Theorem absge0d 15404

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  ℂcc 11031  0cc0 11033   ≤ cle 11175  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15482  mulcn2  15553  o1mul  15572  o1rlimmul  15576  o1fsum  15771  cvgcmpce  15776  explecnv  15825  cvgrat  15843  mertenslem1  15844  mertenslem2  15845  efcllem  16037  eftlub  16071  sqnprm  16667  gzrngunitlem  21411  blcvx  24785  cnheibor  24944  cphsqrtcl2  25175  ipcau2  25223  trirn  25389  rrxdstprj1  25398  mbfi1fseqlem6  25709  iblabs  25818  iblabsr  25819  iblmulc2  25820  itgabs  25824  bddmulibl  25828  bddiblnc  25831  itgcn  25834  dvlip  25982  dvlipcn  25983  dveq0  25989  dv11cn  25990  plyeq0lem  26197  aalioulem3  26322  mtest  26391  radcnvlem1  26400  radcnvlem2  26401  radcnvlt1  26405  dvradcnv  26408  pserulm  26409  psercnlem2  26411  psercnlem1  26412  pserdvlem1  26414  pserdv  26416  abelthlem5  26422  abelthlem7  26425  abelthlem8  26426  tanregt0  26525  efif1olem3  26530  argregt0  26596  argrege0  26597  logtayllem  26645  logtayl  26646  abscxpbnd  26739  heron  26824  efrlim  26955  rlimcxp  26959  lgamgulmlem2  27015  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem5  27018  ftalem1  27058  ftalem4  27061  ftalem5  27062  lgsdirprm  27316  lgsdilem2  27318  lgsne0  27320  2sqblem  27416  dchrisumlem2  27475  dchrmusum2  27479  dchrvmasumlem2  27483  dchrvmasumlem3  27484  dchrvmasumiflem1  27486  dchrisum0flblem1  27493  dchrisum0lem2a  27502  mudivsum  27515  mulogsumlem  27516  mulog2sumlem2  27520  selberglem2  27531  selberg3lem2  27543  pntrsumbnd  27551  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bndlem6  27568  pntrlog2bnd  27569  pntleml  27596  smcnlem  30790  nmoub3i  30866  nmfnge0  32020  iconstr  33962  constrinvcl  33969  constrabscl  33974  constrsqrtcl  33975  sqsscirc2  34105  dnibndlem11  36809  knoppcnlem4  36817  unblimceq0lem  36827  unblimceq0  36828  knoppndvlem11  36843  knoppndvlem18  36850  mblfinlem2  38040  iblabsnc  38066  iblmulc2nc  38067  itgabsnc  38071  ftc1anclem2  38076  ftc1anclem4  38078  ftc1anclem5  38079  ftc1anclem6  38080  ftc1anclem7  38081  ftc1anclem8  38082  ftc1anc  38083  ftc2nc  38084  dvasin  38086  areacirclem1  38090  areacirclem2  38091  areacirclem4  38093  areacirclem5  38094  areacirc  38095  cntotbnd  38178  rrndstprj1  38212  rrndstprj2  38213  ismrer1  38220  pell14qrgt0  43319  radcnvrat  44773  dvconstbi  44793  binomcxplemnotnn0  44815  abslt2sqd  45819  dvdivbd  46380  dvbdfbdioolem1  46385  dvbdfbdioolem2  46386  ioodvbdlimc1lem1  46388  ioodvbdlimc1lem2  46389  ioodvbdlimc2lem  46391  fourierdlem30  46594  fourierdlem39  46603  fourierdlem47  46610  fourierdlem73  46636  fourierdlem77  46640  fourierdlem87  46650  etransclem23  46714  rrndistlt  46747  smfmullem1  47248  smfmullem2  47249  smfmullem3  47250