Theorem abscld 15374

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ℝcr 11037  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15403  lo1bddrp  15460  elo1mpt  15469  elo1mpt2  15470  elo1d  15471  o1bdd2  15476  o1bddrp  15477  rlimuni  15485  climuni  15487  o1eq  15505  rlimcld2  15513  rlimrege0  15514  climabs0  15520  mulcn2  15531  reccn2  15532  cn1lem  15533  cjcn2  15535  o1add  15549  o1mul  15550  o1sub  15551  rlimo1  15552  o1rlimmul  15554  climsqz  15576  climsqz2  15577  rlimsqzlem  15584  o1le  15588  climbdd  15607  caucvgrlem  15608  caucvgrlem2  15610  iseraltlem3  15619  iseralt  15620  fsumabs  15736  o1fsum  15748  iserabs  15750  cvgcmpce  15753  abscvgcvg  15754  divrcnv  15787  explecnv  15800  geomulcvg  15811  cvgrat  15818  mertenslem1  15819  mertenslem2  15820  fprodabs  15909  efcllem  16012  efaddlem  16028  eftlub  16046  ef01bndlem  16121  sin01bnd  16122  cos01bnd  16123  absef  16134  dvdsabseq  16252  alzdvds  16259  sqnprm  16641  pclem  16778  mul4sqlem  16893  xrsdsreclb  21380  gzrngunitlem  21399  gzrngunit  21400  prmirredlem  21439  nm2dif  24581  blcvx  24754  recld2  24771  addcnlem  24821  cnheiborlem  24921  cnheibor  24922  cnllycmp  24923  cphsqrtcl2  25154  ipcau2  25202  tcphcphlem1  25203  ipcnlem2  25212  cncmet  25290  trirn  25368  rrxdstprj1  25377  pjthlem1  25405  volsup2  25574  mbfi1fseqlem6  25689  iblabslem  25797  iblabs  25798  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgabs  25804  bddmulibl  25808  bddiblnc  25811  itgcn  25814  dveflem  25951  dvlip  25966  dvlipcn  25967  c1liplem1  25969  dveq0  25973  dv11cn  25974  lhop1lem  25986  dvfsumabs  25997  dvfsumrlim  26006  dvfsumrlim2  26007  ftc1a  26012  ftc1lem4  26014  plyeq0lem  26183  aalioulem2  26309  aalioulem3  26310  aalioulem4  26311  aalioulem5  26312  aalioulem6  26313  aaliou  26314  geolim3  26315  aaliou2b  26317  aaliou3lem9  26326  ulmbdd  26375  ulmcn  26376  ulmdvlem1  26377  mtest  26381  mtestbdd  26382  iblulm  26384  itgulm  26385  radcnvlem1  26390  radcnvlem2  26391  radcnvlt1  26395  radcnvle  26397  dvradcnv  26398  pserulm  26399  psercnlem2  26402  psercnlem1  26403  psercn  26404  pserdvlem1  26405  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  abelthlem2  26410  abelthlem3  26411  abelthlem5  26413  abelthlem7  26416  abelthlem8  26417  tanregt0  26516  efif1olem3  26521  efif1olem4  26522  eff1olem  26525  cosargd  26585  cosarg0d  26586  argregt0  26587  argrege0  26588  abslogle  26595  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  efopnlem1  26633  logtayl  26637  abscxp2  26670  cxpcn3lem  26725  abscxpbnd  26731  cosangneg2d  26785  lawcoslem1  26793  lawcos  26794  pythag  26795  isosctrlem3  26798  ssscongptld  26800  chordthmlem3  26812  chordthmlem4  26813  chordthmlem5  26814  heron  26816  bndatandm  26907  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  rlimcxp  26952  o1cxp  26953  cxploglim2  26957  divsqrtsumo1  26962  fsumharmonic  26990  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  lgamgulmlem5  27011  lgambdd  27015  lgamucov  27016  lgamcvg2  27033  ftalem1  27051  ftalem2  27052  ftalem3  27053  ftalem4  27054  ftalem5  27055  ftalem7  27057  logfacbnd3  27202  logfacrlim  27203  logexprlim  27204  dchrabs  27239  lgsdirprm  27310  lgsdilem2  27312  lgsne0  27314  lgsabs1  27315  mul2sq  27398  2sqlem3  27399  2sqblem  27410  vmadivsumb  27462  rplogsumlem2  27464  dchrisumlem2  27469  dchrisumlem3  27470  dchrisum  27471  dchrmusum2  27473  dchrvmasumlem2  27477  dchrvmasumlem3  27478  dchrvmasumiflem1  27480  dchrvmasumiflem2  27481  dchrisum0flblem1  