Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cubes Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cubes 41060
Description: Every rational number is a sum of three rational cubes. See S. Ryley, The Ladies' Diary 122 (1825), 35. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
3cubes (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
Distinct variable group:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐ด

Proof of Theorem 3cubes
StepHypRef Expression
1 3nn 12240 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„•
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (ยฌ (3โ†‘3) โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„•)
3 3nn0 12439 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„•0
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (ยฌ (3โ†‘3) โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
52, 4nnexpcld 14157 . . . . . . . 8 (ยฌ (3โ†‘3) โˆˆ โ„• โ†’ (3โ†‘3) โˆˆ โ„•)
65pm2.18i 129 . . . . . . 7 (3โ†‘3) โˆˆ โ„•
7 nnq 12895 . . . . . . 7 ((3โ†‘3) โˆˆ โ„• โ†’ (3โ†‘3) โˆˆ โ„š)
86, 7mp1i 13 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (3โ†‘3) โˆˆ โ„š)
9 qexpcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„š)
103, 9mpan2 690 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„š)
11 qmulcl 12900 . . . . . 6 (((3โ†‘3) โˆˆ โ„š โˆง (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„š) โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š)
128, 10, 11syl2anc 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š)
13 1nn 12172 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
14 nnq 12895 . . . . . 6 (1 โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 1 โˆˆ โ„š
16 qsubcl 12901 . . . . 5 ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„š) โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„š)
1712, 15, 16sylancl 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„š)
18 qsqcl 14044 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„š)
19 qmulcl 12900 . . . . . . 7 (((3โ†‘3) โˆˆ โ„š โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„š) โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„š)
208, 18, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„š)
21 nnq 12895 . . . . . . . . 9 (3 โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„š)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„š
23 qsqcl 14044 . . . . . . . 8 (3 โˆˆ โ„š โ†’ (3โ†‘2) โˆˆ โ„š)
2422, 23mp1i 13 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (3โ†‘2) โˆˆ โ„š)
25 qmulcl 12900 . . . . . . 7 (((3โ†‘2) โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ ((3โ†‘2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
2624, 25mpancom 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((3โ†‘2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
27 qaddcl 12898 . . . . . 6 ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„š โˆง ((3โ†‘2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„š) โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š)
2820, 26, 27syl2anc 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š)
29 qaddcl 12898 . . . . 5 (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š โˆง 3 โˆˆ โ„š) โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โˆˆ โ„š)
3028, 22, 29sylancl 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โˆˆ โ„š)
31 id 22 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
32313cubeslem2 41055 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ยฌ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = 0)
3332neqned 2947 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โ‰  0)
34 qdivcl 12903 . . . 4 (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โ‰  0) โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š)
3517, 30, 33, 34syl3anc 1372 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š)
36 qnegcl 12899 . . . . . . 7 (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š โ†’ -((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š)
3712, 36syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ -((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š)
38 qaddcl 12898 . . . . . 6 ((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„š โˆง ((3โ†‘2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„š) โ†’ (-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š)
3937, 26, 38syl2anc 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š)
40 qaddcl 12898 . . . . 5 (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„š) โ†’ ((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„š)
4139, 15, 40sylancl 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„š)
42 qdivcl 12903 . . . 4 ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โ‰  0) โ†’ (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š)
4341, 30, 33, 42syl3anc 1372 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š)
44 qdivcl 12903 . . . 4 (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โ‰  0) โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š)
4528, 30, 33, 44syl3anc 1372 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š)
46313cubeslem4 41059 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
47 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (๐‘Žโ†‘3) = (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3))
4847oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐‘Ž = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + (๐‘โ†‘3)))
4948oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘Ž = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
5049eqeq2d 2744 . . . 4 (๐‘Ž = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†” ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3))))
51 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐‘ = (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (๐‘โ†‘3) = ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3))
5251oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐‘ = (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
5352oveq1d 7376 . . . . 5 (๐‘ = (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
5453eqeq2d 2744 . . . 4 (๐‘ = (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†” ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3))))
55 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (๐‘โ†‘3) = (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3))
5655oveq2d 7377 . . . . 5 (๐‘ = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
5756eqeq2d 2744 . . . 4 (๐‘ = ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โ†’ (๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†” ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3))))
5850, 54, 57rspc3ev 3596 . . 3 (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š โˆง (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š โˆง ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)) โˆˆ โ„š) โˆง ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
5935, 43, 45, 46, 58syl31anc 1374 . 2 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
60 3anass 1096 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)))
61 qexpcl 13992 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Žโ†‘3) โˆˆ โ„š)
623, 61mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘Žโ†‘3) โˆˆ โ„š)
63 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
64 qexpcl 13992 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„š)
6563, 3, 64sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„š)
66 qaddcl 12898 . . . . . . . . 9 (((๐‘Žโ†‘3) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) โˆˆ โ„š)
6762, 65, 66syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) โˆˆ โ„š)
68 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
69 qexpcl 13992 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„š)
7068, 3, 69sylancl 587 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„š)
71 qaddcl 12898 . . . . . . . 8 ((((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) โˆˆ โ„š โˆง (๐‘โ†‘3) โˆˆ โ„š) โ†’ (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โˆˆ โ„š)
7267, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โˆˆ โ„š)
73 eleq1a 2829 . . . . . . 7 ((((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
7472, 73syl 17 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
7574a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)))
7660, 75biimtrid 241 . . . 4 (โŠค โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)))
7776rexlimdv3d 41053 . . 3 (โŠค โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š))
7877mptru 1549 . 2 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
7959, 78impbii 208 1 (๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  2c2 12216  3c3 12217  โ„•0cn0 12421  โ„šcq 12881  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-seq 13916  df-exp 13977  df-dvds 16145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator