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Theorem 3cubeslem4 41729
Description: Lemma for 3cubes 41730. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational ๐ด into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
3cubeslem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
Assertion
Ref Expression
3cubeslem4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))

Proof of Theorem 3cubeslem4
StepHypRef Expression
1 3re 12296 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 3 โˆˆ โ„)
3 3nn0 12494 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„•0
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
52, 4reexpcld 14132 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ (3โ†‘3) โˆˆ โ„)
65mptru 1546 . . . . . . . . . 10 (3โ†‘3) โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘3) โˆˆ โ„)
8 3cubeslem1.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
9 qre 12941 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
103a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
119, 10reexpcld 14132 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
128, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„)
137, 12remulcld 11248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„)
14 1red 11219 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1513, 14resubcld 11646 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1615recnd 11246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
173a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„•0)
1816, 17expcld 14115 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
1913renegcld 11645 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„)
2019recnd 11246 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
2221recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
2322sqcld 14113 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
24 qcn 12951 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
258, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2623, 25mulcld 11238 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2720, 26addcld 11237 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
28 1cnd 11213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2927, 28addcld 11237 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„‚)
3029, 17expcld 14115 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
317recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3225sqcld 14113 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3331, 32mulcld 11238 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3433, 26addcld 11237 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3534, 22addcld 11237 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โˆˆ โ„‚)
3635, 17expcld 14115 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3783cubeslem2 41725 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = 0)
3837neqned 2945 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โ‰  0)
39 3z 12599 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
4039a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„ค)
4135, 38, 40expne0d 14121 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3) โ‰  0)
4218, 30, 36, 41divdird 12032 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))))
4342oveq1d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))))
4418, 30addcld 11237 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
4534, 17expcld 14115 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
4644, 45, 36, 41divdird 12032 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) + ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))))
4716, 35, 38, 17expdivd 14129 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) = (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)))
4847oveq1d 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
4948oveq1d 7426 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
5029, 35, 38, 17expdivd 14129 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) = ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)))
5150oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))))
5251oveq1d 7426 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
5334, 35, 38, 17expdivd 14129 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) = (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)))
5453oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))))
5549, 52, 543eqtrd 2774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3))))
5643, 46, 553eqtr4rd 2781 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) + ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)))
5783cubeslem3 41728 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) + ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3)))
5857oveq1d 7426 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) + ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)))
5925, 36, 41divcan4d 12000 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) / (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = ๐ด)
6056, 58, 593eqtr2rd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„šcq 12936  โ†‘cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  3cubes  41730
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