Theorem abscld 15362

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℂcc 11024  ℝcr 11025  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15391  lo1bddrp  15448  elo1mpt  15457  elo1mpt2  15458  elo1d  15459  o1bdd2  15464  o1bddrp  15465  rlimuni  15473  climuni  15475  o1eq  15493  rlimcld2  15501  rlimrege0  15502  climabs0  15508  mulcn2  15519  reccn2  15520  cn1lem  15521  cjcn2  15523  o1add  15537  o1mul  15538  o1sub  15539  rlimo1  15540  o1rlimmul  15542  climsqz  15564  climsqz2  15565  rlimsqzlem  15572  o1le  15576  climbdd  15595  caucvgrlem  15596  caucvgrlem2  15598  iseraltlem3  15607  iseralt  15608  fsumabs  15724  o1fsum  15736  iserabs  15738  cvgcmpce  15741  abscvgcvg  15742  divrcnv  15775  explecnv  15788  geomulcvg  15799  cvgrat  15806  mertenslem1  15807  mertenslem2  15808  fprodabs  15897  efcllem  16000  efaddlem  16016  eftlub  16034  ef01bndlem  16109  sin01bnd  16110  cos01bnd  16111  absef  16122  dvdsabseq  16240  alzdvds  16247  sqnprm  16629  pclem  16766  mul4sqlem  16881  xrsdsreclb  21368  gzrngunitlem  21387  gzrngunit  21388  prmirredlem  21427  nm2dif  24569  blcvx  24742  recld2  24759  addcnlem  24809  cnheiborlem  24909  cnheibor  24910  cnllycmp  24911  cphsqrtcl2  25142  ipcau2  25190  tcphcphlem1  25191  ipcnlem2  25200  cncmet  25278  trirn  25356  rrxdstprj1  25365  pjthlem1  25393  volsup2  25562  mbfi1fseqlem6  25677  iblabslem  25785  iblabs  25786  iblabsr  25787  iblmulc2  25788  itgabs  25792  bddmulibl  25796  bddiblnc  25799  itgcn  25802  dveflem  25939  dvlip  25954  dvlipcn  25955  c1liplem1  25957  dveq0  25961  dv11cn  25962  lhop1lem  25974  dvfsumabs  25985  dvfsumrlim  25994  dvfsumrlim2  25995  ftc1a  26000  ftc1lem4  26002  plyeq0lem  26171  aalioulem2  26297  aalioulem3  26298  aalioulem4  26299  aalioulem5  26300  aalioulem6  26301  aaliou  26302  geolim3  26303  aaliou2b  26305  aaliou3lem9  26314  ulmbdd  26363  ulmcn  26364  ulmdvlem1  26365  mtest  26369  mtestbdd  26370  iblulm  26372  itgulm  26373  radcnvlem1  26378  radcnvlem2  26379  radcnvlt1  26383  radcnvle  26385  dvradcnv  26386  pserulm  26387  psercnlem2  26390  psercnlem1  26391  psercn  26392  pserdvlem1  26393  pserdvlem2  26394  pserdv  26395  abelthlem2  26398  abelthlem3  26399  abelthlem5  26401  abelthlem7  26404  abelthlem8  26405  tanregt0  26504  efif1olem3  26509  efif1olem4  26510  eff1olem  26513  cosargd  26573  cosarg0d  26574  argregt0  26575  argrege0  26576  abslogle  26583  logcnlem3  26609  logcnlem4  26610  efopnlem1  26621  logtayl  26625  abscxp2  26658  cxpcn3lem  26713  abscxpbnd  26719  cosangneg2d  26773  lawcoslem1  26781  lawcos  26782  pythag  26783  isosctrlem3  26786  ssscongptld  26788  chordthmlem3  26800  chordthmlem4  26801  chordthmlem5  26802  heron  26804  bndatandm  26895  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  rlimcxp  26940  o1cxp  26941  cxploglim2  26945  divsqrtsumo1  26950  fsumharmonic  26978  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem5  26999  lgambdd  27003  lgamucov  27004  lgamcvg2  27021  ftalem1  27039  ftalem2  27040  ftalem3  27041  ftalem4  27042  ftalem5  27043  ftalem7  27045  logfacbnd3  27190  logfacrlim  27191  logexprlim  27192  dchrabs  27227  lgsdirprm  27298  lgsdilem2  27300  lgsne0  27302  lgsabs1  27303  mul2sq  27386  2sqlem3  27387  2sqblem  27398  vmadivsumb  27450  rplogsumlem2  27452  dchrisumlem2  27457  dchrisumlem3  27458  dchrisum  27459  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem2  27465  dchrvmasumlem3  27466  dchrvmasumiflem1  