Theorem absge0d 15498

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15338	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  0cc0 11100   ≤ cle 11244  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15576  mulcn2  15647  o1mul  15666  o1rlimmul  15670  o1fsum  15865  cvgcmpce  15870  explecnv  15919  cvgrat  15937  mertenslem1  15938  mertenslem2  15939  efcllem  16131  eftlub  16165  sqnprm  16761  gzrngunitlem  21551  blcvx  24924  cnheibor  25083  cphsqrtcl2  25314  ipcau2  25362  trirn  25528  rrxdstprj1  25537  mbfi1fseqlem6  25848  iblabs  25957  iblabsr  25958  iblmulc2  25959  itgabs  25963  bddmulibl  25967  bddiblnc  25970  itgcn  25973  dvlip  26121  dvlipcn  26122  dveq0  26128  dv11cn  26129  plyeq0lem  26336  aalioulem3  26464  mtest  26533  radcnvlem1  26542  radcnvlem2  26543  radcnvlt1  26547  dvradcnv  26550  pserulm  26551  psercnlem2  26553  psercnlem1  26554  pserdvlem1  26556  pserdv  26558  abelthlem5  26564  abelthlem7  26567  abelthlem8  26568  tanregt0  26670  efif1olem3  26675  argregt0  26741  argrege0  26742  logtayllem  26790  logtayl  26791  abscxpbnd  26884  heron  26969  efrlim  27100  rlimcxp  27104  lgamgulmlem2  27160  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem5  27163  ftalem1  27203  ftalem4  27206  ftalem5  27207  lgsdirprm  27461  lgsdilem2  27463  lgsne0  27465  2sqblem  27561  dchrisumlem2  27620  dchrmusum2  27624  dchrvmasumlem2  27628  dchrvmasumlem3  27629  dchrvmasumiflem1  27631  dchrisum0flblem1  27638  dchrisum0lem2a  27647  mudivsum  27660  mulogsumlem  27661  mulog2sumlem2  27665  selberglem2  27676  selberg3lem2  27688  pntrsumbnd  27696  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6  27713  pntrlog2bnd  27714  pntleml  27741  smcnlem  30990  nmoub3i  31066  nmfnge0  32220  iconstr  34101  constrinvcl  34108  constrabscl  34113  constrsqrtcl  34114  sqsscirc2  34244  dnibndlem11  37000  knoppcnlem4  37008  unblimceq0lem  37018  unblimceq0  37019  knoppndvlem11  37034  knoppndvlem18  37041  mblfinlem2  38232  iblabsnc  38258  iblmulc2nc  38259  itgabsnc  38263  ftc1anclem2  38268  ftc1anclem4  38270  ftc1anclem5  38271  ftc1anclem6  38272  ftc1anclem7  38273  ftc1anclem8  38274  ftc1anc  38275  ftc2nc  38276  dvasin  38278  areacirclem1  38282  areacirclem2  38283  areacirclem4  38285  areacirclem5  38286  areacirc  38287  cntotbnd  38370  rrndstprj1  38404  rrndstprj2  38405  ismrer1  38412  pell14qrgt0  43513  radcnvrat  44951  dvconstbi  44971  binomcxplemnotnn0  44993  abslt2sqd  46003  dvdivbd  46564  dvbdfbdioolem1  46569  dvbdfbdioolem2  46570  ioodvbdlimc1lem1  46572  ioodvbdlimc1lem2  46573  ioodvbdlimc2lem  46575  fourierdlem30  46778  fourierdlem39  46787  fourierdlem47  46794  fourierdlem73  46820  fourierdlem77  46824  fourierdlem87  46834  etransclem23  46898  rrndistlt  46931  smfmullem1  47432  smfmullem2  47433  smfmullem3  47434