Theorem 2lgslem3b 16225

Description: Lemma for 2lgslem3b1 16229. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6092	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 3) − 1))
3	2	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2))
4		fvoveq1 6108	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)))
5	3, 4	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
6	1, 5	eqtrid 2283	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
7		8nn0 9588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
9		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	8, 9	nn0mulcld 9627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
12		3cn 9380	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
14		1cnd 8342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	11, 13, 14	addsubassd 8657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = ((8 · 𝐾) + (3 − 1)))
16		4t2e8 9465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
17	16	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
19	18	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
20		4cn 9383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
22		2cn 9376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
24		nn0cn 9575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	mul32d 8479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
26	19, 25	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27		3m1e2 9425	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
28	27	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
29	26, 28	oveq12d 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (3 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
30	15, 29	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
31	30	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2))
32		4nn0 9584	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
34	33, 9	nn0mulcld 9627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 9624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
36	35, 23	mulcld 8346	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
37		2rp 10061	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
39	38	rpap0d 10105	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
40	36, 23, 23, 39	divdirapd 9160	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
41		2ap0 9398	. . . . . . . 8 ⊢ 2 # 0
42	41	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 # 0)
43	35, 23, 42	divcanap4d 9127	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
44		2div2e1 9438	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
45	44	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 / 2) = 1)
46	43, 45	oveq12d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 1))
47	31, 40, 46	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 1))
48		4ap0 9404	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 # 0
49	48	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 # 0)
50	11, 13, 21, 49	divdirapd 9160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
51		8cn 9391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
52	51	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
53	52, 24, 21, 49	div23apd 9159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
54	17	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
55	22, 20, 48	divcanap3i 9089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
56	54, 55	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
58	57	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
59	53, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
60	59	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
61	50, 60	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
62	61	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))))
63		3lt4 9479	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
64		2nn0 9582	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
65	64	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
66	65, 9	nn0mulcld 9627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
67	66	nn0zd 9768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
68		3nn0 9583	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
69	68	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
70		4nn 9470	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
72		adddivflid 10729	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
73	67, 69, 71, 72	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
74	63, 73	mpbii 148	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾))
75	62, 74	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (2 · 𝐾))
76	47, 75	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)))
77	66	nn0cnd 9624	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
78	35, 14, 77	addsubd 8658	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1))
79		2t2e4 9460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
81	80	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
82	81	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
83	23, 23, 24	mulassd 8349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
84	82, 83	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
85	84	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
86		2txmxeqx 9437	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
87	77, 86	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
88	85, 87	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
89	88	oveq1d 6100	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1) = ((2 · 𝐾) + 1))
90	76, 78, 89	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
91	6, 90	sylan9eqr 2293	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003  ℕcn 9305  2c2 9356  3c3 9357  4c4 9358  8c8 9362  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ℝ⁺crp 10056  ⌊cfl 10705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-n0 9566  df-z 9647  df-q 10022  df-rp 10057  df-fl 10707

This theorem is used by:  2lgslem3b1  16229