3cubeslem4 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem4 42645

Description: Lemma for 3cubes 42646. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational 𝐴 into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

**Proof of Theorem 3cubeslem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
3		3nn0 12571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑3) ∈ ℝ)
6	5	mptru 1544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
8		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
9		qre 13018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 3 ∈ ℕ₀)
11	9, 10	reexpcld 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
14		1red 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
18	16, 17	expcld 14196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) ∈ ℂ)
19	13	renegcld 11717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
21	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
23	22	sqcld 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
24		qcn 13028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℂ)
27	20, 26	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
28		1cnd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
30	29, 17	expcld 14196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) ∈ ℂ)
31	7	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℂ)
32	25	sqcld 14194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
34	33, 26	addcld 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	34, 22	addcld 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℂ)
36	35, 17	expcld 14196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ∈ ℂ)
37	8	3cubeslem2 42641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
38	37	neqned 2953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
39		3z 12676	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
41	35, 38, 40	expne0d 14202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ≠ 0)
42	18, 30, 36, 41	divdird 12108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
43	42	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
44	18, 30	addcld 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) ∈ ℂ)
45	34, 17	expcld 14196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) ∈ ℂ)
46	44, 45, 36, 41	divdird 12108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
47	16, 35, 38, 17	expdivd 14210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
48	47	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
49	48	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
50	29, 35, 38, 17	expdivd 14210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
51	50	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
52	51	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	34, 35, 38, 17	expdivd 14210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
54	53	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
55	49, 52, 54	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
56	43, 46, 55	3eqtr4rd 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
57	8	3cubeslem3 42644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))
58	57	oveq1d 7463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
59	25, 36, 41	divcan4d 12076	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = 𝐴)
60	56, 58, 59	3eqtr2rd 2787	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1537 ⊤wtru 1538 ∈ wcel 2108 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 − cmin 11520 -cneg 11521 / cdiv 11947 2c2 12348 3c3 12349 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 ℚcq 13013 ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-q 13014 df-seq 14053 df-exp 14113 df-dvds 16303

This theorem is referenced by: 3cubes 42646

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