Theorem absge0d 15389

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  0cc0 11044   ≤ cle 11185  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15467  mulcn2  15538  o1mul  15557  o1rlimmul  15561  o1fsum  15755  cvgcmpce  15760  explecnv  15807  cvgrat  15825  mertenslem1  15826  mertenslem2  15827  efcllem  16019  eftlub  16053  sqnprm  16648  gzrngunitlem  21374  blcvx  24719  cnheibor  24887  cphsqrtcl2  25119  ipcau2  25167  trirn  25333  rrxdstprj1  25342  mbfi1fseqlem6  25654  iblabs  25763  iblabsr  25764  iblmulc2  25765  itgabs  25769  bddmulibl  25773  bddiblnc  25776  itgcn  25779  dvlip  25931  dvlipcn  25932  dveq0  25938  dv11cn  25939  plyeq0lem  26148  aalioulem3  26275  mtest  26346  radcnvlem1  26355  radcnvlem2  26356  radcnvlt1  26360  dvradcnv  26363  pserulm  26364  psercnlem2  26367  psercnlem1  26368  pserdvlem1  26370  pserdv  26372  abelthlem5  26378  abelthlem7  26381  abelthlem8  26382  tanregt0  26481  efif1olem3  26486  argregt0  26552  argrege0  26553  logtayllem  26601  logtayl  26602  abscxpbnd  26696  heron  26781  efrlim  26912  efrlimOLD  26913  rlimcxp  26917  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamgulmlem5  26976  ftalem1  27016  ftalem4  27019  ftalem5  27020  lgsdirprm  27275  lgsdilem2  27277  lgsne0  27279  2sqblem  27375  dchrisumlem2  27434  dchrmusum2  27438  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumlem3  27443  dchrvmasumiflem1  27445  dchrisum0flblem1  27452  dchrisum0lem2a  27461  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  mulog2sumlem2  27479  selberglem2  27490  selberg3lem2  27502  pntrsumbnd  27510  pntrlog2bndlem1  27521  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem3  27523  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6  27527  pntrlog2bnd  27528  pntleml  27555  smcnlem  30676  nmoub3i  30752  nmfnge0  31906  iconstr  33749  constrinvcl  33756  constrabscl  33761  constrsqrtcl  33762  sqsscirc2  33892  dnibndlem11  36469  knoppcnlem4  36477  unblimceq0lem  36487  unblimceq0  36488  knoppndvlem11  36503  knoppndvlem18  36510  mblfinlem2  37645  iblabsnc  37671  iblmulc2nc  37672  itgabsnc  37676  ftc1anclem2  37681  ftc1anclem4  37683  ftc1anclem5  37684  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem7  37686  ftc1anclem8  37687  ftc1anc  37688  ftc2nc  37689  dvasin  37691  areacirclem1  37695  areacirclem2  37696  areacirclem4  37698  areacirclem5  37699  areacirc  37700  cntotbnd  37783  rrndstprj1  37817  rrndstprj2  37818  ismrer1  37825  pell14qrgt0  42840  radcnvrat  44296  dvconstbi  44316  binomcxplemnotnn0  44338  abslt2sqd  45349  dvdivbd  45914  dvbdfbdioolem1  45919  dvbdfbdioolem2  45920  ioodvbdlimc1lem1  45922  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  fourierdlem30  46128  fourierdlem39  46137  fourierdlem47  46144  fourierdlem73  46170  fourierdlem77  46174  fourierdlem87  46184  etransclem23  46248  rrndistlt  46281  smfmullem1  46782  smfmullem2  46783  smfmullem3  46784