Theorem abscld 15412

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15251	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  ℝcr 11074  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15441  lo1bddrp  15498  elo1mpt  15507  elo1mpt2  15508  elo1d  15509  o1bdd2  15514  o1bddrp  15515  rlimuni  15523  climuni  15525  o1eq  15543  rlimcld2  15551  rlimrege0  15552  climabs0  15558  mulcn2  15569  reccn2  15570  cn1lem  15571  cjcn2  15573  o1add  15587  o1mul  15588  o1sub  15589  rlimo1  15590  o1rlimmul  15592  climsqz  15614  climsqz2  15615  rlimsqzlem  15622  o1le  15626  climbdd  15645  caucvgrlem  15646  caucvgrlem2  15648  iseraltlem3  15657  iseralt  15658  fsumabs  15774  o1fsum  15786  iserabs  15788  cvgcmpce  15791  abscvgcvg  15792  divrcnv  15825  explecnv  15838  geomulcvg  15849  cvgrat  15856  mertenslem1  15857  mertenslem2  15858  fprodabs  15947  efcllem  16050  efaddlem  16066  eftlub  16084  ef01bndlem  16159  sin01bnd  16160  cos01bnd  16161  absef  16172  dvdsabseq  16290  alzdvds  16297  sqnprm  16679  pclem  16816  mul4sqlem  16931  xrsdsreclb  21337  gzrngunitlem  21356  gzrngunit  21357  prmirredlem  21389  nm2dif  24520  blcvx  24693  recld2  24710  addcnlem  24760  cnheiborlem  24860  cnheibor  24861  cnllycmp  24862  cphsqrtcl2  25093  ipcau2  25141  tcphcphlem1  25142  ipcnlem2  25151  cncmet  25229  trirn  25307  rrxdstprj1  25316  pjthlem1  25344  volsup2  25513  mbfi1fseqlem6  25628  iblabslem  25736  iblabs  25737  iblabsr  25738  iblmulc2  25739  itgabs  25743  bddmulibl  25747  bddiblnc  25750  itgcn  25753  dveflem  25890  dvlip  25905  dvlipcn  25906  c1liplem1  25908  dveq0  25912  dv11cn  25913  lhop1lem  25925  dvfsumabs  25936  dvfsumrlim  25945  dvfsumrlim2  25946  ftc1a  25951  ftc1lem4  25953  plyeq0lem  26122  aalioulem2  26248  aalioulem3  26249  aalioulem4  26250  aalioulem5  26251  aalioulem6  26252  aaliou  26253  geolim3  26254  aaliou2b  26256  aaliou3lem9  26265  ulmbdd  26314  ulmcn  26315  ulmdvlem1  26316  mtest  26320  mtestbdd  26321  iblulm  26323  itgulm  26324  radcnvlem1  26329  radcnvlem2  26330  radcnvlt1  26334  radcnvle  26336  dvradcnv  26337  pserulm  26338  psercnlem2  26341  psercnlem1  26342  psercn  26343  pserdvlem1  26344  pserdvlem2  26345  pserdv  26346  abelthlem2  26349  abelthlem3  26350  abelthlem5  26352  abelthlem7  26355  abelthlem8  26356  tanregt0  26455  efif1olem3  26460  efif1olem4  26461  eff1olem  26464  cosargd  26524  cosarg0d  26525  argregt0  26526  argrege0  26527  abslogle  26534  logcnlem3  26560  logcnlem4  26561  efopnlem1  26572  logtayl  26576  abscxp2  26609  cxpcn3lem  26664  abscxpbnd  26670  cosangneg2d  26724  lawcoslem1  26732  lawcos  26733  pythag  26734  isosctrlem3  26737  ssscongptld  26739  chordthmlem3  26751  chordthmlem4  26752  chordthmlem5  26753  heron  26755  bndatandm  26846  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  rlimcxp  26891  o1cxp  26892  cxploglim2  26896  divsqrtsumo1  26901  fsumharmonic  26929  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem5  26950  lgambdd  26954  lgamucov  26955  lgamcvg2  26972  ftalem1  26990  ftalem2  26991  ftalem3  26992  ftalem4  26993  ftalem5  26994  ftalem7  26996  logfacbnd3  27141  logfacrlim  27142  logexprlim  27143  dchrabs  27178  lgsdirprm  27249  lgsdilem2  27251  lgsne0  27253  lgsabs1  27254  mul2sq  27337  2sqlem3  27338  2sqblem  27349  vmadivsumb  27401  rplogsumlem2  27403  dchrisumlem2  27408  dchrisumlem3  27409  dchrisum  27410  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumlem3  27417  dchrvmasumiflem1  27419  