Theorem psrbagmaxlemfi 15180

Description: Lemma for psrbagmax 15183. Applying psrbaglefifi 15175 to the sets in this theorem. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagmaxlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
psrbagmaxlem1.xfi	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
psrbagmaxlem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrbagmaxlem1a.p	⊢ (𝜑 → 𝑃:𝐼⟶ℕ0)
psrbagmaxlem1a.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶ℕ0)
psrbagmaxlem1a.s	⊢ 𝑆 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ sup({(𝑃‘𝑖), (𝑅‘𝑖)}, ℝ, < ))
psrbagmaxlem1x.z	⊢ 𝑍 = {𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆}

Assertion

Ref	Expression
psrbagmaxlemfi	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐼,𝑞   𝑆,𝑞   𝑖,𝐼   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑃(𝑖, 𝑞)   𝑅(𝑖, 𝑞)   𝑆(𝑖)   𝑋(𝑖, 𝑞)   𝑍(𝑖, 𝑞)

Proof of Theorem psrbagmaxlemfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagmaxlem1x.z	. 2 ⊢ 𝑍 = {𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆}
2		psrbagmaxlem1.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbagfi 15166	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
5	2, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
6	5	rabeqdv 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆} = {𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆})
7		psrbagmaxlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
8		psrbagmaxlem1.xfi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		psrbagmaxlem1a.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:𝐼⟶ℕ0)
10		psrbagmaxlem1a.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶ℕ0)
11		psrbagmaxlem1a.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ sup({(𝑃‘𝑖), (𝑅‘𝑖)}, ℝ, < ))
12	7, 8, 2, 9, 10, 11	psrbagmaxlem1a 15179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶ℕ0)
13		nn0ex 9580	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
14	13	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
15	14, 2	elmapd 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑆:𝐼⟶ℕ0))
16	12, 15	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
17	16, 5	eleqtrrd 2318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
18	3	psrbaglefifi 15175	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑞 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆} ∈ Fin)
19	17, 2, 18	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆} ∈ Fin)
20	6, 19	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑞 ∘𝑟 ≤ 𝑆} ∈ Fin)
21	1, 20	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∘_𝑟 cofr 6304   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028  supcsup 7328  ℝcr 8184   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786

This theorem is used by:  psrbagmax  15183