Theorem eltpsgOLD 22864

Description: Obsolete version of eltpsg 22863 as of 31-Oct-2024. Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}

Assertion

Ref	Expression
eltpsgOLD	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem eltpsgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpsi.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
2		df-tset 17251	. . . . 5 ⊢ TopSet = Slot 9
3		1lt9 12448	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
4		9nn 12340	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	1, 2, 3, 4	2strop 17203	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
6		toponmax 22846	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
7	1, 2, 3, 4	2strbas 17202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 = (Base‘𝐾))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
9	8	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOn‘𝐴) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
10	5, 9	eleq12d 2819	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾))))
11	10	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
12		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13		eqid 2725	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
14	12, 13	tsettps 22861	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ TopSp)
15	11, 14	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4626  ⟨cop 4630  ‘cfv 6543  9c9 12304  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  TopSetcts 17238  TopOnctopon 22830  TopSpctps 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-rest 17403  df-topn 17404  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853

This theorem is referenced by: (None)