Theorem numclwwlk2lem1lem 29574

Description: Lemma for numclwwlk2lem1 29608. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (Revised by AV, 15-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2lem1lem	⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem numclwwlk2lem1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29077	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		s1cl 14547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4	3	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5		nn0p1gt0 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
6	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (𝑁 + 1))
7	6	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (𝑁 + 1))
8		breq2 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
11	7, 10	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (♯‘𝑊))
12		ccatfv0 14528	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
13	2, 4, 11, 12	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14		oveq1 7410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
15	14	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16		nn0cn 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
17		pncan1 11633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
20	15, 19	eqtr2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
21	20	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
22	21	fveq2d 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
23		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
24	3	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	6	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
26	9	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
27	25, 26	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑊))
28		hashneq0 14319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
29	28	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
30	29	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
31	30	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
32	27, 31	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ≠ ∅)
33		ccatval1lsw 14529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
34	23, 24, 32, 33	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
35	22, 34	eqtr2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
36	35	neeq1d 3001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
37	36	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
38	37	impr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
39	13, 38	jca 513	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
40	39	exp32 422	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
41	1, 40	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
42	41	3imp21 1115	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4320   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   < clt 11243   − cmin 11439  ℕ₀cn0 12467  ♯chash 14285  Word cword 14459  lastSclsw 14507   ++ cconcat 14515  ⟨“cs1 14540  Vtxcvtx 28235   WWalksN cwwlksn 29059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-hash 14286  df-word 14460  df-lsw 14508  df-concat 14516  df-s1 14541  df-wwlks 29063  df-wwlksn 29064

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  29608