3cubes - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubes 41428

Description: Every rational number is a sum of three rational cubes. See S. Ryley, The Ladies' Diary 122 (1825), 35. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubes	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Distinct variable group: 𝑎,𝑏,𝑐,𝐴

**Proof of Theorem 3cubes**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		3nn0 12490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	nnexpcld 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℕ)
6	5	pm2.18i 129	. . . . . . 7 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ
7		nnq 12946	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℚ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑3) ∈ ℚ)
9		qexpcl 14043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
10	3, 9	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
11		qmulcl 12951	. . . . . 6 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
12	8, 10, 11	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
13		1nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		nnq 12946	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
16		qsubcl 12952	. . . . 5 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
17	12, 15, 16	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
18		qsqcl 14095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19		qmulcl 12951	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
20	8, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
21		nnq 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℚ
23		qsqcl 14095	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
25		qmulcl 12951	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑2) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
26	24, 25	mpancom 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
27		qaddcl 12949	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
28	20, 26, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
29		qaddcl 12949	. . . . 5 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℚ) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
30	28, 22, 29	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ)
32	31	3cubeslem2 41423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
33	32	neqned 2948	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
34		qdivcl 12954	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
35	17, 30, 33, 34	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
36		qnegcl 12950	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
38		qaddcl 12949	. . . . . 6 ⊢ ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
39	37, 26, 38	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
40		qaddcl 12949	. . . . 5 ⊢ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
41	39, 15, 40	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
42		qdivcl 12954	. . . 4 ⊢ ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
43	41, 30, 33, 42	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
44		qdivcl 12954	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
45	28, 30, 33, 44	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
46	31	3cubeslem4 41427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
47		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑎↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
48	47	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)))
49	48	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
50	49	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3))))
51		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑏↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
52	51	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	52	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)))
54	53	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3))))
55		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑐↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
56	55	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
57	56	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))))
58	50, 54, 57	rspc3ev 3629	. . 3 ⊢ (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ) ∧ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))) → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
59	35, 43, 45, 46, 58	syl31anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
60		3anass 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)))
61		qexpcl 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
62	3, 61	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
63		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑏 ∈ ℚ)
64		qexpcl 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
65	63, 3, 64	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
66		qaddcl 12949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑3) ∈ ℚ ∧ (𝑏↑3) ∈ ℚ) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
67	62, 65, 66	syl2an2r 684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
68		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑐 ∈ ℚ)
69		qexpcl 14043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
70	68, 3, 69	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
71		qaddcl 12949	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ ∧ (𝑐↑3) ∈ ℚ) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
72	67, 70, 71	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
73		eleq1a 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
74	72, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
76	60, 75	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
77	76	rexlimdv3d 41421	. . 3 ⊢ (⊤ → (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
78	77	mptru 1549	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)
79	59, 78	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ⊤wtru 1543 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∃wrex 3071 (class class class)co 7409 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 − cmin 11444 -cneg 11445 / cdiv 11871 ℕcn 12212 2c2 12267 3c3 12268 ℕ₀cn0 12472 ℚcq 12932 ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-q 12933 df-seq 13967 df-exp 14028 df-dvds 16198

This theorem is referenced by: (None)

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