Theorem abscld 15346

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15185	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  ℝcr 11008  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15375  lo1bddrp  15432  elo1mpt  15441  elo1mpt2  15442  elo1d  15443  o1bdd2  15448  o1bddrp  15449  rlimuni  15457  climuni  15459  o1eq  15477  rlimcld2  15485  rlimrege0  15486  climabs0  15492  mulcn2  15503  reccn2  15504  cn1lem  15505  cjcn2  15507  o1add  15521  o1mul  15522  o1sub  15523  rlimo1  15524  o1rlimmul  15526  climsqz  15548  climsqz2  15549  rlimsqzlem  15556  o1le  15560  climbdd  15579  caucvgrlem  15580  caucvgrlem2  15582  iseraltlem3  15591  iseralt  15592  fsumabs  15708  o1fsum  15720  iserabs  15722  cvgcmpce  15725  abscvgcvg  15726  divrcnv  15759  explecnv  15772  geomulcvg  15783  cvgrat  15790  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  fprodabs  15881  efcllem  15984  efaddlem  16000  eftlub  16018  ef01bndlem  16093  sin01bnd  16094  cos01bnd  16095  absef  16106  dvdsabseq  16224  alzdvds  16231  sqnprm  16613  pclem  16750  mul4sqlem  16865  xrsdsreclb  21320  gzrngunitlem  21339  gzrngunit  21340  prmirredlem  21379  nm2dif  24511  blcvx  24684  recld2  24701  addcnlem  24751  cnheiborlem  24851  cnheibor  24852  cnllycmp  24853  cphsqrtcl2  25084  ipcau2  25132  tcphcphlem1  25133  ipcnlem2  25142  cncmet  25220  trirn  25298  rrxdstprj1  25307  pjthlem1  25335  volsup2  25504  mbfi1fseqlem6  25619  iblabslem  25727  iblabs  25728  iblabsr  25729  iblmulc2  25730  itgabs  25734  bddmulibl  25738  bddiblnc  25741  itgcn  25744  dveflem  25881  dvlip  25896  dvlipcn  25897  c1liplem1  25899  dveq0  25903  dv11cn  25904  lhop1lem  25916  dvfsumabs  25927  dvfsumrlim  25936  dvfsumrlim2  25937  ftc1a  25942  ftc1lem4  25944  plyeq0lem  26113  aalioulem2  26239  aalioulem3  26240  aalioulem4  26241  aalioulem5  26242  aalioulem6  26243  aaliou  26244  geolim3  26245  aaliou2b  26247  aaliou3lem9  26256  ulmbdd  26305  ulmcn  26306  ulmdvlem1  26307  mtest  26311  mtestbdd  26312  iblulm  26314  itgulm  26315  radcnvlem1  26320  radcnvlem2  26321  radcnvlt1  26325  radcnvle  26327  dvradcnv  26328  pserulm  26329  psercnlem2  26332  psercnlem1  26333  psercn  26334  pserdvlem1  26335  pserdvlem2  26336  pserdv  26337  abelthlem2  26340  abelthlem3  26341  abelthlem5  26343  abelthlem7  26346  abelthlem8  26347  tanregt0  26446  efif1olem3  26451  efif1olem4  26452  eff1olem  26455  cosargd  26515  cosarg0d  26516  argregt0  26517  argrege0  26518  abslogle  26525  logcnlem3  26551  logcnlem4  26552  efopnlem1  26563  logtayl  26567  abscxp2  26600  cxpcn3lem  26655  abscxpbnd  26661  cosangneg2d  26715  lawcoslem1  26723  lawcos  26724  pythag  26725  isosctrlem3  26728  ssscongptld  26730  chordthmlem3  26742  chordthmlem4  26743  chordthmlem5  26744  heron  26746  bndatandm  26837  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  rlimcxp  26882  o1cxp  26883  cxploglim2  26887  divsqrtsumo1  26892  fsumharmonic  26920  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem5  26941  lgambdd  26945  lgamucov  26946  lgamcvg2  26963  ftalem1  26981  ftalem2  26982  ftalem3  26983  ftalem4  26984  ftalem5  26985  ftalem7  26987  logfacbnd3  27132  logfacrlim  27133  logexprlim  27134  dchrabs  27169  lgsdirprm  27240  lgsdilem2  27242  lgsne0  27244  lgsabs1  27245  mul2sq  27328  2sqlem3  27329  2sqblem  27340  vmadivsumb  27392  rplogsumlem2  27394  dchrisumlem2  27399  dchrisumlem3  27400  dchrisum  27401  dchrmusum2  27403  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumlem3  27408  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  