dchrvmasumiflem2  27420  dchrisum0flblem1  27426  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0lem3  27437  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  2vmadivsumlem  27458  log2sumbnd  27462  selberglem2  27464  selbergb  27467  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  selberg3lem2  27476  selberg4lem1  27478  pntrsumo1  27483  pntrsumbnd  27484  pntrsumbnd2  27485  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntpbnd2  27505  pntibndlem2  27509  pntlemn  27518  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemo  27525  pntlem3  27527  pntleml  27529  smcnlem  30633  nmoub3i  30709  isblo3i  30737  htthlem  30853  bcs2  31118  pjhthlem1  31327  nmfnsetre  31813  nmfnleub2  31862  nmfnge0  31863  nmbdfnlbi  31985  nmcfnexi  31987  nmcfnlbi  31988  lnfnconi  31991  cnlnadjlem2  32004  cnlnadjlem7  32009  nmopcoadji  32037  leopnmid  32074  constrdircl  33762  iconstr  33763  constrremulcl  33764  constrimcl  33767  constrmulcl  33768  constrinvcl  33770  constrabscl  33775  constrsqrtcl  33776  sqsscirc2  33906  subfaclim  35182  subfacval3  35183  sinccvglem  35666  dnicld1  36467  dnibndlem2  36474  dnibndlem6  36478  dnibndlem9  36481  dnibndlem12  36484  dnicn  36487  knoppcnlem4  36491  knoppcnlem6  36493  unblimceq0lem  36501  unblimceq0  36502  unbdqndv2lem1  36504  unbdqndv2lem2  36505  knoppndvlem11  36517  knoppndvlem12  36518  knoppndvlem14  36520  knoppndvlem15  36521  knoppndvlem17  36523  knoppndvlem18  36524  knoppndvlem20  36526  knoppndvlem21  36527  poimirlem29  37650  poimir  37654  iblabsnclem  37684  iblabsnc  37685  iblmulc2nc  37686  itgabsnc  37690  ftc1cnnclem  37692  ftc1anclem1  37694  ftc1anclem2  37695  ftc1anclem4  37697  ftc1anclem5  37698  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem7  37700  ftc1anclem8  37701  ftc1anc  37702  ftc2nc  37703  dvasin  37705  areacirclem1  37709  areacirclem2  37710  areacirclem4  37712  areacirclem5  37713  areacirc  37714  geomcau  37760  cntotbnd  37797  rrndstprj1  37831  rrndstprj2  37832  ismrer1  37839  readvrec  42357  readvcot  42359  dffltz  42629  rencldnfilem  42815  irrapxlem2  42818  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  pellexlem2  42825  pellexlem6  42829  pell14qrgt0  42854  congabseq  42970  acongeq  42979  modabsdifz  42982  jm2.26lem3  42997  sqrtcvallem4  43635  extoimad  44160  imo72b2lem0  44161  imo72b2  44168  dvgrat  44308  cvgdvgrat  44309  radcnvrat  44310  dvconstbi  44330  binomcxplemnotnn0  44352  dstregt0  45287  absnpncan2d  45307  absnpncan3d  45312  abslt2sqd  45363  rexabslelem  45421  cvgcaule  45494  fprodabs2  45600  mullimc  45621  mullimcf  45628  limcrecl  45634  lptre2pt  45645  limcleqr  45649  addlimc  45653  0ellimcdiv  45654  limclner  45656  climleltrp  45681  climisp  45751  climxrrelem  45754  cnrefiisplem  45834  climxlim2lem  45850  cncficcgt0  45893  dvdivbd  45928  dvbdfbdioolem1  45933  dvbdfbdioolem2  45934  dvbdfbdioo  45935  ioodvbdlimc1lem1  45936  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweid  46068  fourierdlem30  46142  fourierdlem39  46151  fourierdlem42  46154  fourierdlem47  46158  fourierdlem68  46179  fourierdlem70  46181  fourierdlem71  46182  fourierdlem73  46184  fourierdlem77  46188  fourierdlem80  46191  fourierdlem83  46194  fourierdlem87  46198  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  etransclem23  46262  etransclem48  46287  rrndistlt  46295  ioorrnopnlem  46309  sge0isum  46432  hoicvr  46553  smflimlem4  46779  smfmullem1  46796  smfmullem2  46797  smfmullem3  46798  modlt0b  47368  itsclc0yqsol  48757