Theorem 2clwwlklem 30855

Description: Lemma for clwwnonrepclwwnon 30857 and extwwlkfab 30864. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 10-May-2022.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2clwwlklem	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem 2clwwlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlknwrd 30536	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		ige3m2fz 13628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
5		clwwlknlen 30534	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
6	5	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...𝑁))
7	6	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁)))
9	4, 8	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
10		pfxfv0 14786	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))
11	2, 9, 10	syl2an2r 698	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   − cmin 11490  2c2 12344  3c3 12345  ℤ_≥cuz 12912  ...cfz 13586  ♯chash 14419  Word cword 14603   prefix cpfx 14765  Vtxcvtx 29485   ClWWalksN cclwwlkn 30526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-hash 14420  df-word 14604  df-substr 14734  df-pfx 14766  df-clwwlk 30484  df-clwwlkn 30527

This theorem is used by:  clwwnonrepclwwnon  30857  extwwlkfab  30864