Theorem abscld 15650

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 15488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℂcc 11237  ℝcr 11238  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by:  bhmafibid1  15679  lo1bddrp  15736  elo1mpt  15745  elo1mpt2  15746  elo1d  15747  o1bdd2  15752  o1bddrp  15753  rlimuni  15761  climuni  15763  o1eq  15781  rlimcld2  15789  rlimrege0  15790  climabs0  15796  mulcn2  15807  reccn2  15808  cn1lem  15809  cjcn2  15811  o1add  15825  o1mul  15826  o1sub  15827  rlimo1  15828  o1rlimmul  15830  climsqz  15852  climsqz2  15853  rlimsqzlem  15860  o1le  15864  climbdd  15883  caucvgrlem  15884  caucvgrlem2  15886  iseraltlem3  15895  iseralt  15896  fsumabs  16012  o1fsum  16024  iserabs  16026  cvgcmpce  16029  abscvgcvg  16030  divrcnv  16065  explecnv  16078  geomulcvg  16089  cvgrat  16096  mertenslem1  16097  mertenslem2  16098  fprodabs  16185  efcllem  16287  efaddlem  16303  eftlub  16321  ef01bndlem  16396  sin01bnd  16397  cos01bnd  16398  absef  16409  dvdsabseq  16527  alzdvds  16534  sqnprm  16922  pclem  17060  mul4sqlem  17175  xrsdsreclb  21772  gzrngunitlem  21792  gzrngunit  21793  prmirredlem  21833  nm2dif  24999  blcvx  25172  recld2  25189  addcnlem  25239  cnheiborlem  25330  cnheibor  25331  cnllycmp  25332  cphsqrtcl2  25562  ipcau2  25610  tcphcphlem1  25611  ipcnlem2  25620  cncmet  25698  trirn  25776  rrxdstprj1  25785  pjthlem1  25813  volsup2  25981  mbfi1fseqlem6  26096  iblabslem  26203  iblabs  26204  iblabsr  26205  iblmulc2  26206  itgabs  26210  bddmulibl  26214  bddiblnc  26217  itgcn  26220  dveflem  26354  dvlip  26368  dvlipcn  26369  c1liplem1  26371  dveq0  26375  dv11cn  26376  lhop1lem  26388  dvfsumabs  26398  dvfsumrlim  26406  dvfsumrlim2  26407  ftc1a  26412  ftc1lem4  26414  plyeq0lem  26584  aalioulem2  26717  aalioulem3  26718  aalioulem4  26719  aalioulem5  26720  aalioulem6  26721  aaliou  26722  geolim3  26723  aaliou2b  26725  aaliou3lem9  26734  ulmbdd  26782  ulmcn  26783  ulmdvlem1  26784  mtest  26788  mtestbdd  26789  iblulm  26791  itgulm  26792  radcnvlem1  26797  radcnvlem2  26798  radcnvlt1  26802  radcnvle  26804  dvradcnv  26805  pserulm  26806  psercnlem2  26808  psercnlem1  26809  psercn  26810  pserdvlem1  26811  pserdvlem2  26812  pserdv  26813  abelthlem2  26816  abelthlem3  26817  abelthlem5  26819  abelthlem7  26822  abelthlem8  26823  tanregt0  26924  efif1olem3  26929  efif1olem4  26930  eff1olem  26933  cosargd  26993  cosarg0d  26994  argregt0  26995  argrege0  26996  abslogle  27003  logcnlem3  27029  logcnlem4  27030  efopnlem1  27041  logtayl  27045  abscxp2  27078  cxpcn3lem  27132  abscxpbnd  27138  cosangneg2d  27192  lawcoslem1  27200  lawcos  27201  pythag  27202  isosctrlem3  27205  ssscongptld  27207  chordthmlem3  27219  chordthmlem4  27220  chordthmlem5  27221  heron  27223  bndatandm  27314  efrlim  27354  rlimcxp  27358  o1cxp  27359  cxploglim2  27363  divsqrtsumo1  27368  fsumharmonic  27396  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  lgamgulmlem5  27417  lgambdd  27421  lgamucov  27422  lgamcvg2  27439  ftalem1  27457  ftalem2  27458  ftalem3  27459  ftalem4  27460  ftalem5  27461  ftalem7  27463  logfacbnd3  27607  logfacrlim  27608  logexprlim  27609  dchrabs  27644  lgsdirprm  27715  lgsdilem2  27717  lgsne0  27719  lgsabs1  27720  mul2sq  27803  2sqlem3  27804  2sqblem  27815  vmadivsumb  27867  rplogsumlem2  27869  dchrisumlem2  27874  dchrisumlem3  27875  dchrisum  27876  dchrmusum2  27878  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumlem3  27883  dchrvmasumiflem1  27885  dchrvmasumiflem2  27886  dchrisum0flblem1  27892  