MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem13 16834
Description: Lemma for 4sq 16841. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
4sq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4sq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4sq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4sq.5 (๐œ‘ โ†’ (0...(2 ยท ๐‘)) โŠ† ๐‘†)
4sq.6 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
4sq.7 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
4sqlem13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘–,๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘†,๐‘–,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘–)

Proof of Theorem 4sqlem13
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
2 4sq.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 4sq.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘) + 1))
4 4sq.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
5 eqid 2733 . . 3 {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)} = {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)}
6 eqid 2733 . . 3 (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)} โ†ฆ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘ฃ)) = (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ข โˆฃ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...๐‘)๐‘ข = ((๐‘šโ†‘2) mod ๐‘ƒ)} โ†ฆ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆ’ ๐‘ฃ))
71, 2, 3, 4, 5, 64sqlem12 16833 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ))
8 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9 elfznn 13476 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
11 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ))
12 abs1 15188 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜1) = 1
1312oveq1i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜1)โ†‘2) = (1โ†‘2)
14 sq1 14105 . . . . . . . . . . 11 (1โ†‘2) = 1
1513, 14eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜1)โ†‘2) = 1
1615oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) = (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1)
17 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])
18 1z 12538 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„ค
19 zgz 16810 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„ค[i]
2114sqlem4a 16828 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] โˆง 1 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
2217, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
2316, 22eqeltrrid 2839 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) โˆˆ ๐‘†)
2411, 23eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
25 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ))
2625eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
27 4sq.6 . . . . . . . 8 ๐‘‡ = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†}
2826, 27elrab2 3649 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†))
2910, 24, 28sylanbrc 584 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‡)
3029ne0d 4296 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘‡ โ‰  โˆ…)
3127ssrab3 4041 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โŠ† โ„•
32 4sq.7 . . . . . . . . 9 ๐‘€ = inf(๐‘‡, โ„, < )
33 nnuz 12811 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
3431, 33sseqtri 3981 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
35 infssuzcl 12862 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘‡ โ‰  โˆ…) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
3634, 30, 35sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โˆˆ ๐‘‡)
3732, 36eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‡)
3831, 37sselid 3943 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3938nnred 12173 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
4010nnred 12173 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
414ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
42 prmnn 16555 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
4443nnred 12173 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
45 infssuzle 12861 . . . . . . . 8 ((๐‘‡ โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‡) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐‘˜)
4634, 29, 45sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ inf(๐‘‡, โ„, < ) โ‰ค ๐‘˜)
4732, 46eqbrtrid 5141 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘˜)
48 prmz 16556 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4941, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
50 elfzm11 13518 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
5118, 49, 50sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ)))
528, 51mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ < ๐‘ƒ))
5352simp3d 1145 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘˜ < ๐‘ƒ)
5439, 40, 44, 47, 53lelttrd 11318 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ < ๐‘ƒ)
5530, 54jca 513 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โˆง (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
5655ex 414 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i])) โ†’ ((((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ)))
5756rexlimdvva 3202 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„ค[i] (((absโ€˜๐‘ข)โ†‘2) + 1) = (๐‘˜ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ)))
587, 57mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘€ < ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430   mod cmo 13780  โ†‘cexp 13973  abscabs 15125  โ„™cprime 16552  โ„ค[i]cgz 16806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-gz 16807
This theorem is referenced by:  4sqlem14  16835  4sqlem17  16838  4sqlem18  16839
  Copyright terms: Public domain W3C validator