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Theorem elfzmlbp 13447
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbp ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfzmlbp
StepHypRef Expression
1 elfz2 13326 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
2 znn0sub 12447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
32adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
43biimpcd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
54adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
65impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0)
7 zre 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 zre 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 zaddcl 12440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
1413adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
1514zred 12506 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16 letr 11149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
179, 12, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
18 zre 12403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19 addge01 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
208, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
21 elnn0z 12412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
2221simplbi2 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2420, 23sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2517, 24syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2625imp 407 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28 3ancoma 1097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2927, 28bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3010, 7, 183anim123i 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
3129, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32 lesubadd2 11528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝑁𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝑁𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3433biimprcd 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3635impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
376, 26, 363jca 1127 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3837exp31 420 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3938com23 86 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
40393adant2 1130 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
4140imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4241com12 32 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
431, 42biimtrid 241 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4443imp 407 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
45 elfz2nn0 13427 . 2 ((𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4644, 45sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086  wcel 2105   class class class wbr 5087  (class class class)co 7317  cr 10950  0cc0 10951   + caddc 10954  cle 11090  cmin 11285  0cn0 12313  cz 12399  ...cfz 13319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-fz 13320
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