ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmexpb GIF version

Theorem prmexpb 12025
Description: Two positive prime powers are equal iff the primes and the powers are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmexpb (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))

Proof of Theorem prmexpb
StepHypRef Expression
1 prmz 11987 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
323ad2ant1 1003 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℤ)
4 simp2l 1008 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5 iddvdsexp 11710 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
63, 4, 5syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
7 breq2 3969 . . . . . . 7 ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄𝑁)))
873ad2ant3 1005 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄𝑁)))
9 simp1l 1006 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 simp1r 1007 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11 simp2r 1009 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 prmdvdsexpb 12023 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
139, 10, 11, 12syl3anc 1220 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
148, 13bitrd 187 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 = 𝑄))
156, 14mpbid 146 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 = 𝑄)
163zred 9286 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ)
174nnzd 9285 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1811nnzd 9285 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 prmgt1 12008 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2019ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑃)
21203adant3 1002 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 1 < 𝑃)
22 simp3 984 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁))
2315oveq1d 5839 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑁) = (𝑄𝑁))
2422, 23eqtr4d 2193 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
2516, 17, 18, 21, 24expcand 10591 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2615, 25jca 304 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁))
27263expia 1187 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) → (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))
28 oveq12 5833 . 2 ((𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁) → (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁))
2927, 28impbid1 141 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  1c1 7733   < clt 7912  cn 8833  cz 9167  cexp 10418  cdvds 11683  cprime 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-1o 6363  df-2o 6364  df-er 6480  df-en 6686  df-sup 6928  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11829  df-prm 11984
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator