Theorem abscld 15076

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 14918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15105  lo1bddrp  15162  elo1mpt  15171  elo1mpt2  15172  elo1d  15173  o1bdd2  15178  o1bddrp  15179  rlimuni  15187  climuni  15189  o1eq  15207  rlimcld2  15215  rlimrege0  15216  climabs0  15222  mulcn2  15233  reccn2  15234  cn1lem  15235  cjcn2  15237  o1add  15251  o1mul  15252  o1sub  15253  rlimo1  15254  o1rlimmul  15256  climsqz  15278  climsqz2  15279  rlimsqzlem  15288  o1le  15292  climbdd  15311  caucvgrlem  15312  caucvgrlem2  15314  iseraltlem3  15323  iseralt  15324  fsumabs  15441  o1fsum  15453  iserabs  15455  cvgcmpce  15458  abscvgcvg  15459  divrcnv  15492  explecnv  15505  geomulcvg  15516  cvgrat  15523  mertenslem1  15524  mertenslem2  15525  fprodabs  15612  efcllem  15715  efaddlem  15730  eftlub  15746  ef01bndlem  15821  sin01bnd  15822  cos01bnd  15823  absef  15834  dvdsabseq  15950  alzdvds  15957  sqnprm  16335  pclem  16467  mul4sqlem  16582  xrsdsreclb  20557  gzrngunitlem  20575  gzrngunit  20576  prmirredlem  20606  nm2dif  23687  blcvx  23867  recld2  23883  addcnlem  23933  cnheiborlem  24023  cnheibor  24024  cnllycmp  24025  cphsqrtcl2  24255  ipcau2  24303  tcphcphlem1  24304  ipcnlem2  24313  cncmet  24391  trirn  24469  rrxdstprj1  24478  pjthlem1  24506  volsup2  24674  mbfi1fseqlem6  24790  iblabslem  24897  iblabs  24898  iblabsr  24899  iblmulc2  24900  itgabs  24904  bddmulibl  24908  bddiblnc  24911  itgcn  24914  dveflem  25048  dvlip  25062  dvlipcn  25063  c1liplem1  25065  dveq0  25069  dv11cn  25070  lhop1lem  25082  dvfsumabs  25092  dvfsumrlim  25100  dvfsumrlim2  25101  ftc1a  25106  ftc1lem4  25108  plyeq0lem  25276  aalioulem2  25398  aalioulem3  25399  aalioulem4  25400  aalioulem5  25401  aalioulem6  25402  aaliou  25403  geolim3  25404  aaliou2b  25406  aaliou3lem9  25415  ulmbdd  25462  ulmcn  25463  ulmdvlem1  25464  mtest  25468  mtestbdd  25469  iblulm  25471  itgulm  25472  radcnvlem1  25477  radcnvlem2  25478  radcnvlt1  25482  radcnvle  25484  dvradcnv  25485  pserulm  25486  psercnlem2  25488  psercnlem1  25489  psercn  25490  pserdvlem1  25491  pserdvlem2  25492  pserdv  25493  abelthlem2  25496  abelthlem3  25497  abelthlem5  25499  abelthlem7  25502  abelthlem8  25503  tanregt0  25600  efif1olem3  25605  efif1olem4  25606  eff1olem  25609  cosargd  25668  cosarg0d  25669  argregt0  25670  argrege0  25671  abslogle  25678  logcnlem3  25704  logcnlem4  25705  efopnlem1  25716  logtayl  25720  abscxp2  25753  cxpcn3lem  25805  abscxpbnd  25811  cosangneg2d  25862  lawcoslem1  25870  lawcos  25871  pythag  25872  isosctrlem3  25875  ssscongptld  25877  chordthmlem3  25889  chordthmlem4  25890  chordthmlem5  25891  heron  25893  bndatandm  25984  efrlim  26024  rlimcxp  26028  o1cxp  26029  cxploglim2  26033  divsqrtsumo1  26038  fsumharmonic  26066  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem5  26087  lgambdd  26091  lgamucov  26092  lgamcvg2  26109  ftalem1  26127  ftalem2  26128  ftalem3  26129  ftalem4  26130  ftalem5  26131  ftalem7  26133  logfacbnd3  26276  logfacrlim  26277  logexprlim  26278  dchrabs  26313  lgsdirprm  26384  lgsdilem2  26386  lgsne0  26388  lgsabs1  26389  mul2sq  26472  2sqlem3  26473  2sqblem  26484  vmadivsumb  26536  rplogsumlem2  26538  dchrisumlem2  26543  dchrisumlem3  26544  dchrisum  26545  dchrmusum2  26547  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumlem3  26552  dchrvmasumiflem1  