Theorem abscld 15405

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  ℝcr 11067  abscabs 15200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  15434  lo1bddrp  15491  elo1mpt  15500  elo1mpt2  15501  elo1d  15502  o1bdd2  15507  o1bddrp  15508  rlimuni  15516  climuni  15518  o1eq  15536  rlimcld2  15544  rlimrege0  15545  climabs0  15551  mulcn2  15562  reccn2  15563  cn1lem  15564  cjcn2  15566  o1add  15580  o1mul  15581  o1sub  15582  rlimo1  15583  o1rlimmul  15585  climsqz  15607  climsqz2  15608  rlimsqzlem  15615  o1le  15619  climbdd  15638  caucvgrlem  15639  caucvgrlem2  15641  iseraltlem3  15650  iseralt  15651  fsumabs  15767  o1fsum  15779  iserabs  15781  cvgcmpce  15784  abscvgcvg  15785  divrcnv  15818  explecnv  15831  geomulcvg  15842  cvgrat  15849  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  fprodabs  15940  efcllem  16043  efaddlem  16059  eftlub  16077  ef01bndlem  16152  sin01bnd  16153  cos01bnd  16154  absef  16165  dvdsabseq  16283  alzdvds  16290  sqnprm  16672  pclem  16809  mul4sqlem  16924  xrsdsreclb  21330  gzrngunitlem  21349  gzrngunit  21350  prmirredlem  21382  nm2dif  24513  blcvx  24686  recld2  24703  addcnlem  24753  cnheiborlem  24853  cnheibor  24854  cnllycmp  24855  cphsqrtcl2  25086  ipcau2  25134  tcphcphlem1  25135  ipcnlem2  25144  cncmet  25222  trirn  25300  rrxdstprj1  25309  pjthlem1  25337  volsup2  25506  mbfi1fseqlem6  25621  iblabslem  25729  iblabs  25730  iblabsr  25731  iblmulc2  25732  itgabs  25736  bddmulibl  25740  bddiblnc  25743  itgcn  25746  dveflem  25883  dvlip  25898  dvlipcn  25899  c1liplem1  25901  dveq0  25905  dv11cn  25906  lhop1lem  25918  dvfsumabs  25929  dvfsumrlim  25938  dvfsumrlim2  25939  ftc1a  25944  ftc1lem4  25946  plyeq0lem  26115  aalioulem2  26241  aalioulem3  26242  aalioulem4  26243  aalioulem5  26244  aalioulem6  26245  aaliou  26246  geolim3  26247  aaliou2b  26249  aaliou3lem9  26258  ulmbdd  26307  ulmcn  26308  ulmdvlem1  26309  mtest  26313  mtestbdd  26314  iblulm  26316  itgulm  26317  radcnvlem1  26322  radcnvlem2  26323  radcnvlt1  26327  radcnvle  26329  dvradcnv  26330  pserulm  26331  psercnlem2  26334  psercnlem1  26335  psercn  26336  pserdvlem1  26337  pserdvlem2  26338  pserdv  26339  abelthlem2  26342  abelthlem3  26343  abelthlem5  26345  abelthlem7  26348  abelthlem8  26349  tanregt0  26448  efif1olem3  26453  efif1olem4  26454  eff1olem  26457  cosargd  26517  cosarg0d  26518  argregt0  26519  argrege0  26520  abslogle  26527  logcnlem3  26553  logcnlem4  26554  efopnlem1  26565  logtayl  26569  abscxp2  26602  cxpcn3lem  26657  abscxpbnd  26663  cosangneg2d  26717  lawcoslem1  26725  lawcos  26726  pythag  26727  isosctrlem3  26730  ssscongptld  26732  chordthmlem3  26744  chordthmlem4  26745  chordthmlem5  26746  heron  26748  bndatandm  26839  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  rlimcxp  26884  o1cxp  26885  cxploglim2  26889  divsqrtsumo1  26894  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem5  26943  lgambdd  26947  lgamucov  26948  lgamcvg2  26965  ftalem1  26983  ftalem2  26984  ftalem3  26985  ftalem4  26986  ftalem5  26987  ftalem7  26989  logfacbnd3  27134  logfacrlim  27135  logexprlim  27136  dchrabs  27171  lgsdirprm  27242  lgsdilem2  27244  lgsne0  27246  lgsabs1  27247  mul2sq  27330  2sqlem3  27331  2sqblem  27342  vmadivsumb  27394  rplogsumlem2  27396  dchrisumlem2  27401  dchrisumlem3  27402  dchrisum  27403  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmasumiflem2  27413  