Theorem numclwwlk2lem1lem 28123

Description: Lemma for numclwwlk2lem1 28157. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (Revised by AV, 15-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2lem1lem	⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem numclwwlk2lem1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 27624	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		simpl2 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		s1cl 13958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4	3	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		nn0p1gt0 11929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
6	5	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (𝑁 + 1))
7	6	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (𝑁 + 1))
8		breq2 5072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
9	8	3ad2ant3 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
10	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
11	7, 10	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (♯‘𝑊))
12		ccatfv0 13939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
13	2, 4, 11, 12	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
15	14	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16		nn0cn 11910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
17		pncan1 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
20	15, 19	eqtr2d 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
21	20	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
22	21	fveq2d 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
23		simpl2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	3	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	6	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
26	9	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
27	25, 26	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑊))
28		hashneq0 13728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
29	28	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
30	29	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
31	30	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
32	27, 31	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ≠ ∅)
33		ccatval1lsw 13940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
34	23, 24, 32, 33	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
35	22, 34	eqtr2d 2859	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
36	35	neeq1d 3077	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
37	36	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
38	37	impr 457	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
39	13, 38	jca 514	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
40	39	exp32 423	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
41	1, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
42	41	3imp21 1110	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   − cmin 10872  ℕ₀cn0 11900  ♯chash 13693  Word cword 13864  lastSclsw 13916   ++ cconcat 13924  ⟨“cs1 13951  Vtxcvtx 26783   WWalksN cwwlksn 27606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-lsw 13917  df-concat 13925  df-s1 13952  df-wwlks 27610  df-wwlksn 27611

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  28157