3cubes - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubes 42678

Description: Every rational number is a sum of three rational cubes. See S. Ryley, The Ladies' Diary 122 (1825), 35. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubes	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Distinct variable group: 𝑎,𝑏,𝑐,𝐴

**Proof of Theorem 3cubes**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		3nn0 12542	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	nnexpcld 14281	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℕ)
6	5	pm2.18i 129	. . . . . . 7 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ
7		nnq 13002	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℚ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑3) ∈ ℚ)
9		qexpcl 14115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
10	3, 9	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
11		qmulcl 13007	. . . . . 6 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
13		1nn 12275	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		nnq 13002	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
16		qsubcl 13008	. . . . 5 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
17	12, 15, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
18		qsqcl 14167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19		qmulcl 13007	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
20	8, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
21		nnq 13002	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℚ
23		qsqcl 14167	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
25		qmulcl 13007	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑2) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
26	24, 25	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
27		qaddcl 13005	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
28	20, 26, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
29		qaddcl 13005	. . . . 5 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℚ) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
30	28, 22, 29	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ)
32	31	3cubeslem2 42673	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
33	32	neqned 2945	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
34		qdivcl 13010	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
35	17, 30, 33, 34	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
36		qnegcl 13006	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
38		qaddcl 13005	. . . . . 6 ⊢ ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
39	37, 26, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
40		qaddcl 13005	. . . . 5 ⊢ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
41	39, 15, 40	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
42		qdivcl 13010	. . . 4 ⊢ ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
43	41, 30, 33, 42	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
44		qdivcl 13010	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
45	28, 30, 33, 44	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
46	31	3cubeslem4 42677	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
47		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑎↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
48	47	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)))
49	48	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
50	49	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3))))
51		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑏↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
52	51	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	52	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)))
54	53	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3))))
55		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑐↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
56	55	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
57	56	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))))
58	50, 54, 57	rspc3ev 3639	. . 3 ⊢ (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ) ∧ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))) → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
59	35, 43, 45, 46, 58	syl31anc 1372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
60		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)))
61		qexpcl 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
62	3, 61	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
63		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑏 ∈ ℚ)
64		qexpcl 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
65	63, 3, 64	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
66		qaddcl 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑3) ∈ ℚ ∧ (𝑏↑3) ∈ ℚ) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
67	62, 65, 66	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
68		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑐 ∈ ℚ)
69		qexpcl 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
70	68, 3, 69	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
71		qaddcl 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ ∧ (𝑐↑3) ∈ ℚ) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
72	67, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
73		eleq1a 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
74	72, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
76	60, 75	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
77	76	rexlimdv3d 42671	. . 3 ⊢ (⊤ → (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
78	77	mptru 1544	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)
79	59, 78	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1537 ⊤wtru 1538 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 ∃wrex 3068 (class class class)co 7431 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 2c2 12319 3c3 12320 ℕ₀cn0 12524 ℚcq 12988 ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-5 12330 df-6 12331 df-7 12332 df-8 12333 df-9 12334 df-n0 12525 df-z 12612 df-uz 12877 df-q 12989 df-seq 14040 df-exp 14100 df-dvds 16288

This theorem is referenced by: (None)

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