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrisum0lem3  27430  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  2vmadivsumlem  27451  log2sumbnd  27455  selberglem2  27457  selbergb  27460  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem1  27468  selberg3lem2  27469  selberg4lem1  27471  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd  27477  pntrsumbnd2  27478  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemn  27511  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemo  27518  pntlem3  27520  pntleml  27522  smcnlem  30626  nmoub3i  30702  isblo3i  30730  htthlem  30846  bcs2  31111  pjhthlem1  31320  nmfnsetre  31806  nmfnleub2  31855  nmfnge0  31856  nmbdfnlbi  31978  nmcfnexi  31980  nmcfnlbi  31981  lnfnconi  31984  cnlnadjlem2  31997  cnlnadjlem7  32002  nmopcoadji  32030  leopnmid  32067  constrdircl  33755  iconstr  33756  constrremulcl  33757  constrimcl  33760  constrmulcl  33761  constrinvcl  33763  constrabscl  33768  constrsqrtcl  33769  sqsscirc2  33899  subfaclim  35175  subfacval3  35176  sinccvglem  35659  dnicld1  36460  dnibndlem2  36467  dnibndlem6  36471  dnibndlem9  36474  dnibndlem12  36477  dnicn  36480  knoppcnlem4  36484  knoppcnlem6  36486  unblimceq0lem  36494  unblimceq0  36495  unbdqndv2lem1  36497  unbdqndv2lem2  36498  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem12  36511  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  knoppndvlem17  36516  knoppndvlem18  36517  knoppndvlem20  36519  knoppndvlem21  36520  poimirlem29  37643  poimir  37647  iblabsnclem  37677  iblabsnc  37678  iblmulc2nc  37679  itgabsnc  37683  ftc1cnnclem  37685  ftc1anclem1  37687  ftc1anclem2  37688  ftc1anclem4  37690  ftc1anclem5  37691  ftc1anclem6  37692  ftc1anclem7  37693  ftc1anclem8  37694  ftc1anc  37695  ftc2nc  37696  dvasin  37698  areacirclem1  37702  areacirclem2  37703  areacirclem4  37705  areacirclem5  37706  areacirc  37707  geomcau  37753  cntotbnd  37790  rrndstprj1  37824  rrndstprj2  37825  ismrer1  37832  readvrec  42350  readvcot  42352  dffltz  42622  rencldnfilem  42808  irrapxlem2  42811  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  pell14qrgt0  42847  congabseq  42963  acongeq  42972  modabsdifz  42975  jm2.26lem3  42990  sqrtcvallem4  43628  extoimad  44153  imo72b2lem0  44154  imo72b2  44161  dvgrat  44301  cvgdvgrat  44302  radcnvrat  44303  dvconstbi  44323  binomcxplemnotnn0  44345  dstregt0  45280  absnpncan2d  45300  absnpncan3d  45305  abslt2sqd  45356  rexabslelem  45414  cvgcaule  45487  fprodabs2  45593  mullimc  45614  mullimcf  45621  limcrecl  45627  lptre2pt  45638  limcleqr  45642  addlimc  45646  0ellimcdiv  45647  limclner  45649  climleltrp  45674  climisp  45744  climxrrelem  45747  cnrefiisplem  45827  climxlim2lem  45843  cncficcgt0  45886  dvdivbd  45921  dvbdfbdioolem1  45926  dvbdfbdioolem2  45927  dvbdfbdioo  45928  ioodvbdlimc1lem1  45929  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  stoweid  46061  fourierdlem30  46135  fourierdlem39  46144  fourierdlem42  46147  fourierdlem47  46151  fourierdlem68  46172  fourierdlem70  46174  fourierdlem71  46175  fourierdlem73  46177  fourierdlem77  46181  fourierdlem80  46184  fourierdlem83  46187  fourierdlem87  46191  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  etransclem23  46255  etransclem48  46280  rrndistlt  46288  ioorrnopnlem  46302  sge0isum  46425  hoicvr  46546  smflimlem4  46772  smfmullem1  46789  smfmullem2  46790  smfmullem3  46791  modlt0b  47364  itsclc0yqsol  48753