Theorem 3cubeslem3 40490

Description: Lemma for 3cubes 40492. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

Assertion

Ref	Expression
3cubeslem3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))

Proof of Theorem 3cubeslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cubeslem1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2	1	3cubeslem3l 40488	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((𝐴↑7) · (3↑9)) + (((𝐴↑6) · (3↑9)) + (((𝐴↑5) · ((3↑8) + (3↑8))) + (((𝐴↑4) · (((3↑7) · 2) + (3↑6))) + (((𝐴↑3) · ((3↑6) + (3↑6))) + (((𝐴↑2) · (3↑5)) + (𝐴 · (3↑3)))))))))
3	1	3cubeslem3r 40489	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) = (((𝐴↑7) · (3↑9)) + (((𝐴↑6) · (3↑9)) + (((𝐴↑5) · ((3↑8) + (3↑8))) + (((𝐴↑4) · (((3↑7) · 2) + (3↑6))) + (((𝐴↑3) · ((3↑6) + (3↑6))) + (((𝐴↑2) · (3↑5)) + (𝐴 · (3↑3)))))))))
4	2, 3	eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   − cmin 11188  -cneg 11189  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  6c6 12015  7c7 12016  8c8 12017  9c9 12018  ℚcq 12670  ↑cexp 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-seq 13703  df-exp 13764  df-dvds 15945

This theorem is referenced by:  3cubeslem4  40491