dchrisum0flblem1  27417  dchrisum0fno1  27420  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  dchrisum0lem2  27427  dchrisum0lem3  27428  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  2vmadivsumlem  27449  log2sumbnd  27453  selberglem2  27455  selbergb  27458  selberg2b  27461  chpdifbndlem1  27462  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  selberg4lem1  27469  pntrsumo1  27474  pntrsumbnd  27475  pntrsumbnd2  27476  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntpbnd1a  27494  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntlemn  27509  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemo  27516  pntlem3  27518  pntleml  27520  smcnlem  30641  nmoub3i  30717  isblo3i  30745  htthlem  30861  bcs2  31126  pjhthlem1  31335  nmfnsetre  31821  nmfnleub2  31870  nmfnge0  31871  nmbdfnlbi  31993  nmcfnexi  31995  nmcfnlbi  31996  lnfnconi  31999  cnlnadjlem2  32012  cnlnadjlem7  32017  nmopcoadji  32045  leopnmid  32082  constrdircl  33732  iconstr  33733  constrremulcl  33734  constrimcl  33737  constrmulcl  33738  constrinvcl  33740  constrabscl  33745  constrsqrtcl  33746  sqsscirc2  33876  subfaclim  35161  subfacval3  35162  sinccvglem  35645  dnicld1  36446  dnibndlem2  36453  dnibndlem6  36457  dnibndlem9  36460  dnibndlem12  36463  dnicn  36466  knoppcnlem4  36470  knoppcnlem6  36472  unblimceq0lem  36480  unblimceq0  36481  unbdqndv2lem1  36483  unbdqndv2lem2  36484  knoppndvlem11  36496  knoppndvlem12  36497  knoppndvlem14  36499  knoppndvlem15  36500  knoppndvlem17  36502  knoppndvlem18  36503  knoppndvlem20  36505  knoppndvlem21  36506  poimirlem29  37629  poimir  37633  iblabsnclem  37663  iblabsnc  37664  iblmulc2nc  37665  itgabsnc  37669  ftc1cnnclem  37671  ftc1anclem1  37673  ftc1anclem2  37674  ftc1anclem4  37676  ftc1anclem5  37677  ftc1anclem6  37678  ftc1anclem7  37679  ftc1anclem8  37680  ftc1anc  37681  ftc2nc  37682  dvasin  37684  areacirclem1  37688  areacirclem2  37689  areacirclem4  37691  areacirclem5  37692  areacirc  37693  geomcau  37739  cntotbnd  37776  rrndstprj1  37810  rrndstprj2  37811  ismrer1  37818  readvrec  42335  readvcot  42337  dffltz  42607  rencldnfilem  42793  irrapxlem2  42796  irrapxlem4  42798  irrapxlem5  42799  pellexlem2  42803  pellexlem6  42807  pell14qrgt0  42832  congabseq  42947  acongeq  42956  modabsdifz  42959  jm2.26lem3  42974  sqrtcvallem4  43612  extoimad  44137  imo72b2lem0  44138  imo72b2  44145  dvgrat  44285  cvgdvgrat  44286  radcnvrat  44287  dvconstbi  44307  binomcxplemnotnn0  44329  dstregt0  45264  absnpncan2d  45284  absnpncan3d  45289  abslt2sqd  45340  rexabslelem  45397  cvgcaule  45470  fprodabs2  45576  mullimc  45597  mullimcf  45604  limcrecl  45610  lptre2pt  45621  limcleqr  45625  addlimc  45629  0ellimcdiv  45630  limclner  45632  climleltrp  45657  climisp  45727  climxrrelem  45730  cnrefiisplem  45810  climxlim2lem  45826  cncficcgt0  45869  dvdivbd  45904  dvbdfbdioolem1  45909  dvbdfbdioolem2  45910  dvbdfbdioo  45911  ioodvbdlimc1lem1  45912  ioodvbdlimc1lem2  45913  ioodvbdlimc2lem  45915  stoweid  46044  fourierdlem30  46118  fourierdlem39  46127  fourierdlem42  46130  fourierdlem47  46134  fourierdlem68  46155  fourierdlem70  46157  fourierdlem71  46158  fourierdlem73  46160  fourierdlem77  46164  fourierdlem80  46167  fourierdlem83  46170  fourierdlem87  46174  fourierdlem103  46190  fourierdlem104  46191  etransclem23  46238  etransclem48  46263  rrndistlt  46271  ioorrnopnlem  46285  sge0isum  46408  hoicvr  46529  smflimlem4  46755  smfmullem1  46772  smfmullem2  46773  smfmullem3  46774  modlt0b  47347  itsclc0yqsol  48749