Theorem abscld 15392

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  ℂcc 11027  ℝcr 11028  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15421  lo1bddrp  15478  elo1mpt  15487  elo1mpt2  15488  elo1d  15489  o1bdd2  15494  o1bddrp  15495  rlimuni  15503  climuni  15505  o1eq  15523  rlimcld2  15531  rlimrege0  15532  climabs0  15538  mulcn2  15549  reccn2  15550  cn1lem  15551  cjcn2  15553  o1add  15567  o1mul  15568  o1sub  15569  rlimo1  15570  o1rlimmul  15572  climsqz  15594  climsqz2  15595  rlimsqzlem  15602  o1le  15606  climbdd  15625  caucvgrlem  15626  caucvgrlem2  15628  iseraltlem3  15637  iseralt  15638  fsumabs  15755  o1fsum  15767  iserabs  15769  cvgcmpce  15772  abscvgcvg  15773  divrcnv  15808  explecnv  15821  geomulcvg  15832  cvgrat  15839  mertenslem1  15840  mertenslem2  15841  fprodabs  15930  efcllem  16033  efaddlem  16049  eftlub  16067  ef01bndlem  16142  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  absef  16155  dvdsabseq  16273  alzdvds  16280  sqnprm  16663  pclem  16800  mul4sqlem  16915  xrsdsreclb  21389  gzrngunitlem  21407  gzrngunit  21408  prmirredlem  21447  nm2dif  24608  blcvx  24781  recld2  24798  addcnlem  24848  cnheiborlem  24939  cnheibor  24940  cnllycmp  24941  cphsqrtcl2  25171  ipcau2  25219  tcphcphlem1  25220  ipcnlem2  25229  cncmet  25307  trirn  25385  rrxdstprj1  25394  pjthlem1  25422  volsup2  25590  mbfi1fseqlem6  25705  iblabslem  25813  iblabs  25814  iblabsr  25815  iblmulc2  25816  itgabs  25820  bddmulibl  25824  bddiblnc  25827  itgcn  25830  dveflem  25964  dvlip  25978  dvlipcn  25979  c1liplem1  25981  dveq0  25985  dv11cn  25986  lhop1lem  25998  dvfsumabs  26008  dvfsumrlim  26016  dvfsumrlim2  26017  ftc1a  26022  ftc1lem4  26024  plyeq0lem  26193  aalioulem2  26317  aalioulem3  26318  aalioulem4  26319  aalioulem5  26320  aalioulem6  26321  aaliou  26322  geolim3  26323  aaliou2b  26325  aaliou3lem9  26334  ulmbdd  26381  ulmcn  26382  ulmdvlem1  26383  mtest  26387  mtestbdd  26388  iblulm  26390  itgulm  26391  radcnvlem1  26396  radcnvlem2  26397  radcnvlt1  26401  radcnvle  26403  dvradcnv  26404  pserulm  26405  psercnlem2  26407  psercnlem1  26408  psercn  26409  pserdvlem1  26410  pserdvlem2  26411  pserdv  26412  abelthlem2  26415  abelthlem3  26416  abelthlem5  26418  abelthlem7  26421  abelthlem8  26422  tanregt0  26521  efif1olem3  26526  efif1olem4  26527  eff1olem  26530  cosargd  26590  cosarg0d  26591  argregt0  26592  argrege0  26593  abslogle  26600  logcnlem3  26626  logcnlem4  26627  efopnlem1  26638  logtayl  26642  abscxp2  26675  cxpcn3lem  26729  abscxpbnd  26735  cosangneg2d  26789  lawcoslem1  26797  lawcos  26798  pythag  26799  isosctrlem3  26802  ssscongptld  26804  chordthmlem3  26816  chordthmlem4  26817  chordthmlem5  26818  heron  26820  bndatandm  26911  efrlim  26951  rlimcxp  26955  o1cxp  26956  cxploglim2  26960  divsqrtsumo1  26965  fsumharmonic  26993  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  lgamgulmlem5  27014  lgambdd  27018  lgamucov  27019  lgamcvg2  27036  ftalem1  27054  ftalem2  27055  ftalem3  27056  ftalem4  27057  ftalem5  27058  ftalem7  27060  logfacbnd3  27204  logfacrlim  27205  logexprlim  27206  dchrabs  27241  lgsdirprm  27312  lgsdilem2  27314  lgsne0  27316  lgsabs1  27317  mul2sq  27400  2sqlem3  27401  2sqblem  27412  vmadivsumb  27464  rplogsumlem2  27466  dchrisumlem2  27471  dchrisumlem3  27472  dchrisum  27473  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumlem3  27480  dchrvmasumiflem1  27482  dchrvmasumiflem2  27483  dchrisum0flblem1  27489  