Theorem abscld 15387

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  ℂcc 11110  ℝcr 11111  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15416  lo1bddrp  15473  elo1mpt  15482  elo1mpt2  15483  elo1d  15484  o1bdd2  15489  o1bddrp  15490  rlimuni  15498  climuni  15500  o1eq  15518  rlimcld2  15526  rlimrege0  15527  climabs0  15533  mulcn2  15544  reccn2  15545  cn1lem  15546  cjcn2  15548  o1add  15562  o1mul  15563  o1sub  15564  rlimo1  15565  o1rlimmul  15567  climsqz  15589  climsqz2  15590  rlimsqzlem  15599  o1le  15603  climbdd  15622  caucvgrlem  15623  caucvgrlem2  15625  iseraltlem3  15634  iseralt  15635  fsumabs  15751  o1fsum  15763  iserabs  15765  cvgcmpce  15768  abscvgcvg  15769  divrcnv  15802  explecnv  15815  geomulcvg  15826  cvgrat  15833  mertenslem1  15834  mertenslem2  15835  fprodabs  15922  efcllem  16025  efaddlem  16040  eftlub  16056  ef01bndlem  16131  sin01bnd  16132  cos01bnd  16133  absef  16144  dvdsabseq  16260  alzdvds  16267  sqnprm  16643  pclem  16775  mul4sqlem  16890  xrsdsreclb  21192  gzrngunitlem  21210  gzrngunit  21211  prmirredlem  21243  nm2dif  24354  blcvx  24534  recld2  24550  addcnlem  24600  cnheiborlem  24700  cnheibor  24701  cnllycmp  24702  cphsqrtcl2  24934  ipcau2  24982  tcphcphlem1  24983  ipcnlem2  24992  cncmet  25070  trirn  25148  rrxdstprj1  25157  pjthlem1  25185  volsup2  25354  mbfi1fseqlem6  25470  iblabslem  25577  iblabs  25578  iblabsr  25579  iblmulc2  25580  itgabs  25584  bddmulibl  25588  bddiblnc  25591  itgcn  25594  dveflem  25731  dvlip  25745  dvlipcn  25746  c1liplem1  25748  dveq0  25752  dv11cn  25753  lhop1lem  25765  dvfsumabs  25775  dvfsumrlim  25783  dvfsumrlim2  25784  ftc1a  25789  ftc1lem4  25791  plyeq0lem  25959  aalioulem2  26082  aalioulem3  26083  aalioulem4  26084  aalioulem5  26085  aalioulem6  26086  aaliou  26087  geolim3  26088  aaliou2b  26090  aaliou3lem9  26099  ulmbdd  26146  ulmcn  26147  ulmdvlem1  26148  mtest  26152  mtestbdd  26153  iblulm  26155  itgulm  26156  radcnvlem1  26161  radcnvlem2  26162  radcnvlt1  26166  radcnvle  26168  dvradcnv  26169  pserulm  26170  psercnlem2  26172  psercnlem1  26173  psercn  26174  pserdvlem1  26175  pserdvlem2  26176  pserdv  26177  abelthlem2  26180  abelthlem3  26181  abelthlem5  26183  abelthlem7  26186  abelthlem8  26187  tanregt0  26284  efif1olem3  26289  efif1olem4  26290  eff1olem  26293  cosargd  26352  cosarg0d  26353  argregt0  26354  argrege0  26355  abslogle  26362  logcnlem3  26388  logcnlem4  26389  efopnlem1  26400  logtayl  26404  abscxp2  26437  cxpcn3lem  26491  abscxpbnd  26497  cosangneg2d  26548  lawcoslem1  26556  lawcos  26557  pythag  26558  isosctrlem3  26561  ssscongptld  26563  chordthmlem3  26575  chordthmlem4  26576  chordthmlem5  26577  heron  26579  bndatandm  26670  efrlim  26710  rlimcxp  26714  o1cxp  26715  cxploglim2  26719  divsqrtsumo1  26724  fsumharmonic  26752  lgamgulmlem2  26770  lgamgulmlem3  26771  lgamgulmlem5  26773  lgambdd  26777  lgamucov  26778  lgamcvg2  26795  ftalem1  26813  ftalem2  26814  ftalem3  26815  ftalem4  26816  ftalem5  26817  ftalem7  26819  logfacbnd3  26962  logfacrlim  26963  logexprlim  26964  dchrabs  26999  lgsdirprm  27070  lgsdilem2  27072  lgsne0  27074  lgsabs1  27075  mul2sq  27158  2sqlem3  27159  2sqblem  27170  vmadivsumb  27222  rplogsumlem2  27224  dchrisumlem2  27229  dchrisumlem3  27230  dchrisum  27231  dchrmusum2  27233  dchrvmasumlem2  27237  dchrvmasumlem3  27238  dchrvmasumiflem1  27240  dchrvmasumiflem2  27241  dchrisum0flblem1  