Theorem indistpsALTOLD 22930

Description: Obsolete version of indistpsALT 22929 as of 31-Oct-2024. The indiscrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space. Here we show how to derive the structural version indistps 22927 from the direct component assignment version indistps2 22928. (Contributed by NM, 24-Oct-2012.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
indistpsALT.a	⊢ 𝐴 ∈ V
indistpsALT.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}

Assertion

Ref	Expression
indistpsALTOLD	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem indistpsALTOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistpsALT.a	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		indistopon 22917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴))
3		indistpsALT.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}
4		df-tset 17246	. . . . 5 ⊢ TopSet = Slot 9
5		1lt9 12443	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
6		9nn 12335	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
7	3, 4, 5, 6	2strbas 17197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘𝐾))
8	1, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
9		prex 5429	. . . 4 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ V
10	3, 4, 5, 6	2strop 17198	. . . 4 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ V → {∅, 𝐴} = (TopSet‘𝐾))
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, 𝐴} = (TopSet‘𝐾)
12	8, 11	tsettps 22856	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)
13	1, 2, 12	mp2b 10	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  ∅c0 4319  {cpr 4627  ⟨cop 4631  ‘cfv 6543  9c9 12299  ndxcnx 17156  Basecbs 17174  TopSetcts 17233  TopOnctopon 22825  TopSpctps 22847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-tset 17246  df-rest 17398  df-topn 17399  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848

This theorem is referenced by: (None)