Theorem abscld 15475

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  ℝcr 11154  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15504  lo1bddrp  15561  elo1mpt  15570  elo1mpt2  15571  elo1d  15572  o1bdd2  15577  o1bddrp  15578  rlimuni  15586  climuni  15588  o1eq  15606  rlimcld2  15614  rlimrege0  15615  climabs0  15621  mulcn2  15632  reccn2  15633  cn1lem  15634  cjcn2  15636  o1add  15650  o1mul  15651  o1sub  15652  rlimo1  15653  o1rlimmul  15655  climsqz  15677  climsqz2  15678  rlimsqzlem  15685  o1le  15689  climbdd  15708  caucvgrlem  15709  caucvgrlem2  15711  iseraltlem3  15720  iseralt  15721  fsumabs  15837  o1fsum  15849  iserabs  15851  cvgcmpce  15854  abscvgcvg  15855  divrcnv  15888  explecnv  15901  geomulcvg  15912  cvgrat  15919  mertenslem1  15920  mertenslem2  15921  fprodabs  16010  efcllem  16113  efaddlem  16129  eftlub  16145  ef01bndlem  16220  sin01bnd  16221  cos01bnd  16222  absef  16233  dvdsabseq  16350  alzdvds  16357  sqnprm  16739  pclem  16876  mul4sqlem  16991  xrsdsreclb  21431  gzrngunitlem  21450  gzrngunit  21451  prmirredlem  21483  nm2dif  24638  blcvx  24819  recld2  24836  addcnlem  24886  cnheiborlem  24986  cnheibor  24987  cnllycmp  24988  cphsqrtcl2  25220  ipcau2  25268  tcphcphlem1  25269  ipcnlem2  25278  cncmet  25356  trirn  25434  rrxdstprj1  25443  pjthlem1  25471  volsup2  25640  mbfi1fseqlem6  25755  iblabslem  25863  iblabs  25864  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  itgabs  25870  bddmulibl  25874  bddiblnc  25877  itgcn  25880  dveflem  26017  dvlip  26032  dvlipcn  26033  c1liplem1  26035  dveq0  26039  dv11cn  26040  lhop1lem  26052  dvfsumabs  26063  dvfsumrlim  26072  dvfsumrlim2  26073  ftc1a  26078  ftc1lem4  26080  plyeq0lem  26249  aalioulem2  26375  aalioulem3  26376  aalioulem4  26377  aalioulem5  26378  aalioulem6  26379  aaliou  26380  geolim3  26381  aaliou2b  26383  aaliou3lem9  26392  ulmbdd  26441  ulmcn  26442  ulmdvlem1  26443  mtest  26447  mtestbdd  26448  iblulm  26450  itgulm  26451  radcnvlem1  26456  radcnvlem2  26457  radcnvlt1  26461  radcnvle  26463  dvradcnv  26464  pserulm  26465  psercnlem2  26468  psercnlem1  26469  psercn  26470  pserdvlem1  26471  pserdvlem2  26472  pserdv  26473  abelthlem2  26476  abelthlem3  26477  abelthlem5  26479  abelthlem7  26482  abelthlem8  26483  tanregt0  26581  efif1olem3  26586  efif1olem4  26587  eff1olem  26590  cosargd  26650  cosarg0d  26651  argregt0  26652  argrege0  26653  abslogle  26660  logcnlem3  26686  logcnlem4  26687  efopnlem1  26698  logtayl  26702  abscxp2  26735  cxpcn3lem  26790  abscxpbnd  26796  cosangneg2d  26850  lawcoslem1  26858  lawcos  26859  pythag  26860  isosctrlem3  26863  ssscongptld  26865  chordthmlem3  26877  chordthmlem4  26878  chordthmlem5  26879  heron  26881  bndatandm  26972  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  rlimcxp  27017  o1cxp  27018  cxploglim2  27022  divsqrtsumo1  27027  fsumharmonic  27055  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem5  27076  lgambdd  27080  lgamucov  27081  lgamcvg2  27098  ftalem1  27116  ftalem2  27117  ftalem3  27118  ftalem4  27119  ftalem5  27120  ftalem7  27122  logfacbnd3  27267  logfacrlim  27268  logexprlim  27269  dchrabs  27304  lgsdirprm  27375  lgsdilem2  27377  lgsne0  27379  lgsabs1  27380  mul2sq  27463  2sqlem3  27464  2sqblem  27475  vmadivsumb  27527  rplogsumlem2  27529  dchrisumlem2  27534  dchrisumlem3  27535  dchrisum  27536  