Theorem abscld 15392

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  ℝcr 11028  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15421  lo1bddrp  15478  elo1mpt  15487  elo1mpt2  15488  elo1d  15489  o1bdd2  15494  o1bddrp  15495  rlimuni  15503  climuni  15505  o1eq  15523  rlimcld2  15531  rlimrege0  15532  climabs0  15538  mulcn2  15549  reccn2  15550  cn1lem  15551  cjcn2  15553  o1add  15567  o1mul  15568  o1sub  15569  rlimo1  15570  o1rlimmul  15572  climsqz  15594  climsqz2  15595  rlimsqzlem  15602  o1le  15606  climbdd  15625  caucvgrlem  15626  caucvgrlem2  15628  iseraltlem3  15637  iseralt  15638  fsumabs  15755  o1fsum  15767  iserabs  15769  cvgcmpce  15772  abscvgcvg  15773  divrcnv  15808  explecnv  15821  geomulcvg  15832  cvgrat  15839  mertenslem1  15840  mertenslem2  15841  fprodabs  15930  efcllem  16033  efaddlem  16049  eftlub  16067  ef01bndlem  16142  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  absef  16155  dvdsabseq  16273  alzdvds  16280  sqnprm  16663  pclem  16800  mul4sqlem  16915  xrsdsreclb  21403  gzrngunitlem  21422  gzrngunit  21423  prmirredlem  21462  nm2dif  24600  blcvx  24773  recld2  24790  addcnlem  24840  cnheiborlem  24931  cnheibor  24932  cnllycmp  24933  cphsqrtcl2  25163  ipcau2  25211  tcphcphlem1  25212  ipcnlem2  25221  cncmet  25299  trirn  25377  rrxdstprj1  25386  pjthlem1  25414  volsup2  25582  mbfi1fseqlem6  25697  iblabslem  25805  iblabs  25806  iblabsr  25807  iblmulc2  25808  itgabs  25812  bddmulibl  25816  bddiblnc  25819  itgcn  25822  dveflem  25956  dvlip  25970  dvlipcn  25971  c1liplem1  25973  dveq0  25977  dv11cn  25978  lhop1lem  25990  dvfsumabs  26000  dvfsumrlim  26008  dvfsumrlim2  26009  ftc1a  26014  ftc1lem4  26016  plyeq0lem  26185  aalioulem2  26310  aalioulem3  26311  aalioulem4  26312  aalioulem5  26313  aalioulem6  26314  aaliou  26315  geolim3  26316  aaliou2b  26318  aaliou3lem9  26327  ulmbdd  26376  ulmcn  26377  ulmdvlem1  26378  mtest  26382  mtestbdd  26383  iblulm  26385  itgulm  26386  radcnvlem1  26391  radcnvlem2  26392  radcnvlt1  26396  radcnvle  26398  dvradcnv  26399  pserulm  26400  psercnlem2  26402  psercnlem1  26403  psercn  26404  pserdvlem1  26405  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  abelthlem2  26410  abelthlem3  26411  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  abelthlem8  26417  tanregt0  26516  efif1olem3  26521  efif1olem4  26522  eff1olem  26525  cosargd  26585  cosarg0d  26586  argregt0  26587  argrege0  26588  abslogle  26595  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  efopnlem1  26633  logtayl  26637  abscxp2  26670  cxpcn3lem  26724  abscxpbnd  26730  cosangneg2d  26784  lawcoslem1  26792  lawcos  26793  pythag  26794  isosctrlem3  26797  ssscongptld  26799  chordthmlem3  26811  chordthmlem4  26812  chordthmlem5  26813  heron  26815  bndatandm  26906  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  rlimcxp  26951  o1cxp  26952  cxploglim2  26956  divsqrtsumo1  26961  fsumharmonic  26989  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  lgamgulmlem5  27010  lgambdd  27014  lgamucov  27015  lgamcvg2  27032  ftalem1  27050  ftalem2  27051  ftalem3  27052  ftalem4  27053  ftalem5  27054  ftalem7  27056  logfacbnd3  27200  logfacrlim  27201  logexprlim  27202  dchrabs  27237  lgsdirprm  27308  lgsdilem2  27310  lgsne0  27312  lgsabs1  27313  mul2sq  27396  2sqlem3  27397  2sqblem  27408  vmadivsumb  27460  rplogsumlem2  27462  dchrisumlem2  27467  dchrisumlem3  27468  dchrisum  27469  dchrmusum2  27471  dchrvmasumlem2  27475  dchrvmasumlem3  27476  dchrvmasumiflem1  27478  dchrvmasumiflem2  27479  dchrisum0flblem1  27485  dchrisum0fno1  