Theorem elfzmlbp 13618

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13497	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
2		znn0sub 12613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
4	3	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0))
6	5	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0)
7		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zaddcl 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
14	13	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
15	14	zred 12670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16		letr 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
18		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19		addge01 11728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
20	8, 18, 19	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
21		elnn0z 12575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
22	21	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
24	20, 23	sylbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
25	17, 24	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		df-3an 1086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		3ancoma 1095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
29	27, 28	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
30	10, 7, 18	3anim123i 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
31	29, 30	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32		lesubadd2 11691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
34	33	biimprcd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
36	35	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)
37	6, 26, 36	3jca 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
38	37	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
39	38	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
40	39	3adant2 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))))
41	40	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
42	41	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
43	1, 42	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁)))
44	43	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
45		elfz2nn0 13598	. 2 ⊢ ((𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 𝑀) ≤ 𝑁))
46	44, 45	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾 − 𝑀) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ...cfz 13490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  14685  pfxccatin12  14689