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Theorem extwwlkfab 30204
Description: The set (𝑋𝐢𝑁) of double loops of length 𝑁 on vertex 𝑋 can be constructed from the set 𝐹 of closed walks on 𝑋 with length smaller by 2 than the fixed length by appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). 3 ≀ 𝑁 is required since for 𝑁 = 2: 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)0) = βˆ… (see clwwlk0on0 29944 stating that a closed walk of length 0 is not represented as word), which would result in an empty set on the right hand side, but (𝑋𝐢𝑁) needs not be empty, see 2clwwlk2 30200. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
extwwlkfab.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))
Assertion
Ref Expression
extwwlkfab ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣,𝑀   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfab
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 12901 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 extwwlkfab.c . . . . 5 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
322clwwlk 30199 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
41, 3sylan2 591 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
543adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
6 clwwlknon 29942 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋}
76rabeqi 3433 . . 3 {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} = {𝑀 ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}
8 rabrab 3443 . . . 4 {𝑀 ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)}
9 simpll3 1211 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
10 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
11 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
12 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ (π‘€β€˜0) = 𝑋)
1312eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ 𝑋 = (π‘€β€˜0))
1411, 13eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘€β€˜0))
1514adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘€β€˜0))
16 clwwnrepclwwn 30196 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘€β€˜0)) β†’ (𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺))
179, 10, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺))
1812adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜0) = 𝑋)
1917, 18jca 510 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋))
20 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
2120anim1i 613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
2221adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
23 clwwlknlbonbgr1 29891 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (π‘€β€˜0)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (π‘€β€˜0)))
25 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (π‘€β€˜0) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (π‘€β€˜0)))
2625eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘€β€˜0) = 𝑋 β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (π‘€β€˜0)))
2726adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (π‘€β€˜0)))
2827adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (π‘€β€˜0)))
2924, 28eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
3011adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
3119, 29, 303jca 1125 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)) β†’ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
3231ex 411 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
33 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) β†’ (π‘€β€˜0) = 𝑋)
3433anim1i 613 . . . . . . . 8 ((((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
35343adant2 1128 . . . . . . 7 ((((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
3632, 35impbid1 224 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
37 2clwwlklem 30195 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = (π‘€β€˜0))
38373ad2antr3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))) β†’ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = (π‘€β€˜0))
3938ancoms 457 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = (π‘€β€˜0))
4039eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (π‘€β€˜0) = ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0))
4140eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋))
4241anbi2d 628 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋)))
43423anbi1d 1436 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
44 extwwlkfab.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2))
4544eleq2i 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ↔ (𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)))
46 isclwwlknon 29943 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋))
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)(𝑁 βˆ’ 2)) ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋)))
4845, 47bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋)))
49483anbi1d 1436 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
5049bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ ((((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
5150adantr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ ((((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ ((𝑁 βˆ’ 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2))β€˜0) = 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
5236, 43, 513bitrd 304 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) β†’ (((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)))
5352rabbidva 3426 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)})
548, 53eqtrid 2777 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ {𝑀 ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑋} ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)})
557, 54eqtrid 2777 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)})
565, 55eqtrd 2765 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑀 prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  0cc0 11136  1c1 11137   βˆ’ cmin 11472  2c2 12295  3c3 12296  β„€β‰₯cuz 12850   prefix cpfx 14650  Vtxcvtx 28851  USGraphcusgr 29004   NeighbVtx cnbgr 29187   ClWWalksN cclwwlkn 29876  ClWWalksNOncclwwlknon 29939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-edg 28903  df-upgr 28937  df-umgr 28938  df-usgr 29006  df-nbgr 29188  df-wwlks 29683  df-wwlksn 29684  df-clwwlk 29834  df-clwwlkn 29877  df-clwwlknon 29940
This theorem is referenced by:  extwwlkfabel  30205
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