Theorem abscld 15526

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℂcc 11122  ℝcr 11123  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  bhmafibid1  15555  lo1bddrp  15612  elo1mpt  15621  elo1mpt2  15622  elo1d  15623  o1bdd2  15628  o1bddrp  15629  rlimuni  15637  climuni  15639  o1eq  15657  rlimcld2  15665  rlimrege0  15666  climabs0  15672  mulcn2  15683  reccn2  15684  cn1lem  15685  cjcn2  15687  o1add  15701  o1mul  15702  o1sub  15703  rlimo1  15704  o1rlimmul  15706  climsqz  15728  climsqz2  15729  rlimsqzlem  15736  o1le  15740  climbdd  15759  caucvgrlem  15760  caucvgrlem2  15762  iseraltlem3  15771  iseralt  15772  fsumabs  15888  o1fsum  15900  iserabs  15902  cvgcmpce  15905  abscvgcvg  15906  divrcnv  15941  explecnv  15954  geomulcvg  15965  cvgrat  15972  mertenslem1  15973  mertenslem2  15974  fprodabs  16061  efcllem  16163  efaddlem  16179  eftlub  16197  ef01bndlem  16272  sin01bnd  16273  cos01bnd  16274  absef  16285  dvdsabseq  16403  alzdvds  16410  sqnprm  16793  pclem  16930  mul4sqlem  17045  xrsdsreclb  21627  gzrngunitlem  21645  gzrngunit  21646  prmirredlem  21685  nm2dif  24851  blcvx  25024  recld2  25041  addcnlem  25091  cnheiborlem  25182  cnheibor  25183  cnllycmp  25184  cphsqrtcl2  25414  ipcau2  25462  tcphcphlem1  25463  ipcnlem2  25472  cncmet  25550  trirn  25628  rrxdstprj1  25637  pjthlem1  25665  volsup2  25833  mbfi1fseqlem6  25948  iblabslem  26055  iblabs  26056  iblabsr  26057  iblmulc2  26058  itgabs  26062  bddmulibl  26066  bddiblnc  26069  itgcn  26072  dveflem  26206  dvlip  26220  dvlipcn  26221  c1liplem1  26223  dveq0  26227  dv11cn  26228  lhop1lem  26240  dvfsumabs  26250  dvfsumrlim  26258  dvfsumrlim2  26259  ftc1a  26264  ftc1lem4  26266  plyeq0lem  26436  aalioulem2  26569  aalioulem3  26570  aalioulem4  26571  aalioulem5  26572  aalioulem6  26573  aaliou  26574  geolim3  26575  aaliou2b  26577  aaliou3lem9  26586  ulmbdd  26634  ulmcn  26635  ulmdvlem1  26636  mtest  26640  mtestbdd  26641  iblulm  26643  itgulm  26644  radcnvlem1  26649  radcnvlem2  26650  radcnvlt1  26654  radcnvle  26656  dvradcnv  26657  pserulm  26658  psercnlem2  26660  psercnlem1  26661  psercn  26662  pserdvlem1  26663  pserdvlem2  26664  pserdv  26665  abelthlem2  26668  abelthlem3  26669  abelthlem5  26671  abelthlem7  26674  abelthlem8  26675  tanregt0  26776  efif1olem3  26781  efif1olem4  26782  eff1olem  26785  cosargd  26845  cosarg0d  26846  argregt0  26847  argrege0  26848  abslogle  26855  logcnlem3  26881  logcnlem4  26882  efopnlem1  26893  logtayl  26897  abscxp2  26930  cxpcn3lem  26984  abscxpbnd  26990  cosangneg2d  27044  lawcoslem1  27052  lawcos  27053  pythag  27054  isosctrlem3  27057  ssscongptld  27059  chordthmlem3  27071  chordthmlem4  27072  chordthmlem5  27073  heron  27075  bndatandm  27166  efrlim  27206  rlimcxp  27210  o1cxp  27211  cxploglim2  27215  divsqrtsumo1  27220  fsumharmonic  27248  lgamgulmlem2  27266  lgamgulmlem3  27267  lgamgulmlem5  27269  lgambdd  27273  lgamucov  27274  lgamcvg2  27291  ftalem1  27309  ftalem2  27310  ftalem3  27311  ftalem4  27312  ftalem5  27313  ftalem7  27315  logfacbnd3  27459  logfacrlim  27460  logexprlim  27461  dchrabs  27496  lgsdirprm  27567  lgsdilem2  27569  lgsne0  27571  lgsabs1  27572  mul2sq  27655  2sqlem3  27656  2sqblem  27667  vmadivsumb  27719  rplogsumlem2  27721  dchrisumlem2  27726  dchrisumlem3  27727  dchrisum  27728  dchrmusum2  27730  dchrvmasumlem2  27734  dchrvmasumlem3  27735  dchrvmasumiflem1  27737  dchrvmasumiflem2  27738  dchrisum0flblem1  27744  dchrisum0fno1  27747  dchrisum0lem1b  27751  dchrisum0lem1  27752  dchrisum0lem2a  