26554  dchrvmasumiflem2  26555  dchrisum0flblem1  26561  dchrisum0fno1  26564  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem2  26571  dchrisum0lem3  26572  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  2vmadivsumlem  26593  log2sumbnd  26597  selberglem2  26599  selbergb  26602  selberg2b  26605  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem1  26610  selberg3lem2  26611  selberg4lem1  26613  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd  26619  pntrsumbnd2  26620  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1a  26638  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntlemn  26653  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemo  26660  pntlem3  26662  pntleml  26664  smcnlem  28960  nmoub3i  29036  isblo3i  29064  htthlem  29180  bcs2  29445  pjhthlem1  29654  nmfnsetre  30140  nmfnleub2  30189  nmfnge0  30190  nmbdfnlbi  30312  nmcfnexi  30314  nmcfnlbi  30315  lnfnconi  30318  cnlnadjlem2  30331  cnlnadjlem7  30336  nmopcoadji  30364  leopnmid  30401  sqsscirc2  31761  subfaclim  33050  subfacval3  33051  sinccvglem  33530  dnicld1  34579  dnibndlem2  34586  dnibndlem6  34590  dnibndlem9  34593  dnibndlem12  34596  dnicn  34599  knoppcnlem4  34603  knoppcnlem6  34605  unblimceq0lem  34613  unblimceq0  34614  unbdqndv2lem1  34616  unbdqndv2lem2  34617  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem12  34630  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  knoppndvlem17  34635  knoppndvlem18  34636  knoppndvlem20  34638  knoppndvlem21  34639  poimirlem29  35733  poimir  35737  iblabsnclem  35767  iblabsnc  35768  iblmulc2nc  35769  itgabsnc  35773  ftc1cnnclem  35775  ftc1anclem1  35777  ftc1anclem2  35778  ftc1anclem4  35780  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem7  35783  ftc1anclem8  35784  ftc1anc  35785  ftc2nc  35786  dvasin  35788  areacirclem1  35792  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  areacirclem5  35796  areacirc  35797  geomcau  35844  cntotbnd  35881  rrndstprj1  35915  rrndstprj2  35916  ismrer1  35923  dffltz  40387  rencldnfilem  40558  irrapxlem2  40561  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  pell14qrgt0  40597  congabseq  40712  acongeq  40721  modabsdifz  40724  jm2.26lem3  40739  sqrtcvallem4  41136  extoimad  41664  imo72b2lem0  41665  imo72b2  41672  dvgrat  41819  cvgdvgrat  41820  radcnvrat  41821  dvconstbi  41841  binomcxplemnotnn0  41863  dstregt0  42709  absnpncan2d  42731  absnpncan3d  42736  abslt2sqd  42789  rexabslelem  42848  fprodabs2  43026  mullimc  43047  mullimcf  43054  limcrecl  43060  lptre2pt  43071  limcleqr  43075  addlimc  43079  0ellimcdiv  43080  limclner  43082  climleltrp  43107  climisp  43177  climxrrelem  43180  cnrefiisplem  43260  climxlim2lem  43276  cncficcgt0  43319  dvdivbd  43354  dvbdfbdioolem1  43359  dvbdfbdioolem2  43360  dvbdfbdioo  43361  ioodvbdlimc1lem1  43362  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweid  43494  fourierdlem30  43568  fourierdlem39  43577  fourierdlem42  43580  fourierdlem47  43584  fourierdlem68  43605  fourierdlem70  43607  fourierdlem71  43608  fourierdlem73  43610  fourierdlem77  43614  fourierdlem80  43617  fourierdlem83  43620  fourierdlem87  43624  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  etransclem23  43688  etransclem48  43713  rrndistlt  43721  ioorrnopnlem  43735  sge0isum  43855  hoicvr  43976  smflimlem4  44196  smfmullem1  44212  smfmullem2  44213  smfmullem3  44214  itsclc0yqsol  45998