3cubeslem4 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem4 41730

Description: Lemma for 3cubes 41731. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational 𝐴 into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

**Proof of Theorem 3cubeslem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
3		3nn0 12495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	reexpcld 14133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑3) ∈ ℝ)
6	5	mptru 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
8		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
9		qre 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 3 ∈ ℕ₀)
11	9, 10	reexpcld 14133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
14		1red 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
18	16, 17	expcld 14116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) ∈ ℂ)
19	13	renegcld 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
21	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
23	22	sqcld 14114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
24		qcn 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℂ)
27	20, 26	addcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
28		1cnd 11214	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
30	29, 17	expcld 14116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) ∈ ℂ)
31	7	recnd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℂ)
32	25	sqcld 14114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
34	33, 26	addcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	34, 22	addcld 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℂ)
36	35, 17	expcld 14116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ∈ ℂ)
37	8	3cubeslem2 41726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
38	37	neqned 2946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
39		3z 12600	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
41	35, 38, 40	expne0d 14122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ≠ 0)
42	18, 30, 36, 41	divdird 12033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
43	42	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
44	18, 30	addcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) ∈ ℂ)
45	34, 17	expcld 14116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) ∈ ℂ)
46	44, 45, 36, 41	divdird 12033	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
47	16, 35, 38, 17	expdivd 14130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
48	47	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
49	48	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
50	29, 35, 38, 17	expdivd 14130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
51	50	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
52	51	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	34, 35, 38, 17	expdivd 14130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
54	53	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
55	49, 52, 54	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
56	43, 46, 55	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
57	8	3cubeslem3 41729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))
58	57	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
59	25, 36, 41	divcan4d 12001	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = 𝐴)
60	56, 58, 59	3eqtr2rd 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2105 (class class class)co 7412 ℂcc 11111 ℝcr 11112 0cc0 11113 1c1 11114 + caddc 11116 · cmul 11118 − cmin 11449 -cneg 11450 / cdiv 11876 2c2 12272 3c3 12273 ℕ₀cn0 12477 ℤcz 12563 ℚcq 12937 ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7728 ax-cnex 11169 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7859 df-1st 7978 df-2nd 7979 df-frecs 8269 df-wrecs 8300 df-recs 8374 df-rdg 8413 df-er 8706 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-nn 12218 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12478 df-z 12564 df-uz 12828 df-q 12938 df-seq 13972 df-exp 14033 df-dvds 16203

This theorem is referenced by: 3cubes 41731

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