Theorem abscld 15485

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℝcr 11183  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15514  lo1bddrp  15571  elo1mpt  15580  elo1mpt2  15581  elo1d  15582  o1bdd2  15587  o1bddrp  15588  rlimuni  15596  climuni  15598  o1eq  15616  rlimcld2  15624  rlimrege0  15625  climabs0  15631  mulcn2  15642  reccn2  15643  cn1lem  15644  cjcn2  15646  o1add  15660  o1mul  15661  o1sub  15662  rlimo1  15663  o1rlimmul  15665  climsqz  15687  climsqz2  15688  rlimsqzlem  15697  o1le  15701  climbdd  15720  caucvgrlem  15721  caucvgrlem2  15723  iseraltlem3  15732  iseralt  15733  fsumabs  15849  o1fsum  15861  iserabs  15863  cvgcmpce  15866  abscvgcvg  15867  divrcnv  15900  explecnv  15913  geomulcvg  15924  cvgrat  15931  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  fprodabs  16022  efcllem  16125  efaddlem  16141  eftlub  16157  ef01bndlem  16232  sin01bnd  16233  cos01bnd  16234  absef  16245  dvdsabseq  16361  alzdvds  16368  sqnprm  16749  pclem  16885  mul4sqlem  17000  xrsdsreclb  21454  gzrngunitlem  21473  gzrngunit  21474  prmirredlem  21506  nm2dif  24659  blcvx  24839  recld2  24855  addcnlem  24905  cnheiborlem  25005  cnheibor  25006  cnllycmp  25007  cphsqrtcl2  25239  ipcau2  25287  tcphcphlem1  25288  ipcnlem2  25297  cncmet  25375  trirn  25453  rrxdstprj1  25462  pjthlem1  25490  volsup2  25659  mbfi1fseqlem6  25775  iblabslem  25883  iblabs  25884  iblabsr  25885  iblmulc2  25886  itgabs  25890  bddmulibl  25894  bddiblnc  25897  itgcn  25900  dveflem  26037  dvlip  26052  dvlipcn  26053  c1liplem1  26055  dveq0  26059  dv11cn  26060  lhop1lem  26072  dvfsumabs  26083  dvfsumrlim  26092  dvfsumrlim2  26093  ftc1a  26098  ftc1lem4  26100  plyeq0lem  26269  aalioulem2  26393  aalioulem3  26394  aalioulem4  26395  aalioulem5  26396  aalioulem6  26397  aaliou  26398  geolim3  26399  aaliou2b  26401  aaliou3lem9  26410  ulmbdd  26459  ulmcn  26460  ulmdvlem1  26461  mtest  26465  mtestbdd  26466  iblulm  26468  itgulm  26469  radcnvlem1  26474  radcnvlem2  26475  radcnvlt1  26479  radcnvle  26481  dvradcnv  26482  pserulm  26483  psercnlem2  26486  psercnlem1  26487  psercn  26488  pserdvlem1  26489  pserdvlem2  26490  pserdv  26491  abelthlem2  26494  abelthlem3  26495  abelthlem5  26497  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  tanregt0  26599  efif1olem3  26604  efif1olem4  26605  eff1olem  26608  cosargd  26668  cosarg0d  26669  argregt0  26670  argrege0  26671  abslogle  26678  logcnlem3  26704  logcnlem4  26705  efopnlem1  26716  logtayl  26720  abscxp2  26753  cxpcn3lem  26808  abscxpbnd  26814  cosangneg2d  26868  lawcoslem1  26876  lawcos  26877  pythag  26878  isosctrlem3  26881  ssscongptld  26883  chordthmlem3  26895  chordthmlem4  26896  chordthmlem5  26897  heron  26899  bndatandm  26990  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  rlimcxp  27035  o1cxp  27036  cxploglim2  27040  divsqrtsumo1  27045  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  lgambdd  27098  lgamucov  27099  lgamcvg2  27116  ftalem1  27134  ftalem2  27135  ftalem3  27136  ftalem4  27137  ftalem5  27138  ftalem7  27140  logfacbnd3  27285  logfacrlim  27286  logexprlim  27287  dchrabs  27322  lgsdirprm  27393  lgsdilem2  27395  lgsne0  27397  lgsabs1  