Theorem prmexpb 12668

Description: Two positive prime powers are equal iff the primes and the powers are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmexpb	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁)))

Proof of Theorem prmexpb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simp2l 1047	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		iddvdsexp 12321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
7		breq2 4086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁)))
8	7	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁)))
9		simp1l 1045	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		simp1r 1046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11		simp2r 1048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		prmdvdsexpb 12666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
14	8, 13	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 𝑃 = 𝑄))
15	6, 14	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 = 𝑄)
16	3	zred 9565	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ)
17	4	nnzd 9564	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	11	nnzd 9564	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		prmgt1 12649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
20	19	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑃)
21	20	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 1 < 𝑃)
22		simp3 1023	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁))
23	15	oveq1d 6015	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃↑𝑁) = (𝑄↑𝑁))
24	22, 23	eqtr4d 2265	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃↑𝑀) = (𝑃↑𝑁))
25	16, 17, 18, 21, 24	expcand 10934	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
26	15, 25	jca 306	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁))
27	26	3expia 1229	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) → (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
28		oveq12 6009	. 2 ⊢ ((𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁))
29	27, 28	impbid1 142	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  1c1 7996   < clt 8177  ℕcn 9106  ℤcz 9442  ↑cexp 10755   ∥ cdvds 12293  ℙcprime 12624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625

This theorem is referenced by: (None)