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0lem2  27499  dchrisum0lem3  27500  mudivsum  27511  mulogsumlem  27512  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  2vmadivsumlem  27521  log2sumbnd  27525  selberglem2  27527  selbergb  27530  selberg2b  27533  chpdifbndlem1  27534  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg4lem1  27541  pntrsumo1  27546  pntrsumbnd  27547  pntrsumbnd2  27548  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntlemn  27581  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemo  27588  pntlem3  27590  pntleml  27592  smcnlem  30786  nmoub3i  30862  isblo3i  30890  htthlem  31006  bcs2  31271  pjhthlem1  31480  nmfnsetre  31966  nmfnleub2  32015  nmfnge0  32016  nmbdfnlbi  32138  nmcfnexi  32140  nmcfnlbi  32141  lnfnconi  32144  cnlnadjlem2  32157  cnlnadjlem7  32162  nmopcoadji  32190  leopnmid  32227  constrdircl  33949  iconstr  33950  constrremulcl  33951  constrimcl  33954  constrmulcl  33955  constrinvcl  33957  constrabscl  33962  constrsqrtcl  33963  sqsscirc2  34093  subfaclim  35416  subfacval3  35417  sinccvglem  35900  dnicld1  36778  dnibndlem2  36785  dnibndlem6  36789  dnibndlem9  36792  dnibndlem12  36795  dnicn  36798  knoppcnlem4  36802  knoppcnlem6  36804  unblimceq0lem  36812  unblimceq0  36813  unbdqndv2lem1  36815  unbdqndv2lem2  36816  knoppndvlem11  36828  knoppndvlem12  36829  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem15  36832  knoppndvlem17  36834  knoppndvlem18  36835  knoppndvlem20  36837  knoppndvlem21  36838  poimirlem29  38016  poimir  38020  iblabsnclem  38050  iblabsnc  38051  iblmulc2nc  38052  itgabsnc  38056  ftc1cnnclem  38058  ftc1anclem1  38060  ftc1anclem2  38061  ftc1anclem4  38063  ftc1anclem5  38064  ftc1anclem6  38065  ftc1anclem7  38066  ftc1anclem8  38067  ftc1anc  38068  ftc2nc  38069  dvasin  38071  areacirclem1  38075  areacirclem2  38076  areacirclem4  38078  areacirclem5  38079  areacirc  38080  geomcau  38126  cntotbnd  38163  rrndstprj1  38197  rrndstprj2  38198  ismrer1  38205  readvrec  42839  readvcot  42841  dffltz  43084  rencldnfilem  43265  irrapxlem2  43268  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  pellexlem2  43275  pellexlem6  43279  pell14qrgt0  43304  congabseq  43419  acongeq  43428  modabsdifz  43431  jm2.26lem3  43446  sqrtcvallem4  44083  extoimad  44608  imo72b2lem0  44609  imo72b2  44616  dvgrat  44756  cvgdvgrat  44757  radcnvrat  44758  dvconstbi  44778  binomcxplemnotnn0  44800  dstregt0  45730  absnpncan2d  45750  absnpncan3d  45755  abslt2sqd  45805  rexabslelem  45861  cvgcaule  45934  fprodabs2  46040  mullimc  46061  mullimcf  46068  limcrecl  46074  lptre2pt  46083  limcleqr  46087  addlimc  46091  0ellimcdiv  46092  limclner  46094  climleltrp  46119  climisp  46189  climxrrelem  46192  cnrefiisplem  46272  climxlim2lem  46288  cncficcgt0  46331  dvdivbd  46366  dvbdfbdioolem1  46371  dvbdfbdioolem2  46372  dvbdfbdioo  46373  ioodvbdlimc1lem1  46374  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  stoweid  46506  fourierdlem30  46580  fourierdlem39  46589  fourierdlem42  46592  fourierdlem47  46596  fourierdlem68  46617  fourierdlem70  46619  fourierdlem71  46620  fourierdlem73  46622  fourierdlem77  46626  fourierdlem80  46629  fourierdlem83  46632  fourierdlem87  46636  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  etransclem23  46700  etransclem48  46725  rrndistlt  46733  ioorrnopnlem  46747  sge0isum  46870  hoicvr  46991  smflimlem4  47217  smfmullem1  47234  smfmullem2  47235  smfmullem3  47236  modlt0b  47832  itsclc0yqsol  49255