3cubes - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubes 41418

Description: Every rational number is a sum of three rational cubes. See S. Ryley, The Ladies' Diary 122 (1825), 35. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubes	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Distinct variable group: 𝑎,𝑏,𝑐,𝐴

**Proof of Theorem 3cubes**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3		3nn0 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	nnexpcld 14207	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℕ)
6	5	pm2.18i 129	. . . . . . 7 ⊢ (3↑3) ∈ ℕ
7		nnq 12945	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑3) ∈ ℕ → (3↑3) ∈ ℚ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑3) ∈ ℚ)
9		qexpcl 14042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
10	3, 9	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℚ)
11		qmulcl 12950	. . . . . 6 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
13		1nn 12222	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		nnq 12945	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
16		qsubcl 12951	. . . . 5 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
17	12, 15, 16	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ)
18		qsqcl 14094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑2) ∈ ℚ)
19		qmulcl 12950	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) ∈ ℚ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℚ) → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
20	8, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ)
21		nnq 12945	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℚ
23		qsqcl 14094	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (3↑2) ∈ ℚ)
25		qmulcl 12950	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑2) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
26	24, 25	mpancom 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ)
27		qaddcl 12948	. . . . . 6 ⊢ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
28	20, 26, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
29		qaddcl 12948	. . . . 5 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℚ) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
30	28, 22, 29	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ)
32	31	3cubeslem2 41413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
33	32	neqned 2947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
34		qdivcl 12953	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
35	17, 30, 33, 34	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
36		qnegcl 12949	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
37	12, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ)
38		qaddcl 12948	. . . . . 6 ⊢ ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℚ ∧ ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℚ) → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
39	37, 26, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ)
40		qaddcl 12948	. . . . 5 ⊢ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
41	39, 15, 40	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ)
42		qdivcl 12953	. . . 4 ⊢ ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
43	41, 30, 33, 42	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
44		qdivcl 12953	. . . 4 ⊢ (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0) → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
45	28, 30, 33, 44	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ)
46	31	3cubeslem4 41417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
47		oveq1 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑎↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
48	47	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)))
49	48	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
50	49	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3))))
51		oveq1 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑏↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
52	51	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	52	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)))
54	53	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3))))
55		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝑐↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))
56	55	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
57	56	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑐 = ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) → (𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (𝑐↑3)) ↔ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))))
58	50, 54, 57	rspc3ev 3628	. . 3 ⊢ (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ ∧ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)) ∈ ℚ) ∧ 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3))) → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
59	35, 43, 45, 46, 58	syl31anc 1373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))
60		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) ↔ (𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)))
61		qexpcl 14042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
62	3, 61	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (𝑎↑3) ∈ ℚ)
63		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑏 ∈ ℚ)
64		qexpcl 14042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
65	63, 3, 64	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑏↑3) ∈ ℚ)
66		qaddcl 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎↑3) ∈ ℚ ∧ (𝑏↑3) ∈ ℚ) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
67	62, 65, 66	syl2an2r 683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → ((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ)
68		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → 𝑐 ∈ ℚ)
69		qexpcl 14042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℚ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
70	68, 3, 69	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝑐↑3) ∈ ℚ)
71		qaddcl 12948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) ∈ ℚ ∧ (𝑐↑3) ∈ ℚ) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
72	67, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ)
73		eleq1a 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) ∈ ℚ → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
74	72, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ (𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ)) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
76	60, 75	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑎 ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ ∧ 𝑐 ∈ ℚ) → (𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)))
77	76	rexlimdv3d 41411	. . 3 ⊢ (⊤ → (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ))
78	77	mptru 1548	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)) → 𝐴 ∈ ℚ)
79	59, 78	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℚ ∃𝑏 ∈ ℚ ∃𝑐 ∈ ℚ 𝐴 = (((𝑎↑3) + (𝑏↑3)) + (𝑐↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ⊤wtru 1542 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∃wrex 3070 (class class class)co 7408 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 − cmin 11443 -cneg 11444 / cdiv 11870 ℕcn 12211 2c2 12266 3c3 12267 ℕ₀cn0 12471 ℚcq 12931 ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-q 12932 df-seq 13966 df-exp 14027 df-dvds 16197

This theorem is referenced by: (None)

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