Theorem pythagtriplem2 12838

Description: Lemma for pythagtrip 12855. Prove the full version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ)
2		simpllr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnz 9497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
4	3	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
7		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
9		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 9600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
11		zsqcl 10871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛↑2) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℤ)
13	8, 12	zsubcld 9606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∈ ℤ)
14	4, 13	zmulcld 9607	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∈ ℤ)
15		2z 9506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
17	6, 10	zmulcld 9607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℤ)
18	16, 17	zmulcld 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℤ)
19	4, 18	zmulcld 9607	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∈ ℤ)
20		preq12bg 3856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∈ ℤ ∧ (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∈ ℤ)) → ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))))))
21	1, 2, 14, 19, 20	syl22anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))))))
22	21	anbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
23		andir 826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
24		df-3an 1006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
25		df-3an 1006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
26	24, 25	orbi12i 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
27	23, 26	bitr4i 187	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
28	22, 27	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
29	28	rexbidva 2529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
30	29	2rexbidva 2555	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
31		r19.43 2691	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
32	31	2rexbii 2541	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
33		r19.43 2691	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
34	33	rexbii 2539	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
35		r19.43 2691	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
36	32, 34, 35	3bitri 206	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
37	30, 36	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
38		pythagtriplem1 12837	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
39	38	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
40		3ancoma 1011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
41	40	rexbii 2539	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
42	41	2rexbii 2541	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
43		pythagtriplem1 12837	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
44	42, 43	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
45		nncn 9150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
46	45	sqcld 10932	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
47		nncn 9150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	sqcld 10932	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
49		addcom 8315	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
50	46, 48, 49	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
51	50	eqeq1d 2240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2)))
52	44, 51	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
53	39, 52	jaod 724	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
54	37, 53	sylbid 150	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  {cpr 3670  (class class class)co 6017  ℂcc 8029   + caddc 8034   · cmul 8036   − cmin 8349  ℕcn 9142  2c2 9193  ℤcz 9478  ↑cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  pythagtrip  12855