3cubeslem4 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem4 42679

Description: Lemma for 3cubes 42680. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational 𝐴 into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

**Proof of Theorem 3cubeslem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
3		3nn0 12524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑3) ∈ ℝ)
6	5	mptru 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
8		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
9		qre 12974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 3 ∈ ℕ₀)
11	9, 10	reexpcld 14186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
14		1red 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
18	16, 17	expcld 14169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) ∈ ℂ)
19	13	renegcld 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
21	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
23	22	sqcld 14167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
24		qcn 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℂ)
27	20, 26	addcld 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
28		1cnd 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 11259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
30	29, 17	expcld 14169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) ∈ ℂ)
31	7	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℂ)
32	25	sqcld 14167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
34	33, 26	addcld 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	34, 22	addcld 11259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℂ)
36	35, 17	expcld 14169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ∈ ℂ)
37	8	3cubeslem2 42675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
38	37	neqned 2940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
39		3z 12630	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
41	35, 38, 40	expne0d 14175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ≠ 0)
42	18, 30, 36, 41	divdird 12060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
43	42	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
44	18, 30	addcld 11259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) ∈ ℂ)
45	34, 17	expcld 14169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) ∈ ℂ)
46	44, 45, 36, 41	divdird 12060	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
47	16, 35, 38, 17	expdivd 14183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
48	47	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
49	48	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
50	29, 35, 38, 17	expdivd 14183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
51	50	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
52	51	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	34, 35, 38, 17	expdivd 14183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
54	53	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
55	49, 52, 54	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
56	43, 46, 55	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
57	8	3cubeslem3 42678	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))
58	57	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
59	25, 36, 41	divcan4d 12028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = 𝐴)
60	56, 58, 59	3eqtr2rd 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2109 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 · cmul 11139 − cmin 11471 -cneg 11472 / cdiv 11899 2c2 12300 3c3 12301 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ℚcq 12969 ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-q 12970 df-seq 14025 df-exp 14085 df-dvds 16278

This theorem is referenced by: 3cubes 42680

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