MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzmlbp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzmlbp 13654
Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzmlbp ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem elfzmlbp
StepHypRef Expression
1 elfz2 13533 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
2 znn0sub 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
32adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
43biimpcd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
54adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
65impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0)
7 zre 12602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 zre 12602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 zaddcl 12642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
1413adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
1514zred 12706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16 letr 11348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
179, 12, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
18 zre 12602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
19 addge01 11764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
208, 18, 19syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
21 elnn0z 12611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
2221simplbi2 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2420, 23sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2517, 24syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2625imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28 3ancoma 1095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2927, 28bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3010, 7, 183anim123i 1148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
3129, 30sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
32 lesubadd2 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝑁𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝑁𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3433biimprcd 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3635impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
376, 26, 363jca 1125 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3837exp31 418 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3938com23 86 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
40393adant2 1128 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
4140imp 405 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4241com12 32 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
431, 42biimtrid 241 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4443imp 405 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
45 elfz2nn0 13634 . 2 ((𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4644, 45sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11147  0cc0 11148   + caddc 11151  cle 11289  cmin 11484  0cn0 12512  cz 12598  ...cfz 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527
This theorem is referenced by:  swrdccatin2  14721  pfxccatin12  14725
  Copyright terms: Public domain W3C validator