Theorem abscld 15457

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  ℂcc 11065  ℝcr 11066  abscabs 15252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15486  lo1bddrp  15543  elo1mpt  15552  elo1mpt2  15553  elo1d  15554  o1bdd2  15559  o1bddrp  15560  rlimuni  15568  climuni  15570  o1eq  15588  rlimcld2  15596  rlimrege0  15597  climabs0  15603  mulcn2  15614  reccn2  15615  cn1lem  15616  cjcn2  15618  o1add  15632  o1mul  15633  o1sub  15634  rlimo1  15635  o1rlimmul  15637  climsqz  15659  climsqz2  15660  rlimsqzlem  15667  o1le  15671  climbdd  15690  caucvgrlem  15691  caucvgrlem2  15693  iseraltlem3  15702  iseralt  15703  fsumabs  15820  o1fsum  15832  iserabs  15834  cvgcmpce  15837  abscvgcvg  15838  divrcnv  15873  explecnv  15886  geomulcvg  15897  cvgrat  15904  mertenslem1  15905  mertenslem2  15906  fprodabs  15995  efcllem  16098  efaddlem  16114  eftlub  16132  ef01bndlem  16207  sin01bnd  16208  cos01bnd  16209  absef  16220  dvdsabseq  16338  alzdvds  16345  sqnprm  16728  pclem  16865  mul4sqlem  16980  xrsdsreclb  21454  gzrngunitlem  21472  gzrngunit  21473  prmirredlem  21512  nm2dif  24673  blcvx  24846  recld2  24863  addcnlem  24913  cnheiborlem  25004  cnheibor  25005  cnllycmp  25006  cphsqrtcl2  25236  ipcau2  25284  tcphcphlem1  25285  ipcnlem2  25294  cncmet  25372  trirn  25450  rrxdstprj1  25459  pjthlem1  25487  volsup2  25655  mbfi1fseqlem6  25770  iblabslem  25878  iblabs  25879  iblabsr  25880  iblmulc2  25881  itgabs  25885  bddmulibl  25889  bddiblnc  25892  itgcn  25895  dveflem  26029  dvlip  26043  dvlipcn  26044  c1liplem1  26046  dveq0  26050  dv11cn  26051  lhop1lem  26063  dvfsumabs  26073  dvfsumrlim  26081  dvfsumrlim2  26082  ftc1a  26087  ftc1lem4  26089  plyeq0lem  26258  aalioulem2  26385  aalioulem3  26386  aalioulem4  26387  aalioulem5  26388  aalioulem6  26389  aaliou  26390  geolim3  26391  aaliou2b  26393  aaliou3lem9  26402  ulmbdd  26449  ulmcn  26450  ulmdvlem1  26451  mtest  26455  mtestbdd  26456  iblulm  26458  itgulm  26459  radcnvlem1  26464  radcnvlem2  26465  radcnvlt1  26469  radcnvle  26471  dvradcnv  26472  pserulm  26473  psercnlem2  26475  psercnlem1  26476  psercn  26477  pserdvlem1  26478  pserdvlem2  26479  pserdv  26480  abelthlem2  26483  abelthlem3  26484  abelthlem5  26486  abelthlem7  26489  abelthlem8  26490  tanregt0  26592  efif1olem3  26597  efif1olem4  26598  eff1olem  26601  cosargd  26661  cosarg0d  26662  argregt0  26663  argrege0  26664  abslogle  26671  logcnlem3  26697  logcnlem4  26698  efopnlem1  26709  logtayl  26713  abscxp2  26746  cxpcn3lem  26800  abscxpbnd  26806  cosangneg2d  26860  lawcoslem1  26868  lawcos  26869  pythag  26870  isosctrlem3  26873  ssscongptld  26875  chordthmlem3  26887  chordthmlem4  26888  chordthmlem5  26889  heron  26891  bndatandm  26982  efrlim  27022  rlimcxp  27026  o1cxp  27027  cxploglim2  27031  divsqrtsumo1  27036  fsumharmonic  27064  lgamgulmlem2  27082  lgamgulmlem3  27083  lgamgulmlem5  27085  lgambdd  27089  lgamucov  27090  lgamcvg2  27107  ftalem1  27125  ftalem2  27126  ftalem3  27127  ftalem4  27128  ftalem5  27129  ftalem7  27131  logfacbnd3  27275  logfacrlim  27276  logexprlim  27277  dchrabs  27312  lgsdirprm  27383  lgsdilem2  27385  lgsne0  27387  lgsabs1  27388  mul2sq  27471  2sqlem3  27472  2sqblem  27483  vmadivsumb  27535  rplogsumlem2  27537  dchrisumlem2  27542  dchrisumlem3  27543  dchrisum  27544  dchrmusum2  27546  dchrvmasumlem2  27550  dchrvmasumlem3  27551  dchrvmasumiflem1  27553  dchrvmasumiflem2  27554  dchrisum0flblem1  27560  dchrisum0fno1  27563  dchrisum0lem1b  27567  dchrisum0lem1  27568  