Theorem znnsub 12644

Description: The positive difference of unequal integers is a positive integer. (Generalization of nnsub 12284.) (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znnsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))

Proof of Theorem znnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12599	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 12599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		posdif 11711	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
5		zsubcl 12640	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	biantrurd 541	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑁 − 𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀))))
8	4, 7	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀))))
9		elnnz 12605	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
10	8, 9	bitr4di 292	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   < clt 11247   − cmin 11445  ℕcn 12237  ℤcz 12595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596

This theorem is used by:  zltp1le  12648  uz2m1nn  12951  fzonnsub  13718  elfzodifsumelfzo  13765  ubmelm1fzo  13797  modfzo0difsn  13984  ltexp2a  14207  bcp1nk  14358  pc2dvds  16943  dvdsprmpweqle  16950  mndodconglem  19615  eucrctshift  30603  oddpwdc  34753  knoppndvlem2  37130  lcmineqlem8  42831  lcmineqlem10  42833  ltrabdioph  43563  goldbachthlem1  48325  digexp  49415