MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltpsgOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltpsgOLD 22864
Description: Obsolete version of eltpsg 22863 as of 31-Oct-2024. Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
eltpsi.k 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
Assertion
Ref Expression
eltpsgOLD (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem eltpsgOLD
StepHypRef Expression
1 eltpsi.k . . . . 5 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
2 df-tset 17251 . . . . 5 TopSet = Slot 9
3 1lt9 12448 . . . . 5 1 < 9
4 9nn 12340 . . . . 5 9 ∈ ℕ
51, 2, 3, 42strop 17203 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
6 toponmax 22846 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴𝐽)
71, 2, 3, 42strbas 17202 . . . . . 6 (𝐴𝐽𝐴 = (Base‘𝐾))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
98fveq2d 6896 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOn‘𝐴) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
105, 9eleq12d 2819 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾))))
1110ibi 266 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
12 eqid 2725 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13 eqid 2725 . . 3 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
1412, 13tsettps 22861 . 2 ((TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ TopSp)
1511, 14syl 17 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {cpr 4626  cop 4630  cfv 6543  9c9 12304  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  TopSetcts 17238  TopOnctopon 22830  TopSpctps 22852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-rest 17403  df-topn 17404  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator