3cubes - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubes 43404

Description: Every rational number is a sum of three rational cubes. See S. Ryley, The Ladies' Diary 122 (1825), 35. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubes	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Distinct variable group: 𝑎,𝑏,𝑐,𝐴

**Proof of Theorem 3cubes**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		3nn0 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	nnexpcld 14283	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℕ)
6	5	pm2.18i 130	. . . . . . 7 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ
7		nnq 12987	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℚ)
8	6, 7	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑3) ∈ ℚ)
9		qexpcl 14115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
10	3, 9	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
11		qmulcl 12992	. . . . . 6 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
12	8, 10, 11	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
13		1nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		nnq 12987	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
16		qsubcl 12993	. . . . 5 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
17	12, 15, 16	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
18		qsqcl 14168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19		qmulcl 12992	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
20	8, 18, 19	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
21		nnq 12987	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℚ
23		qsqcl 14168	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
24	22, 23	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
25		qmulcl 12992	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑2) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
26	24, 25	mpancom 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
27		qaddcl 12990	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
28	20, 26, 27	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
29		qaddcl 12990	. . . . 5 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℚ) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
30	28, 22, 29	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
31		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ)
32	31	3cubeslem2 43399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
33	32	neqned 2965	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
34		qdivcl 12995	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
35	17, 30, 33, 34	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
36		qnegcl 12991	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
37	12, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
38		qaddcl 12990	. . . . . 6 ⊢ ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
39	37, 26, 38	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
40		qaddcl 12990	. . . . 5 ⊢ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
41	39, 15, 40	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
42		qdivcl 12995	. . . 4 ⊢ ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
43	41, 30, 33, 42	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
44		qdivcl 12995	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
45	28, 30, 33, 44	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
46	31	3cubeslem4 43403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
47		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑎↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
48	47	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)))
49	48	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
50	49	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3))))
51		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑏↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
52	51	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	52	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)))
54	53	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3))))
55		oveq1 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑐↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
56	55	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
57	56	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))))
58	50, 54, 57	rspc3ev 3599	. . 3 ⊢ (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ) ∧ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))) → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
59	35, 43, 45, 46, 58	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
60		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)))
61		qexpcl 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
62	3, 61	mpan2 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
63		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑏 ∈ ℚ)
64		qexpcl 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
65	63, 3, 64	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
66		qaddcl 12990	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑3) ∈ ℚ ∧ (𝑏↑3) ∈ ℚ) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
67	62, 65, 66	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
68		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑐 ∈ ℚ)
69		qexpcl 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
70	68, 3, 69	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
71		qaddcl 12990	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ ∧ (𝑐↑3) ∈ ℚ) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
72	67, 70, 71	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
73		eleq1a 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
74	72, 73	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
76	60, 75	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
77	76	rexlimdv3d 43397	. . 3 ⊢ (⊤ → (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
78	77	mptru 1577	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)
79	59, 78	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ⊤wtru 1571 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∃wrex 3089 (class class class)co 7412 0cc0 11101 1c1 11102 + caddc 11104 · cmul 11106 − cmin 11442 -cneg 11443 / cdiv 11872 ℕcn 12234 2c2 12296 3c3 12297 ℕ₀cn0 12505 ℚcq 12973 ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-er 8695 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11873 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-4 12306 df-5 12307 df-6 12308 df-7 12309 df-8 12310 df-9 12311 df-n0 12506 df-z 12593 df-uz 12864 df-q 12974 df-seq 14040 df-exp 14100 df-dvds 16312

This theorem is referenced by: (None)

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