27753  dchrisum0lem2  27754  dchrisum0lem3  27755  mudivsum  27766  mulogsumlem  27767  mulog2sumlem1  27770  mulog2sumlem2  27771  2vmadivsumlem  27776  log2sumbnd  27780  selberglem2  27782  selbergb  27785  selberg2b  27788  chpdifbndlem1  27789  selberg3lem1  27793  selberg3lem2  27794  selberg4lem1  27796  pntrsumo1  27801  pntrsumbnd  27802  pntrsumbnd2  27803  pntrlog2bndlem1  27813  pntrlog2bndlem2  27814  pntrlog2bndlem3  27815  pntrlog2bndlem4  27816  pntrlog2bndlem5  27817  pntrlog2bndlem6  27819  pntrlog2bnd  27820  pntpbnd1a  27821  pntpbnd2  27823  pntibndlem2  27827  pntlemn  27836  pntlemj  27839  pntlemf  27841  pntlemo  27843  pntlem3  27845  pntleml  27847  smcnlem  31178  nmoub3i  31254  isblo3i  31282  htthlem  31398  bcs2  31663  pjhthlem1  31872  nmfnsetre  32358  nmfnleub2  32407  nmfnge0  32408  nmbdfnlbi  32530  nmcfnexi  32532  nmcfnlbi  32533  lnfnconi  32536  cnlnadjlem2  32549  cnlnadjlem7  32554  nmopcoadji  32582  leopnmid  32619  constrdircl  34275  iconstr  34276  constrremulcl  34277  constrimcl  34280  constrmulcl  34281  constrinvcl  34283  constrabscl  34288  constrsqrtcl  34289  sqsscirc2  34419  subfaclim  35767  subfacval3  35768  sinccvglem  36251  dnicld1  37169  dnibndlem2  37176  dnibndlem6  37180  dnibndlem9  37183  dnibndlem12  37186  dnicn  37189  knoppcnlem4  37193  knoppcnlem6  37195  unblimceq0lem  37203  unblimceq0  37204  unbdqndv2lem1  37206  unbdqndv2lem2  37207  knoppndvlem11  37219  knoppndvlem12  37220  knoppndvlem14  37222  knoppndvlem15  37223  knoppndvlem17  37225  knoppndvlem18  37226  knoppndvlem20  37228  knoppndvlem21  37229  poimirlem29  38398  poimir  38402  iblabsnclem  38432  iblabsnc  38433  iblmulc2nc  38434  itgabsnc  38438  ftc1cnnclem  38440  ftc1anclem1  38442  ftc1anclem2  38443  ftc1anclem4  38445  ftc1anclem5  38446  ftc1anclem6  38447  ftc1anclem7  38448  ftc1anclem8  38449  ftc1anc  38450  ftc2nc  38451  dvasin  38453  areacirclem1  38457  areacirclem2  38458  areacirclem4  38460  areacirclem5  38461  areacirc  38462  geomcau  38509  cntotbnd  38546  rrndstprj1  38580  rrndstprj2  38581  ismrer1  38588  readvrec  43237  readvcot  43239  dffltz  43480  rencldnfilem  43661  irrapxlem2  43664  irrapxlem4  43666  irrapxlem5  43667  pellexlem2  43671  pellexlem6  43675  pell14qrgt0  43700  congabseq  43815  acongeq  43824  modabsdifz  43827  jm2.26lem3  43842  sqrtcvallem4  44479  extoimad  45004  imo72b2lem0  45005  imo72b2  45012  dvgrat  45136  cvgdvgrat  45137  radcnvrat  45138  dvconstbi  45158  binomcxplemnotnn0  45180  dstregt0  46115  absnpncan2d  46135  absnpncan3d  46140  abslt2sqd  46190  rexabslelem  46246  cvgcaule  46319  fprodabs2  46425  mullimc  46446  mullimcf  46453  limcrecl  46459  lptre2pt  46468  limcleqr  46472  addlimc  46476  0ellimcdiv  46477  limclner  46479  climleltrp  46504  climisp  46574  climxrrelem  46577  cnrefiisplem  46657  climxlim2lem  46673  cncficcgt0  46716  dvdivbd  46751  dvbdfbdioolem1  46756  dvbdfbdioolem2  46757  dvbdfbdioo  46758  ioodvbdlimc1lem1  46759  ioodvbdlimc1lem2  46760  ioodvbdlimc2lem  46762  stoweid  46891  fourierdlem30  46965  fourierdlem39  46974  fourierdlem42  46977  fourierdlem47  46981  fourierdlem68  47002  fourierdlem70  47004  fourierdlem71  47005  fourierdlem73  47007  fourierdlem77  47011  fourierdlem80  47014  fourierdlem83  47017  fourierdlem87  47021  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  etransclem23  47085  etransclem48  47110  rrndistlt  47118  ioorrnopnlem  47132  sge0isum  47255  hoicvr  47376  smflimlem4  47602  smfmullem1  47619  smfmullem2  47620  smfmullem3  47621  modlt0b  48257  itsclc0yqsol  49694