27247  dchrisum0fno1  27250  dchrisum0lem1b  27254  dchrisum0lem1  27255  dchrisum0lem2a  27256  dchrisum0lem2  27257  dchrisum0lem3  27258  mudivsum  27269  mulogsumlem  27270  mulog2sumlem1  27273  mulog2sumlem2  27274  2vmadivsumlem  27279  log2sumbnd  27283  selberglem2  27285  selbergb  27288  selberg2b  27291  chpdifbndlem1  27292  selberg3lem1  27296  selberg3lem2  27297  selberg4lem1  27299  pntrsumo1  27304  pntrsumbnd  27305  pntrsumbnd2  27306  pntrlog2bndlem1  27316  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem3  27318  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6  27322  pntrlog2bnd  27323  pntpbnd1a  27324  pntpbnd2  27326  pntibndlem2  27330  pntlemn  27339  pntlemj  27342  pntlemf  27344  pntlemo  27346  pntlem3  27348  pntleml  27350  smcnlem  30217  nmoub3i  30293  isblo3i  30321  htthlem  30437  bcs2  30702  pjhthlem1  30911  nmfnsetre  31397  nmfnleub2  31446  nmfnge0  31447  nmbdfnlbi  31569  nmcfnexi  31571  nmcfnlbi  31572  lnfnconi  31575  cnlnadjlem2  31588  cnlnadjlem7  31593  nmopcoadji  31621  leopnmid  31658  sqsscirc2  33187  subfaclim  34477  subfacval3  34478  sinccvglem  34955  dnicld1  35651  dnibndlem2  35658  dnibndlem6  35662  dnibndlem9  35665  dnibndlem12  35668  dnicn  35671  knoppcnlem4  35675  knoppcnlem6  35677  unblimceq0lem  35685  unblimceq0  35686  unbdqndv2lem1  35688  unbdqndv2lem2  35689  knoppndvlem11  35701  knoppndvlem12  35702  knoppndvlem14  35704  knoppndvlem15  35705  knoppndvlem17  35707  knoppndvlem18  35708  knoppndvlem20  35710  knoppndvlem21  35711  poimirlem29  36820  poimir  36824  iblabsnclem  36854  iblabsnc  36855  iblmulc2nc  36856  itgabsnc  36860  ftc1cnnclem  36862  ftc1anclem1  36864  ftc1anclem2  36865  ftc1anclem4  36867  ftc1anclem5  36868  ftc1anclem6  36869  ftc1anclem7  36870  ftc1anclem8  36871  ftc1anc  36872  ftc2nc  36873  dvasin  36875  areacirclem1  36879  areacirclem2  36880  areacirclem4  36882  areacirclem5  36883  areacirc  36884  geomcau  36930  cntotbnd  36967  rrndstprj1  37001  rrndstprj2  37002  ismrer1  37009  dffltz  41678  rencldnfilem  41860  irrapxlem2  41863  irrapxlem4  41865  irrapxlem5  41866  pellexlem2  41870  pellexlem6  41874  pell14qrgt0  41899  congabseq  42015  acongeq  42024  modabsdifz  42027  jm2.26lem3  42042  sqrtcvallem4  42692  extoimad  43218  imo72b2lem0  43219  imo72b2  43226  dvgrat  43373  cvgdvgrat  43374  radcnvrat  43375  dvconstbi  43395  binomcxplemnotnn0  43417  dstregt0  44289  absnpncan2d  44310  absnpncan3d  44315  abslt2sqd  44368  rexabslelem  44426  cvgcaule  44500  fprodabs2  44609  mullimc  44630  mullimcf  44637  limcrecl  44643  lptre2pt  44654  limcleqr  44658  addlimc  44662  0ellimcdiv  44663  limclner  44665  climleltrp  44690  climisp  44760  climxrrelem  44763  cnrefiisplem  44843  climxlim2lem  44859  cncficcgt0  44902  dvdivbd  44937  dvbdfbdioolem1  44942  dvbdfbdioolem2  44943  dvbdfbdioo  44944  ioodvbdlimc1lem1  44945  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  stoweid  45077  fourierdlem30  45151  fourierdlem39  45160  fourierdlem42  45163  fourierdlem47  45167  fourierdlem68  45188  fourierdlem70  45190  fourierdlem71  45191  fourierdlem73  45193  fourierdlem77  45197  fourierdlem80  45200  fourierdlem83  45203  fourierdlem87  45207  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224  etransclem23  45271  etransclem48  45296  rrndistlt  45304  ioorrnopnlem  45318  sge0isum  45441  hoicvr  45562  smflimlem4  45788  smfmullem1  45805  smfmullem2  45806  smfmullem3  45807  itsclc0yqsol  47537