Theorem 2clwwlklem 30545

Description: Lemma for clwwnonrepclwwnon 30547 and extwwlkfab 30554. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 10-May-2022.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2clwwlklem	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem 2clwwlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlknwrd 30236	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		ige3m2fz 13553	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
4	3	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
5		clwwlknlen 30234	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
6	5	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
7	6	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
9	4, 8	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
10		pfxfv0 14705	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))
11	2, 9, 10	syl2an2r 695	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   − cmin 11414  2c2 12272  3c3 12273  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ♯chash 14343  Word cword 14526   prefix cpfx 14684  Vtxcvtx 29197   ClWWalksN cclwwlkn 30226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-clwwlk 30184  df-clwwlkn 30227

This theorem is referenced by:  clwwnonrepclwwnon  30547  extwwlkfab  30554