27398  mul2sq  27481  2sqlem3  27482  2sqblem  27493  vmadivsumb  27545  rplogsumlem2  27547  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  dchrisum  27554  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  2vmadivsumlem  27602  log2sumbnd  27606  selberglem2  27608  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg4lem1  27622  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  pntrsumbnd2  27629  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemn  27662  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemo  27669  pntlem3  27671  pntleml  27673  smcnlem  30729  nmoub3i  30805  isblo3i  30833  htthlem  30949  bcs2  31214  pjhthlem1  31423  nmfnsetre  31909  nmfnleub2  31958  nmfnge0  31959  nmbdfnlbi  32081  nmcfnexi  32083  nmcfnlbi  32084  lnfnconi  32087  cnlnadjlem2  32100  cnlnadjlem7  32105  nmopcoadji  32133  leopnmid  32170  sqsscirc2  33855  subfaclim  35156  subfacval3  35157  sinccvglem  35640  dnicld1  36438  dnibndlem2  36445  dnibndlem6  36449  dnibndlem9  36452  dnibndlem12  36455  dnicn  36458  knoppcnlem4  36462  knoppcnlem6  36464  unblimceq0lem  36472  unblimceq0  36473  unbdqndv2lem1  36475  unbdqndv2lem2  36476  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem12  36489  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem15  36492  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem20  36497  knoppndvlem21  36498  poimirlem29  37609  poimir  37613  iblabsnclem  37643  iblabsnc  37644  iblmulc2nc  37645  itgabsnc  37649  ftc1cnnclem  37651  ftc1anclem1  37653  ftc1anclem2  37654  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  ftc1anc  37661  ftc2nc  37662  dvasin  37664  areacirclem1  37668  areacirclem2  37669  areacirclem4  37671  areacirclem5  37672  areacirc  37673  geomcau  37719  cntotbnd  37756  rrndstprj1  37790  rrndstprj2  37791  ismrer1  37798  dffltz  42589  rencldnfilem  42776  irrapxlem2  42779  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  pell14qrgt0  42815  congabseq  42931  acongeq  42940  modabsdifz  42943  jm2.26lem3  42958  sqrtcvallem4  43601  extoimad  44126  imo72b2lem0  44127  imo72b2  44134  dvgrat  44281  cvgdvgrat  44282  radcnvrat  44283  dvconstbi  44303  binomcxplemnotnn0  44325  dstregt0  45196  absnpncan2d  45217  absnpncan3d  45222  abslt2sqd  45275  rexabslelem  45333  cvgcaule  45407  fprodabs2  45516  mullimc  45537  mullimcf  45544  limcrecl  45550  lptre2pt  45561  limcleqr  45565  addlimc  45569  0ellimcdiv  45570  limclner  45572  climleltrp  45597  climisp  45667  climxrrelem  45670  cnrefiisplem  45750  climxlim2lem  45766  cncficcgt0  45809  dvdivbd  45844  dvbdfbdioolem1  45849  dvbdfbdioolem2  45850  dvbdfbdioo  45851  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweid  45984  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  fourierdlem42  46070  fourierdlem47  46074  fourierdlem68  46095  fourierdlem70  46097  fourierdlem71  46098  fourierdlem73  46100  fourierdlem77  46104  fourierdlem80  46107  fourierdlem83  46110  fourierdlem87  46114  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  etransclem23  46178  etransclem48  46203  rrndistlt  46211  ioorrnopnlem  46225  sge0isum  46348  hoicvr  46469  smflimlem4  46695  smfmullem1  46712  smfmullem2  46713  smfmullem3  46714  itsclc0yqsol  48498