Theorem elfzmlbp 13012

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12893	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
2		znn0sub 12023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
4	3	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
6	5	impcom 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zaddcl 12016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
15	14	zred 12081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16		letr 10728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
18		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		addge01 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
20	8, 18, 19	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
21		elnn0z 11988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
22	21	simplbi2 503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
24	20, 23	sylbird 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
25	17, 24	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	imp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		df-3an 1085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		3ancoma 1094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
29	27, 28	bitr3i 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
30	10, 7, 18	3anim123i 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	29, 30	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32		lesubadd2 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
34	33	biimprcd 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
35	34	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
36	35	impcom 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
37	6, 26, 36	3jca 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
38	37	exp31 422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
40	39	3adant2 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
41	40	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
43	1, 42	syl5bi 244	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
44	43	imp 409	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45		elfz2nn0 12992	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 236	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ...cfz 12886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  14085  pfxccatin12  14089