ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pythagtrip GIF version

Theorem pythagtrip 12296
Description: Parameterize the Pythagorean triples. If ๐ด, ๐ต, and ๐ถ are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. This is Metamath 100 proof #23. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘š,๐‘›   ๐ต,๐‘˜,๐‘š,๐‘›   ๐ถ,๐‘˜,๐‘š,๐‘›

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 12156 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
213adant3 1018 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
32adantr 276 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
4 pythagtriplem19 12295 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
543expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
6 simp12 1029 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
7 simp11 1028 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8 simp13 1030 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
9 nnsqcl 10603 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
109nncnd 8946 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
11103ad2ant1 1019 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
12 nnsqcl 10603 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
1312nncnd 8946 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
14133ad2ant2 1020 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1511, 14addcomd 8121 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)))
1615eqeq1d 2196 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
1716biimpa 296 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
18173adant3 1018 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
19 nnz 9285 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
20193ad2ant1 1019 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
21 nnz 9285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
22213ad2ant2 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2322adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
24 gcdcom 11987 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
2520, 23, 24syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = (๐ต gcd ๐ด))
2625oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (๐ต / (๐ต gcd ๐ด)))
2726breq2d 4027 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด))))
2827notbid 668 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†” ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด))))
2928biimp3a 1355 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด)))
30 pythagtriplem19 12295 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ตโ†‘2) + (๐ดโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ต gcd ๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
316, 7, 8, 18, 29, 30syl311anc 1262 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
32313expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
335, 32orim12d 787 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆจ ยฌ 2 โˆฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
343, 33mpd 13 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
35 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
36 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
37 nnz 9285 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3837adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
39 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4039nnzd 9387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
41 zsqcl 10604 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘šโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4443nnzd 9387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
45 zsqcl 10604 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
4742, 46zsubcld 9393 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
4838, 47zmulcld 9394 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„ค)
49 2z 9294 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
5049a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
5140, 44zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
5250, 51zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„ค)
5338, 52zmulcld 9394 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆˆ โ„ค)
54 preq12bg 3785 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆˆ โ„ค)) โ†’ ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))))
5535, 36, 48, 53, 54syl22anc 1249 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))))
5655anbi1d 465 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
5756rexbidva 2484 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
58572rexbidva 2510 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
59 andir 820 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
60 df-3an 981 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
61 df-3an 981 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
6260, 61orbi12i 765 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
63 3ancoma 986 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
6463orbi2i 763 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
6559, 62, 643bitr2i 208 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
6665rexbii 2494 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
67662rexbii 2496 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
68 r19.43 2645 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
69682rexbii 2496 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
70 r19.43 2645 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
7170rexbii 2494 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
72 r19.43 2645 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
7371, 72bitri 184 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
7469, 73bitri 184 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
7567, 74bitri 184 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))) โˆจ (๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
7658, 75bitrdi 196 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
77763adant3 1018 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
7877adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โˆจ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ต = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ด = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))))
7934, 78mpbird 167 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
8079ex 115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
81 pythagtriplem2 12279 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
82813adant3 1018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)))
8380, 82impbid 129 1 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• ({๐ด, ๐ต} = {(๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))), (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))} โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  {cpr 3605   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822   + caddc 7827   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141   / cdiv 8642  โ„•cn 8932  2c2 8983  โ„คcz 9266  โ†‘cexp 10532   โˆฅ cdvds 11807   gcd cgcd 11956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-1o 6430  df-2o 6431  df-er 6548  df-en 6754  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957  df-prm 12121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator