MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem13 16892
Description: Lemma for 4sq 16899. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โŠ† ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem13
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
2 4sq.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 4sq.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4 4sq.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
5 eqid 2732 . . 3 {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)} = {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)}
6 eqid 2732 . . 3 (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)} โ†ฆ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘ฃ)) = (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)} โ†ฆ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘ฃ))
71, 2, 3, 4, 5, 64sqlem12 16891 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ))
8 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9 elfznn 13532 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
11 simpr 485 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ))
12 abs1 15246 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜1) = 1
1312oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜1)โ†‘2) = (1โ†‘2)
14 sq1 14161 . . . . . . . . . . 11 (1โ†‘2) = 1
1513, 14eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜1)โ†‘2) = 1
1615oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1)
17 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])
18 1z 12594 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„ค
19 zgz 16868 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„ค[i]
2114sqlem4a 16886 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆง 1 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
2217, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
2316, 22eqeltrrid 2838 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) โˆˆ ๐‘†)
2411, 23eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
25 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ))
2625eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
27 4sq.6 . . . . . . . 8 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
2826, 27elrab2 3686 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2910, 24, 28sylanbrc 583 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‡)
3029ne0d 4335 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
3127ssrab3 4080 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โŠ† โ„•
32 4sq.7 . . . . . . . . 9 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
33 nnuz 12867 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
3431, 33sseqtri 4018 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
35 infssuzcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
3634, 30, 35sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
3732, 36eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡)
3831, 37sselid 3980 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3938nnred 12229 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4010nnred 12229 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
414ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
42 prmnn 16613 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4443nnred 12229 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
45 infssuzle 12917 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐‘˜)
4634, 29, 45sylancr 587 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐‘˜)
4732, 46eqbrtrid 5183 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜)
48 prmz 16614 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4941, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
50 elfzm11 13574 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
5118, 49, 50sylancr 587 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
528, 51mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ))
5352simp3d 1144 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ < ๐‘ƒ)
5439, 40, 44, 47, 53lelttrd 11374 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ < ๐‘ƒ)
5530, 54jca 512 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
5655ex 413 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ)))
5756rexlimdvva 3211 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ)))
587, 57mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486   mod cmo 13836  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183  โ„™cprime 16610  โ„ค[i]cgz 16864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-gz 16865
This theorem is referenced by:  4sqlem14  16893  4sqlem17  16896  4sqlem18  16897
  Copyright terms: Public domain W3C validator