Theorem clwwnonrepclwwnon 28709

Description: If the initial vertex of a closed walk occurs another time in the walk, the walk starts with a closed walk on this vertex. See also the remarks in clwwnrepclwwn 28708. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.) (Revised by AV, 10-May-2022.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnonrepclwwnon	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))

Proof of Theorem clwwnonrepclwwnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		isclwwlknon 28455	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
3	2	simplbi 498	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4	3	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
6	5	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
7	2, 6	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
8	7	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)))
9	8	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
10	9	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
11		clwwnrepclwwn 28708	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
13		2clwwlklem 28707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))
14	3, 13	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))
15	14	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))
16	15	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑊‘0))
17	2	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑊‘0) = 𝑋)
18	17	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
19	16, 18	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)
20		isclwwlknon 28455	. 2 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋))
21	12, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   − cmin 11205  2c2 12028  3c3 12029  ℤ_≥cuz 12582   prefix cpfx 14383   ClWWalksN cclwwlkn 28388  ClWWalksNOncclwwlknon 28451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389  df-clwwlknon 28452

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlk  28714