Theorem extwwlkfab 30427

Description: The set (𝑋𝐶𝑁) of double loops of length 𝑁 on vertex 𝑋 can be constructed from the set 𝐹 of closed walks on 𝑋 with length smaller by 2 than the fixed length by appending a neighbor of the last vertex and afterwards the last vertex (which is the first vertex) itself ("walking forth and back" from the last vertex). 3 ≤ 𝑁 is required since for 𝑁 = 2: 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅ (see clwwlk0on0 30167 stating that a closed walk of length 0 is not represented as word), which would result in an empty set on the right hand side, but (𝑋𝐶𝑁) needs not be empty, see 2clwwlk2 30423. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 31-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
extwwlkfab	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem extwwlkfab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12797	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
2		extwwlkfab.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3	2	2clwwlk 30422	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4	1, 3	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
5	4	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
6		clwwlknon 30165	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
7	6	rabeqi 3412	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
8		rabrab 3423	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
9		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑤‘0))
14	11, 13	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
16		clwwnrepclwwn 30419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
17	9, 10, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
18	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘0) = 𝑋)
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
20		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph)
21	20	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
23		clwwlknlbonbgr1 30114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
25		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = (𝑤‘0) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
26	25	eqcoms 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤‘0) = 𝑋 → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx (𝑤‘0)))
29	24, 28	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
30	11	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
31	19, 29, 30	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
32	31	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
34	33	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
35	34	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
36	32, 35	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
37		2clwwlklem 30418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑤‘0))
38	37	3ad2antr3 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑤‘0))
39	38	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = (𝑤‘0))
40	39	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑤‘0) = ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0))
41	40	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)))
43	42	3anbi1d 1442	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
44		extwwlkfab.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
45	44	eleq2i 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ↔ (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
46		isclwwlknon 30166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)))
48	45, 47	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋)))
49	48	3anbi1d 1442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
50	49	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ((((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2))‘0) = 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
52	36, 43, 51	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
53	52	rabbidva 3405	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
54	8, 53	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
55	7, 54	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
56	5, 55	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 prefix (𝑁 − 2)) ∈ 𝐹 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  0cc0 11026  1c1 11027   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  ℤ_≥cuz 12751   prefix cpfx 14594  Vtxcvtx 29069  USGraphcusgr 29222   NeighbVtx cnbgr 29405   ClWWalksN cclwwlkn 30099  ClWWalksNOncclwwlknon 30162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-edg 29121  df-upgr 29155  df-umgr 29156  df-usgr 29224  df-nbgr 29406  df-wwlks 29903  df-wwlksn 29904  df-clwwlk 30057  df-clwwlkn 30100  df-clwwlknon 30163

This theorem is referenced by:  extwwlkfabel  30428