dchrisum0lem2a  27569  dchrisum0lem2  27570  dchrisum0lem3  27571  mudivsum  27582  mulogsumlem  27583  mulog2sumlem1  27586  mulog2sumlem2  27587  2vmadivsumlem  27592  log2sumbnd  27596  selberglem2  27598  selbergb  27601  selberg2b  27604  chpdifbndlem1  27605  selberg3lem1  27609  selberg3lem2  27610  selberg4lem1  27612  pntrsumo1  27617  pntrsumbnd  27618  pntrsumbnd2  27619  pntrlog2bndlem1  27629  pntrlog2bndlem2  27630  pntrlog2bndlem3  27631  pntrlog2bndlem4  27632  pntrlog2bndlem5  27633  pntrlog2bndlem6  27635  pntrlog2bnd  27636  pntpbnd1a  27637  pntpbnd2  27639  pntibndlem2  27643  pntlemn  27652  pntlemj  27655  pntlemf  27657  pntlemo  27659  pntlem3  27661  pntleml  27663  smcnlem  30857  nmoub3i  30933  isblo3i  30961  htthlem  31077  bcs2  31342  pjhthlem1  31551  nmfnsetre  32037  nmfnleub2  32086  nmfnge0  32087  nmbdfnlbi  32209  nmcfnexi  32211  nmcfnlbi  32212  lnfnconi  32215  cnlnadjlem2  32228  cnlnadjlem7  32233  nmopcoadji  32261  leopnmid  32298  constrdircl  34023  iconstr  34024  constrremulcl  34025  constrimcl  34028  constrmulcl  34029  constrinvcl  34031  constrabscl  34036  constrsqrtcl  34037  sqsscirc2  34167  subfaclim  35499  subfacval3  35500  sinccvglem  35983  dnicld1  36871  dnibndlem2  36878  dnibndlem6  36882  dnibndlem9  36885  dnibndlem12  36888  dnicn  36891  knoppcnlem4  36895  knoppcnlem6  36897  unblimceq0lem  36905  unblimceq0  36906  unbdqndv2lem1  36908  unbdqndv2lem2  36909  knoppndvlem11  36921  knoppndvlem12  36922  knoppndvlem14  36924  knoppndvlem15  36925  knoppndvlem17  36927  knoppndvlem18  36928  knoppndvlem20  36930  knoppndvlem21  36931  poimirlem29  38109  poimir  38113  iblabsnclem  38143  iblabsnc  38144  iblmulc2nc  38145  itgabsnc  38149  ftc1cnnclem  38151  ftc1anclem1  38153  ftc1anclem2  38154  ftc1anclem4  38156  ftc1anclem5  38157  ftc1anclem6  38158  ftc1anclem7  38159  ftc1anclem8  38160  ftc1anc  38161  ftc2nc  38162  dvasin  38164  areacirclem1  38168  areacirclem2  38169  areacirclem4  38171  areacirclem5  38172  areacirc  38173  geomcau  38219  cntotbnd  38256  rrndstprj1  38290  rrndstprj2  38291  ismrer1  38298  readvrec  42932  readvcot  42934  dffltz  43177  rencldnfilem  43358  irrapxlem2  43361  irrapxlem4  43363  irrapxlem5  43364  pellexlem2  43368  pellexlem6  43372  pell14qrgt0  43397  congabseq  43512  acongeq  43521  modabsdifz  43524  jm2.26lem3  43539  sqrtcvallem4  44176  extoimad  44701  imo72b2lem0  44702  imo72b2  44709  dvgrat  44849  cvgdvgrat  44850  radcnvrat  44851  dvconstbi  44871  binomcxplemnotnn0  44893  dstregt0  45822  absnpncan2d  45842  absnpncan3d  45847  abslt2sqd  45897  rexabslelem  45953  cvgcaule  46026  fprodabs2  46132  mullimc  46153  mullimcf  46160  limcrecl  46166  lptre2pt  46175  limcleqr  46179  addlimc  46183  0ellimcdiv  46184  limclner  46186  climleltrp  46211  climisp  46281  climxrrelem  46284  cnrefiisplem  46364  climxlim2lem  46380  cncficcgt0  46423  dvdivbd  46458  dvbdfbdioolem1  46463  dvbdfbdioolem2  46464  dvbdfbdioo  46465  ioodvbdlimc1lem1  46466  ioodvbdlimc1lem2  46467  ioodvbdlimc2lem  46469  stoweid  46598  fourierdlem30  46672  fourierdlem39  46681  fourierdlem42  46684  fourierdlem47  46688  fourierdlem68  46709  fourierdlem70  46711  fourierdlem71  46712  fourierdlem73  46714  fourierdlem77  46718  fourierdlem80  46721  fourierdlem83  46724  fourierdlem87  46728  fourierdlem103  46744  fourierdlem104  46745  etransclem23  46792  etransclem48  46817  rrndistlt  46825  ioorrnopnlem  46839  sge0isum  46962  hoicvr  47083  smflimlem4  47309  smfmullem1  47326  smfmullem2  47327  smfmullem3  47328  modlt0b  47924  itsclc0yqsol  49347