3cubeslem4 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem4 40511

Description: Lemma for 3cubes 40512. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational 𝐴 into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

**Proof of Theorem 3cubeslem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
3		3nn0 12251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ₀)
5	2, 4	reexpcld 13881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (3↑3) ∈ ℝ)
6	5	mptru 1546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑3) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
8		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
9		qre 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 3 ∈ ℕ₀)
11	9, 10	reexpcld 13881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
14		1red 10976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) ∈ ℂ)
17	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
18	16, 17	expcld 13864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) ∈ ℂ)
19	13	renegcld 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((3↑3) · (𝐴↑3)) ∈ ℂ)
21	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
23	22	sqcld 13862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
24		qcn 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	23, 25	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) ∈ ℂ)
27	20, 26	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
28		1cnd 10970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
30	29, 17	expcld 13864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) ∈ ℂ)
31	7	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℂ)
32	25	sqcld 13862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
33	31, 32	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
34	33, 26	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
35	34, 22	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ∈ ℂ)
36	35, 17	expcld 13864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ∈ ℂ)
37	8	3cubeslem2 40507	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
38	37	neqned 2950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
39		3z 12353	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
40	39	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
41	35, 38, 40	expne0d 13870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3) ≠ 0)
42	18, 30, 36, 41	divdird 11789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
43	42	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
44	18, 30	addcld 10994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) ∈ ℂ)
45	34, 17	expcld 13864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) ∈ ℂ)
46	44, 45, 36, 41	divdird 11789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
47	16, 35, 38, 17	expdivd 13878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
48	47	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
49	48	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
50	29, 35, 38, 17	expdivd 13878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
51	50	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
52	51	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))
53	34, 35, 38, 17	expdivd 13878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) = (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
54	53	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
55	49, 52, 54	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3))))
56	43, 46, 55	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
57	8	3cubeslem3 40510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = ((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)))
58	57	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1)↑3) + (((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1)↑3)) + ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴))↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)))
59	25, 36, 41	divcan4d 11757	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) / (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3)↑3)) = 𝐴)
60	56, 58, 59	3eqtr2rd 2785	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((((((3↑3) · (𝐴↑3)) − 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3) + ((((-((3↑3) · (𝐴↑3)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 1) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)) + (((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) / ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))↑3)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ⊤wtru 1540 ∈ wcel 2106 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 2c2 12028 3c3 12029 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℚcq 12688 ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-q 12689 df-seq 13722 df-exp 13783 df-dvds 15964

This theorem is referenced by: 3cubes 40512

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