Theorem psrridmfi 15200

Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrlidm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrridmfi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   1 (𝑓)

Proof of Theorem psrridmfi

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrlidm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrringfi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8		psrlidm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		psr1cl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		psr1cl.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		psr1cl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
12	1, 7, 6, 3, 9, 10, 11, 4	psr1clfi 15198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5, 6, 7, 8, 12	psrmulclfi 15190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 8	psrelbas 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 5537	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
18		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈 ∈ 𝐵)
21		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
22	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ Fin)
23	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
24	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21, 22, 23	psrmulvalfi 15188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
25		breq1 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
26	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
28		nn0re 9583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℝ)
29	28	leidd 8849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ≤ 𝑧)
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 𝑧)
31	22, 27, 30	caofref 6331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑦)
32	25, 21, 31	elrabd 2984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
33	32	snssd 3860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
34	33	resmptd 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))))
35	34	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
36	6	ringcmnd 14447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
37	36	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38	3	psrbaglefifi 15172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∈ Fin)
39	21, 22, 38	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∈ Fin)
40	6	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
41	16	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
42		breq1 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑧 → (𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
43	42	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
44	43	bilani 387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦))
45	44	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐷)
46	41, 45	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
47	1, 2, 3, 4, 20	psrelbas 15179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
49	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝐷)
50	3	psrbagf 15163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
51	45, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
52	44	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦)
53	3	psrbagcon 15171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑧 ∘𝑟 ≤ 𝑦) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∘𝑟 ≤ 𝑦))
55	54	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷)
56	48, 55	ffvelcdmd 5847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
57	2, 18, 40, 46, 56	ringcld 14429	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
58	57	fmpttd 5866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}⟶(Base‘𝑅))
59		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) = (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))
60		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑝))
61		oveq2 6096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))
62	61	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝)))
63	60, 62	oveq12d 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))))
64		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}))
65	64	eldifad 3231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑝 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
66	63	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑝 → (((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))) = 0 ))
67		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0})))
68	67	ifbid 3662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
69		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦})
70	69, 55	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) ∈ 𝐷)
71	2, 10	ringidcl 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
72	6, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
73	2, 9	ring0cl 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
74	6, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
75	72, 74	ifexd 4632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V)
76	75	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V)
77	11, 68, 70, 76	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
78		eldifsni 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
79	78	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
80	79	necomd 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 𝑧)
81	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝐼 ∈ Fin)
82		nn0sscn 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
83		fss 5549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
84	27, 82, 83	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
85	84	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
86		fss 5549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
87	51, 82, 86	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
88		ofsubeq0 9300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
89	81, 85, 87, 88	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
90	69, 89	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
91	90	necon3bbid 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
92	80, 91	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}))
93	92	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
94	77, 93	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = 0 )
95	94	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ))
96	2, 18, 9, 40, 46	ringrzd 14458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
97	69, 96	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
98	95, 97	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
99	98	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ∀𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ∀𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = 0 )
101	66, 100, 64	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))) = 0 )
102	74	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
103	101, 102	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))) ∈ (Base‘𝑅))
104	59, 63, 65, 103	fvmptd3 5802	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))‘𝑝) = ((𝑋‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑝))))
105	104, 101	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))‘𝑝) = 0 )
106	105	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ∀𝑝 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))‘𝑝) = 0 )
107		snfig 7107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → {𝑦} ∈ Fin)
108	107	elv 2825	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
109	108	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
110	2, 9, 37, 39, 58, 106, 109, 33	gsumresfi 14263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))))
111		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 = 𝑦
112		ofsubeq0 9300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
113	22, 84, 84, 112	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑦 ∘𝑓 − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
114	111, 113	mpbiri 168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑦) = (𝐼 × {0}))
115	114	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
116		iftrue 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117		fconstmpt 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0)
118	3	fczpsrbag 15165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
119	7, 118	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
120	117, 119	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
122	23, 71	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
123	11, 116, 121, 122	fvmptd3 5802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
124	115, 123	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦)) = 1 )
125	124	oveq2d 6104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ))
126	16	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
127	2, 18, 10	ringridm 14436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
128	23, 126, 127	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
129	125, 128	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) = (𝑋‘𝑦))
130	129, 126	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
131		fveq2 5698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
132		oveq2 6096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑦 ∘𝑓 − 𝑧) = (𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))
133	132	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧)) = (𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦)))
134	131, 133	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
135	2, 134	gsumsncmn 14246	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
136	37, 21, 130, 135	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
137	35, 110, 136	3eqtr3d 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘𝑟 ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘𝑓 − 𝑦))))
138	24, 137, 129	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋‘𝑦))
139	15, 17, 138	eqfnfvd 5812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   ↾ cres 4778   “ cima 4779  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑓 cof 6303   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6926  Fincfn 7026  ℂcc 8183  0cc0 8185   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  CMndccmn 14177   Σ_g cgsu 14240  1_rcur 14369  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-ixp 6985  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15156

This theorem is used by:  psrringfi  15204