Theorem abslt2sqd 45642

Description: Comparison of the square of two numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
abslt2sqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
abslt2sqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
abslt2sqd.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < (abs‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
abslt2sqd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) < (𝐵↑2))

Proof of Theorem abslt2sqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abslt2sqd.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < (abs‘𝐵))
2		abslt2sqd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3	absge0d 15372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
6		abslt2sqd.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	abscld 15364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
9	7	absge0d 15372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐵))
10		lt2sq 14058	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))) → ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)))
11	4, 5, 8, 9, 10	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)))
12	1, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2))
13		absresq 15227	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
14	2, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
15		absresq 15227	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
16	6, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
17	14, 16	breq12d 5110	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (𝐴↑2) < (𝐵↑2)))
18	12, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) < (𝐵↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12202  ↑cexp 13986  abscabs 15159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem2  46904