Theorem extwwlkfab 30288

Description: The set (𝑋𝐶𝑁) of double loops of length 𝑁 on vertex 𝑋 can be constructed from the set 𝐹 of closed walks on 𝑋 with length smaller by 2 than the fixed length by appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). 3 ≤ 𝑁 is required since for 𝑁 = 2: 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅ (see clwwlk0on0 30028 stating that a closed walk of length 0 is not represented as word), which would result in an empty set on the right hand side, but (𝑋𝐶𝑁) needs not be empty, see 2clwwlk2 30284. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
extwwlkfab	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12850	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3	2	2clwwlk 30283	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4	1, 3	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
5	4	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
6		clwwlknon 30026	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
7	6	rabeqi 3422	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
8		rabrab 3433	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
9		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑤‘0))
14	11, 13	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
16		clwwnrepclwwn 30280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
17	9, 10, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
18	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
20		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph)
21	20	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
23		clwwlknlbonbgr1 29975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
25		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
26	25	eqcoms 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
29	24, 28	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
30	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
31	19, 29, 30	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
32	31	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
34	33	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
35	34	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
36	32, 35	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
37		2clwwlklem 30279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑤‘0))
38	37	3ad2antr3 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑤‘0))
39	38	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑤‘0))
40	39	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤‘0) = ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0))
41	40	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)))
43	42	3anbi1d 1442	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
44		extwwlkfab.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
45	44	eleq2i 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ↔ (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
46		isclwwlknon 30027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)))
48	45, 47	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)))
49	48	3anbi1d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
50	49	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
52	36, 43, 51	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
53	52	rabbidva 3415	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
54	8, 53	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
55	7, 54	eqtrid 2777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
56	5, 55	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  ℤ_≥cuz 12800   prefix cpfx 14642  Vtxcvtx 28930  USGraphcusgr 29083   NeighbVtx cnbgr 29266   ClWWalksN cclwwlkn 29960  ClWWalksNOncclwwlknon 30023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-edg 28982  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-usgr 29085  df-nbgr 29267  df-wwlks 29767  df-wwlksn 29768  df-clwwlk 29918  df-clwwlkn 29961  df-clwwlknon 30024

This theorem is referenced by:  extwwlkfabel  30289