27468  dchrvmasumiflem2  27469  dchrisum0flblem1  27475  dchrisum0fno1  27478  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  2vmadivsumlem  27507  log2sumbnd  27511  selberglem2  27513  selbergb  27516  selberg2b  27519  chpdifbndlem1  27520  selberg3lem1  27524  selberg3lem2  27525  selberg4lem1  27527  pntrsumo1  27532  pntrsumbnd  27533  pntrsumbnd2  27534  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntlemn  27567  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemo  27574  pntlem3  27576  pntleml  27578  smcnlem  30772  nmoub3i  30848  isblo3i  30876  htthlem  30992  bcs2  31257  pjhthlem1  31466  nmfnsetre  31952  nmfnleub2  32001  nmfnge0  32002  nmbdfnlbi  32124  nmcfnexi  32126  nmcfnlbi  32127  lnfnconi  32130  cnlnadjlem2  32143  cnlnadjlem7  32148  nmopcoadji  32176  leopnmid  32213  constrdircl  33922  iconstr  33923  constrremulcl  33924  constrimcl  33927  constrmulcl  33928  constrinvcl  33930  constrabscl  33935  constrsqrtcl  33936  sqsscirc2  34066  subfaclim  35382  subfacval3  35383  sinccvglem  35866  dnicld1  36672  dnibndlem2  36679  dnibndlem6  36683  dnibndlem9  36686  dnibndlem12  36689  dnicn  36692  knoppcnlem4  36696  knoppcnlem6  36698  unblimceq0lem  36706  unblimceq0  36707  unbdqndv2lem1  36709  unbdqndv2lem2  36710  knoppndvlem11  36722  knoppndvlem12  36723  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem15  36726  knoppndvlem17  36728  knoppndvlem18  36729  knoppndvlem20  36731  knoppndvlem21  36732  poimirlem29  37850  poimir  37854  iblabsnclem  37884  iblabsnc  37885  iblmulc2nc  37886  itgabsnc  37890  ftc1cnnclem  37892  ftc1anclem1  37894  ftc1anclem2  37895  ftc1anclem4  37897  ftc1anclem5  37898  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem7  37900  ftc1anclem8  37901  ftc1anc  37902  ftc2nc  37903  dvasin  37905  areacirclem1  37909  areacirclem2  37910  areacirclem4  37912  areacirclem5  37913  areacirc  37914  geomcau  37960  cntotbnd  37997  rrndstprj1  38031  rrndstprj2  38032  ismrer1  38039  readvrec  42617  readvcot  42619  dffltz  42877  rencldnfilem  43062  irrapxlem2  43065  irrapxlem4  43067  irrapxlem5  43068  pellexlem2  43072  pellexlem6  43076  pell14qrgt0  43101  congabseq  43216  acongeq  43225  modabsdifz  43228  jm2.26lem3  43243  sqrtcvallem4  43880  extoimad  44405  imo72b2lem0  44406  imo72b2  44413  dvgrat  44553  cvgdvgrat  44554  radcnvrat  44555  dvconstbi  44575  binomcxplemnotnn0  44597  dstregt0  45530  absnpncan2d  45550  absnpncan3d  45555  abslt2sqd  45605  rexabslelem  45662  cvgcaule  45735  fprodabs2  45841  mullimc  45862  mullimcf  45869  limcrecl  45875  lptre2pt  45884  limcleqr  45888  addlimc  45892  0ellimcdiv  45893  limclner  45895  climleltrp  45920  climisp  45990  climxrrelem  45993  cnrefiisplem  46073  climxlim2lem  46089  cncficcgt0  46132  dvdivbd  46167  dvbdfbdioolem1  46172  dvbdfbdioolem2  46173  dvbdfbdioo  46174  ioodvbdlimc1lem1  46175  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  stoweid  46307  fourierdlem30  46381  fourierdlem39  46390  fourierdlem42  46393  fourierdlem47  46397  fourierdlem68  46418  fourierdlem70  46420  fourierdlem71  46421  fourierdlem73  46423  fourierdlem77  46427  fourierdlem80  46430  fourierdlem83  46433  fourierdlem87  46437  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  etransclem23  46501  etransclem48  46526  rrndistlt  46534  ioorrnopnlem  46548  sge0isum  46671  hoicvr  46792  smflimlem4  47018  smfmullem1  47035  smfmullem2  47036  smfmullem3  47037  modlt0b  47609  itsclc0yqsol  49010