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumlem3  27543  dchrvmasumiflem1  27545  dchrvmasumiflem2  27546  dchrisum0flblem1  27552  dchrisum0fno1  27555  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  dchrisum0lem3  27563  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  2vmadivsumlem  27584  log2sumbnd  27588  selberglem2  27590  selbergb  27593  selberg2b  27596  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem1  27601  selberg3lem2  27602  selberg4lem1  27604  pntrsumo1  27609  pntrsumbnd  27610  pntrsumbnd2  27611  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1a  27629  pntpbnd2  27631  pntibndlem2  27635  pntlemn  27644  pntlemj  27647  pntlemf  27649  pntlemo  27651  pntlem3  27653  pntleml  27655  smcnlem  30716  nmoub3i  30792  isblo3i  30820  htthlem  30936  bcs2  31201  pjhthlem1  31410  nmfnsetre  31896  nmfnleub2  31945  nmfnge0  31946  nmbdfnlbi  32068  nmcfnexi  32070  nmcfnlbi  32071  lnfnconi  32074  cnlnadjlem2  32087  cnlnadjlem7  32092  nmopcoadji  32120  leopnmid  32157  sqsscirc2  33908  subfaclim  35193  subfacval3  35194  sinccvglem  35677  dnicld1  36473  dnibndlem2  36480  dnibndlem6  36484  dnibndlem9  36487  dnibndlem12  36490  dnicn  36493  knoppcnlem4  36497  knoppcnlem6  36499  unblimceq0lem  36507  unblimceq0  36508  unbdqndv2lem1  36510  unbdqndv2lem2  36511  knoppndvlem11  36523  knoppndvlem12  36524  knoppndvlem14  36526  knoppndvlem15  36527  knoppndvlem17  36529  knoppndvlem18  36530  knoppndvlem20  36532  knoppndvlem21  36533  poimirlem29  37656  poimir  37660  iblabsnclem  37690  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692  itgabsnc  37696  ftc1cnnclem  37698  ftc1anclem1  37700  ftc1anclem2  37701  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anclem8  37707  ftc1anc  37708  ftc2nc  37709  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirclem2  37716  areacirclem4  37718  areacirclem5  37719  areacirc  37720  geomcau  37766  cntotbnd  37803  rrndstprj1  37837  rrndstprj2  37838  ismrer1  37845  readvrec  42392  readvcot  42394  dffltz  42644  rencldnfilem  42831  irrapxlem2  42834  irrapxlem4  42836  irrapxlem5  42837  pellexlem2  42841  pellexlem6  42845  pell14qrgt0  42870  congabseq  42986  acongeq  42995  modabsdifz  42998  jm2.26lem3  43013  sqrtcvallem4  43652  extoimad  44177  imo72b2lem0  44178  imo72b2  44185  dvgrat  44331  cvgdvgrat  44332  radcnvrat  44333  dvconstbi  44353  binomcxplemnotnn0  44375  dstregt0  45293  absnpncan2d  45314  absnpncan3d  45319  abslt2sqd  45371  rexabslelem  45429  cvgcaule  45502  fprodabs2  45610  mullimc  45631  mullimcf  45638  limcrecl  45644  lptre2pt  45655  limcleqr  45659  addlimc  45663  0ellimcdiv  45664  limclner  45666  climleltrp  45691  climisp  45761  climxrrelem  45764  cnrefiisplem  45844  climxlim2lem  45860  cncficcgt0  45903  dvdivbd  45938  dvbdfbdioolem1  45943  dvbdfbdioolem2  45944  dvbdfbdioo  45945  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweid  46078  fourierdlem30  46152  fourierdlem39  46161  fourierdlem42  46164  fourierdlem47  46168  fourierdlem68  46189  fourierdlem70  46191  fourierdlem71  46192  fourierdlem73  46194  fourierdlem77  46198  fourierdlem80  46201  fourierdlem83  46204  fourierdlem87  46208  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  etransclem23  46272  etransclem48  46297  rrndistlt  46305  ioorrnopnlem  46319  sge0isum  46442  hoicvr  46563  smflimlem4  46789  smfmullem1  46806  smfmullem2  46807  smfmullem3  46808  itsclc0yqsol  48685