Theorem absge0d 14638

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 14481	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  ℂcc 10381  0cc0 10383   ≤ cle 10522  abscabs 14427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14716  mulcn2  14786  o1mul  14805  o1rlimmul  14809  o1fsum  15001  cvgcmpce  15006  explecnv  15053  cvgrat  15072  mertenslem1  15073  mertenslem2  15074  efcllem  15264  eftlub  15295  sqnprm  15875  gzrngunitlem  20292  blcvx  23089  cnheibor  23242  cphsqrtcl2  23473  ipcau2  23520  trirn  23686  rrxdstprj1  23695  mbfi1fseqlem6  24004  iblabs  24112  iblabsr  24113  iblmulc2  24114  itgabs  24118  bddmulibl  24122  itgcn  24126  dvlip  24273  dvlipcn  24274  dveq0  24280  dv11cn  24281  plyeq0lem  24483  aalioulem3  24606  mtest  24675  radcnvlem1  24684  radcnvlem2  24685  radcnvlt1  24689  dvradcnv  24692  pserulm  24693  psercnlem2  24695  psercnlem1  24696  pserdvlem1  24698  pserdv  24700  abelthlem5  24706  abelthlem7  24709  abelthlem8  24710  tanregt0  24804  efif1olem3  24809  argregt0  24874  argrege0  24875  logtayllem  24923  logtayl  24924  abscxpbnd  25015  heron  25097  efrlim  25229  rlimcxp  25233  lgamgulmlem2  25289  lgamgulmlem3  25290  lgamgulmlem5  25292  ftalem1  25332  ftalem4  25335  ftalem5  25336  lgsdirprm  25589  lgsdilem2  25591  lgsne0  25593  2sqblem  25689  dchrisumlem2  25748  dchrmusum2  25752  dchrvmasumlem2  25756  dchrvmasumlem3  25757  dchrvmasumiflem1  25759  dchrisum0flblem1  25766  dchrisum0lem2a  25775  mudivsum  25788  mulogsumlem  25789  mulog2sumlem2  25793  selberglem2  25804  selberg3lem2  25816  pntrsumbnd  25824  pntrlog2bndlem1  25835  pntrlog2bndlem2  25836  pntrlog2bndlem3  25837  pntrlog2bndlem5  25839  pntrlog2bndlem6  25841  pntrlog2bnd  25842  pntleml  25869  smcnlem  28165  nmoub3i  28241  nmfnge0  29395  sqsscirc2  30769  dnibndlem11  33436  knoppcnlem4  33444  unblimceq0lem  33454  unblimceq0  33455  knoppndvlem11  33470  knoppndvlem18  33477  mblfinlem2  34461  iblabsnc  34487  iblmulc2nc  34488  itgabsnc  34492  bddiblnc  34493  ftc1anclem2  34499  ftc1anclem4  34501  ftc1anclem5  34502  ftc1anclem6  34503  ftc1anclem7  34504  ftc1anclem8  34505  ftc1anc  34506  ftc2nc  34507  dvasin  34509  areacirclem1  34513  areacirclem2  34514  areacirclem4  34516  areacirclem5  34517  areacirc  34518  cntotbnd  34606  rrndstprj1  34640  rrndstprj2  34641  ismrer1  34648  pell14qrgt0  38941  radcnvrat  40184  dvconstbi  40204  binomcxplemnotnn0  40226  abslt2sqd  41169  dvdivbd  41749  dvbdfbdioolem1  41754  dvbdfbdioolem2  41755  ioodvbdlimc1lem1  41757  ioodvbdlimc1lem2  41758  ioodvbdlimc2lem  41760  fourierdlem30  41964  fourierdlem39  41973  fourierdlem47  41980  fourierdlem73  42006  fourierdlem77  42010  fourierdlem87  42020  etransclem23  42084  rrndistlt  42117  smfmullem1  42608  smfmullem2  42609  smfmullem3  42610