3cubeslem4 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem4 42677

Description: Lemma for 3cubes 42678. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational 𝐴 into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

**Proof of Theorem 3cubeslem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
3		3nn0 12460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	reexpcld 14128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑3) ∈ ℝ)
6	5	mptru 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
8		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
9		qre 12912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 3 ∈ ℕ₀)
11	9, 10	reexpcld 14128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
14		1red 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
18	16, 17	expcld 14111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) ∈ ℂ)
19	13	renegcld 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
21	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
23	22	sqcld 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
24		qcn 12922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℂ)
27	20, 26	addcld 11193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
28		1cnd 11169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
30	29, 17	expcld 14111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) ∈ ℂ)
31	7	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℂ)
32	25	sqcld 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
34	33, 26	addcld 11193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	34, 22	addcld 11193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℂ)
36	35, 17	expcld 14111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ∈ ℂ)
37	8	3cubeslem2 42673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
38	37	neqned 2932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
39		3z 12566	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
41	35, 38, 40	expne0d 14117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ≠ 0)
42	18, 30, 36, 41	divdird 11996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
43	42	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
44	18, 30	addcld 11193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) ∈ ℂ)
45	34, 17	expcld 14111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) ∈ ℂ)
46	44, 45, 36, 41	divdird 11996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
47	16, 35, 38, 17	expdivd 14125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
48	47	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
49	48	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
50	29, 35, 38, 17	expdivd 14125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
51	50	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
52	51	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	34, 35, 38, 17	expdivd 14125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
54	53	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
55	49, 52, 54	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
56	43, 46, 55	3eqtr4rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
57	8	3cubeslem3 42676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))
58	57	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
59	25, 36, 41	divcan4d 11964	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = 𝐴)
60	56, 58, 59	3eqtr2rd 2771	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2109 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 · cmul 11073 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 2c2 12241 3c3 12242 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ℚcq 12907 ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-q 12908 df-seq 13967 df-exp 14027 df-dvds 16223

This theorem is referenced by: 3cubes 42678

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