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  mudivsum  27914  mulogsumlem  27915  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  2vmadivsumlem  27924  log2sumbnd  27928  selberglem2  27930  selbergb  27933  selberg2b  27936  chpdifbndlem1  27937  selberg3lem1  27941  selberg3lem2  27942  selberg4lem1  27944  pntrsumo1  27949  pntrsumbnd  27950  pntrsumbnd2  27951  pntrlog2bndlem1  27961  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem3  27963  pntrlog2bndlem4  27964  pntrlog2bndlem5  27965  pntrlog2bndlem6  27967  pntrlog2bnd  27968  pntpbnd1a  27969  pntpbnd2  27971  pntibndlem2  27975  pntlemn  27984  pntlemj  27987  pntlemf  27989  pntlemo  27991  pntlem3  27993  pntleml  27995  smcnlem  31356  nmoub3i  31432  isblo3i  31460  htthlem  31576  bcs2  31841  pjhthlem1  32050  nmfnsetre  32536  nmfnleub2  32585  nmfnge0  32586  nmbdfnlbi  32708  nmcfnexi  32710  nmcfnlbi  32711  lnfnconi  32714  cnlnadjlem2  32727  cnlnadjlem7  32732  nmopcoadji  32760  leopnmid  32797  constrdircl  34508  iconstr  34509  constrremulcl  34510  constrimcl  34513  constrmulcl  34514  constrinvcl  34516  constrabscl  34521  constrsqrtcl  34522  sqsscirc2  34652  subfaclim  36161  subfacval3  36162  sinccvglem  36645  dnicld1  37553  dnibndlem2  37560  dnibndlem6  37564  dnibndlem9  37567  dnibndlem12  37570  dnicn  37573  knoppcnlem4  37577  knoppcnlem6  37579  unblimceq0lem  37587  unblimceq0  37588  unbdqndv2lem1  37590  unbdqndv2lem2  37591  knoppndvlem11  37603  knoppndvlem12  37604  knoppndvlem14  37606  knoppndvlem15  37607  knoppndvlem17  37609  knoppndvlem18  37610  knoppndvlem20  37612  knoppndvlem21  37613  poimirlem29  38835  poimir  38839  iblabsnclem  38869  iblabsnc  38870  iblmulc2nc  38871  itgabsnc  38875  ftc1cnnclem  38877  ftc1anclem1  38879  ftc1anclem2  38880  ftc1anclem4  38882  ftc1anclem5  38883  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem7  38885  ftc1anclem8  38886  ftc1anc  38887  ftc2nc  38888  dvasin  38890  areacirclem1  38894  areacirclem2  38895  areacirclem4  38897  areacirclem5  38898  areacirc  38899  geomcau  38959  cntotbnd  38996  rrndstprj1  39030  rrndstprj2  39031  ismrer1  39038  readvrec  43679  readvcot  43681  dffltz  43936  rencldnfilem  44093  irrapxlem2  44096  irrapxlem4  44098  irrapxlem5  44099  pellexlem2  44103  pellexlem6  44107  pell14qrgt0  44132  congabseq  44247  acongeq  44256  modabsdifz  44259  jm2.26lem3  44274  sqrtcvallem4  44900  extoimad  45425  imo72b2lem0  45426  imo72b2  45433  dvgrat  45557  cvgdvgrat  45558  radcnvrat  45559  dvconstbi  45579  binomcxplemnotnn0  45601  dstregt0  46571  absnpncan2d  46591  absnpncan3d  46596  abslt2sqd  46645  rexabslelem  46701  cvgcaule  46774  fprodabs2  46880  mullimc  46901  mullimcf  46908  limcrecl  46914  lptre2pt  46923  limcleqr  46927  addlimc  46931  0ellimcdiv  46932  limclner  46934  climleltrp  46959  climisp  47029  climxrrelem  47032  cnrefiisplem  47112  climxlim2lem  47128  cncficcgt0  47171  dvdivbd  47206  dvbdfbdioolem1  47211  dvbdfbdioolem2  47212  dvbdfbdioo  47213  ioodvbdlimc1lem1  47214  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  stoweid  47346  fourierdlem30  47420  fourierdlem39  47429  fourierdlem42  47432  fourierdlem47  47436  fourierdlem68  47457  fourierdlem70  47459  fourierdlem71  47460  fourierdlem73  47462  fourierdlem77  47466  fourierdlem80  47469  fourierdlem83  47472  fourierdlem87  47476  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  etransclem23  47540  etransclem48  47565  rrndistlt  47573  ioorrnopnlem  47587  sge0isum  47710  hoicvr  47831  smflimlem4  48057  smfmullem1  48074  smfmullem2  48075  smfmullem3  48076  modlt0b  48712  itsclc0yqsol  50207