimdvva 3253 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))∃𝑢 ∈ ℤ[i] (((abs‘𝑢)↑2) + 1) = (𝑘 · 𝑃) → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃)))
587, 57mpd 15 1 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  infcinf 8892  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11628  2c2 11683  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888   mod cmo 13235  ↑cexp 13428  abscabs 14588  ℙcprime 16008  ℤ[i]cgz 16258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-gz 16259 This theorem is referenced by:  4sqlem14  16287  4sqlem17  16290  4sqlem18  16291
 Copyright terms: Public domain W3C validator