27487  dchrisum0fno1  27490  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem2  27497  dchrisum0lem3  27498  mudivsum  27509  mulogsumlem  27510  mulog2sumlem1  27513  mulog2sumlem2  27514  2vmadivsumlem  27519  log2sumbnd  27523  selberglem2  27525  selbergb  27528  selberg2b  27531  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem1  27536  selberg3lem2  27537  selberg4lem1  27539  pntrsumo1  27544  pntrsumbnd  27545  pntrsumbnd2  27546  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  pntrlog2bnd  27563  pntpbnd1a  27564  pntpbnd2  27566  pntibndlem2  27570  pntlemn  27579  pntlemj  27582  pntlemf  27584  pntlemo  27586  pntlem3  27588  pntleml  27590  smcnlem  30785  nmoub3i  30861  isblo3i  30889  htthlem  31005  bcs2  31270  pjhthlem1  31479  nmfnsetre  31965  nmfnleub2  32014  nmfnge0  32015  nmbdfnlbi  32137  nmcfnexi  32139  nmcfnlbi  32140  lnfnconi  32143  cnlnadjlem2  32156  cnlnadjlem7  32161  nmopcoadji  32189  leopnmid  32226  constrdircl  33943  iconstr  33944  constrremulcl  33945  constrimcl  33948  constrmulcl  33949  constrinvcl  33951  constrabscl  33956  constrsqrtcl  33957  sqsscirc2  34087  subfaclim  35404  subfacval3  35405  sinccvglem  35888  dnicld1  36694  dnibndlem2  36701  dnibndlem6  36705  dnibndlem9  36708  dnibndlem12  36711  dnicn  36714  knoppcnlem4  36718  knoppcnlem6  36720  unblimceq0lem  36728  unblimceq0  36729  unbdqndv2lem1  36731  unbdqndv2lem2  36732  knoppndvlem11  36744  knoppndvlem12  36745  knoppndvlem14  36747  knoppndvlem15  36748  knoppndvlem17  36750  knoppndvlem18  36751  knoppndvlem20  36753  knoppndvlem21  36754  poimirlem29  37900  poimir  37904  iblabsnclem  37934  iblabsnc  37935  iblmulc2nc  37936  itgabsnc  37940  ftc1cnnclem  37942  ftc1anclem1  37944  ftc1anclem2  37945  ftc1anclem4  37947  ftc1anclem5  37948  ftc1anclem6  37949  ftc1anclem7  37950  ftc1anclem8  37951  ftc1anc  37952  ftc2nc  37953  dvasin  37955  areacirclem1  37959  areacirclem2  37960  areacirclem4  37962  areacirclem5  37963  areacirc  37964  geomcau  38010  cntotbnd  38047  rrndstprj1  38081  rrndstprj2  38082  ismrer1  38089  readvrec  42732  readvcot  42734  dffltz  42992  rencldnfilem  43177  irrapxlem2  43180  irrapxlem4  43182  irrapxlem5  43183  pellexlem2  43187  pellexlem6  43191  pell14qrgt0  43216  congabseq  43331  acongeq  43340  modabsdifz  43343  jm2.26lem3  43358  sqrtcvallem4  43995  extoimad  44520  imo72b2lem0  44521  imo72b2  44528  dvgrat  44668  cvgdvgrat  44669  radcnvrat  44670  dvconstbi  44690  binomcxplemnotnn0  44712  dstregt0  45644  absnpncan2d  45664  absnpncan3d  45669  abslt2sqd  45719  rexabslelem  45776  cvgcaule  45849  fprodabs2  45955  mullimc  45976  mullimcf  45983  limcrecl  45989  lptre2pt  45998  limcleqr  46002  addlimc  46006  0ellimcdiv  46007  limclner  46009  climleltrp  46034  climisp  46104  climxrrelem  46107  cnrefiisplem  46187  climxlim2lem  46203  cncficcgt0  46246  dvdivbd  46281  dvbdfbdioolem1  46286  dvbdfbdioolem2  46287  dvbdfbdioo  46288  ioodvbdlimc1lem1  46289  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  stoweid  46421  fourierdlem30  46495  fourierdlem39  46504  fourierdlem42  46507  fourierdlem47  46511  fourierdlem68  46532  fourierdlem70  46534  fourierdlem71  46535  fourierdlem73  46537  fourierdlem77  46541  fourierdlem80  46544  fourierdlem83  46547  fourierdlem87  46551  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  etransclem23  46615  etransclem48  46640  rrndistlt  46648  ioorrnopnlem  46662  sge0isum  46785  hoicvr  46906  smflimlem4  47132  smfmullem1  47149  smfmullem2  47150  smfmullem3  47151  modlt0b  47723  itsclc0yqsol  49124