27488  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  dchrisum0lem3  27496  mudivsum  27507  mulogsumlem  27508  mulog2sumlem1  27511  mulog2sumlem2  27512  2vmadivsumlem  27517  log2sumbnd  27521  selberglem2  27523  selbergb  27526  selberg2b  27529  chpdifbndlem1  27530  selberg3lem1  27534  selberg3lem2  27535  selberg4lem1  27537  pntrsumo1  27542  pntrsumbnd  27543  pntrsumbnd2  27544  pntrlog2bndlem1  27554  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem3  27556  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bndlem6  27560  pntrlog2bnd  27561  pntpbnd1a  27562  pntpbnd2  27564  pntibndlem2  27568  pntlemn  27577  pntlemj  27580  pntlemf  27582  pntlemo  27584  pntlem3  27586  pntleml  27588  smcnlem  30783  nmoub3i  30859  isblo3i  30887  htthlem  31003  bcs2  31268  pjhthlem1  31477  nmfnsetre  31963  nmfnleub2  32012  nmfnge0  32013  nmbdfnlbi  32135  nmcfnexi  32137  nmcfnlbi  32138  lnfnconi  32141  cnlnadjlem2  32154  cnlnadjlem7  32159  nmopcoadji  32187  leopnmid  32224  constrdircl  33925  iconstr  33926  constrremulcl  33927  constrimcl  33930  constrmulcl  33931  constrinvcl  33933  constrabscl  33938  constrsqrtcl  33939  sqsscirc2  34069  subfaclim  35386  subfacval3  35387  sinccvglem  35870  dnicld1  36748  dnibndlem2  36755  dnibndlem6  36759  dnibndlem9  36762  dnibndlem12  36765  dnicn  36768  knoppcnlem4  36772  knoppcnlem6  36774  unblimceq0lem  36782  unblimceq0  36783  unbdqndv2lem1  36785  unbdqndv2lem2  36786  knoppndvlem11  36798  knoppndvlem12  36799  knoppndvlem14  36801  knoppndvlem15  36802  knoppndvlem17  36804  knoppndvlem18  36805  knoppndvlem20  36807  knoppndvlem21  36808  poimirlem29  37984  poimir  37988  iblabsnclem  38018  iblabsnc  38019  iblmulc2nc  38020  itgabsnc  38024  ftc1cnnclem  38026  ftc1anclem1  38028  ftc1anclem2  38029  ftc1anclem4  38031  ftc1anclem5  38032  ftc1anclem6  38033  ftc1anclem7  38034  ftc1anclem8  38035  ftc1anc  38036  ftc2nc  38037  dvasin  38039  areacirclem1  38043  areacirclem2  38044  areacirclem4  38046  areacirclem5  38047  areacirc  38048  geomcau  38094  cntotbnd  38131  rrndstprj1  38165  rrndstprj2  38166  ismrer1  38173  readvrec  42808  readvcot  42810  dffltz  43081  rencldnfilem  43266  irrapxlem2  43269  irrapxlem4  43271  irrapxlem5  43272  pellexlem2  43276  pellexlem6  43280  pell14qrgt0  43305  congabseq  43420  acongeq  43429  modabsdifz  43432  jm2.26lem3  43447  sqrtcvallem4  44084  extoimad  44609  imo72b2lem0  44610  imo72b2  44617  dvgrat  44757  cvgdvgrat  44758  radcnvrat  44759  dvconstbi  44779  binomcxplemnotnn0  44801  dstregt0  45733  absnpncan2d  45753  absnpncan3d  45758  abslt2sqd  45808  rexabslelem  45864  cvgcaule  45937  fprodabs2  46043  mullimc  46064  mullimcf  46071  limcrecl  46077  lptre2pt  46086  limcleqr  46090  addlimc  46094  0ellimcdiv  46095  limclner  46097  climleltrp  46122  climisp  46192  climxrrelem  46195  cnrefiisplem  46275  climxlim2lem  46291  cncficcgt0  46334  dvdivbd  46369  dvbdfbdioolem1  46374  dvbdfbdioolem2  46375  dvbdfbdioo  46376  ioodvbdlimc1lem1  46377  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  stoweid  46509  fourierdlem30  46583  fourierdlem39  46592  fourierdlem42  46595  fourierdlem47  46599  fourierdlem68  46620  fourierdlem70  46622  fourierdlem71  46623  fourierdlem73  46625  fourierdlem77  46629  fourierdlem80  46632  fourierdlem83  46635  fourierdlem87  46639  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  etransclem23  46703  etransclem48  46728  rrndistlt  46736  ioorrnopnlem  46750  sge0isum  46873  hoicvr  46994  smflimlem4  47220  smfmullem1  47237  smfmullem2  47238  smfmullem3  47239  modlt0b  47829  itsclc0yqsol  49252