Theorem numclwwlk2lem1lem 30244

Description: Lemma for numclwwlk2lem1 30278. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (Revised by AV, 15-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2lem1lem	⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem numclwwlk2lem1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29747	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		s1cl 14543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4	3	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		nn0p1gt0 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
6	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (𝑁 + 1))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (𝑁 + 1))
8		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
11	7, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (♯‘𝑊))
12		ccatfv0 14524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
13	2, 4, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
15	14	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16		nn0cn 12428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
17		pncan1 11578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
20	15, 19	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
22	21	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
23		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
26	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
27	25, 26	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑊))
28		hashneq0 14305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
29	28	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
32	27, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ≠ ∅)
33		ccatval1lsw 14525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
34	23, 24, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
35	22, 34	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
36	35	neeq1d 2984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
37	36	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
38	37	impr 454	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
39	13, 38	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
40	39	exp32 420	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
41	1, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
42	41	3imp21 1113	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418  ♯chash 14271  Word cword 14454  lastSclsw 14503   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536  Vtxcvtx 28899   WWalksN cwwlksn 29729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-wwlks 29733  df-wwlksn 29734

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  30278