Theorem absge0d 15398

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  ℂcc 11025  0cc0 11027   ≤ cle 11169  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15476  mulcn2  15547  o1mul  15566  o1rlimmul  15570  o1fsum  15765  cvgcmpce  15770  explecnv  15819  cvgrat  15837  mertenslem1  15838  mertenslem2  15839  efcllem  16031  eftlub  16065  sqnprm  16661  gzrngunitlem  21420  blcvx  24771  cnheibor  24930  cphsqrtcl2  25161  ipcau2  25209  trirn  25375  rrxdstprj1  25384  mbfi1fseqlem6  25695  iblabs  25804  iblabsr  25805  iblmulc2  25806  itgabs  25810  bddmulibl  25814  bddiblnc  25817  itgcn  25820  dvlip  25968  dvlipcn  25969  dveq0  25975  dv11cn  25976  plyeq0lem  26183  aalioulem3  26309  mtest  26380  radcnvlem1  26389  radcnvlem2  26390  radcnvlt1  26394  dvradcnv  26397  pserulm  26398  psercnlem2  26400  psercnlem1  26401  pserdvlem1  26403  pserdv  26405  abelthlem5  26411  abelthlem7  26414  abelthlem8  26415  tanregt0  26514  efif1olem3  26519  argregt0  26585  argrege0  26586  logtayllem  26634  logtayl  26635  abscxpbnd  26728  heron  26813  efrlim  26944  efrlimOLD  26945  rlimcxp  26949  lgamgulmlem2  27005  lgamgulmlem3  27006  lgamgulmlem5  27008  ftalem1  27048  ftalem4  27051  ftalem5  27052  lgsdirprm  27306  lgsdilem2  27308  lgsne0  27310  2sqblem  27406  dchrisumlem2  27465  dchrmusum2  27469  dchrvmasumlem2  27473  dchrvmasumlem3  27474  dchrvmasumiflem1  27476  dchrisum0flblem1  27483  dchrisum0lem2a  27492  mudivsum  27505  mulogsumlem  27506  mulog2sumlem2  27510  selberglem2  27521  selberg3lem2  27533  pntrsumbnd  27541  pntrlog2bndlem1  27552  pntrlog2bndlem2  27553  pntrlog2bndlem3  27554  pntrlog2bndlem5  27556  pntrlog2bndlem6  27558  pntrlog2bnd  27559  pntleml  27586  smcnlem  30781  nmoub3i  30857  nmfnge0  32011  iconstr  33924  constrinvcl  33931  constrabscl  33936  constrsqrtcl  33937  sqsscirc2  34067  dnibndlem11  36754  knoppcnlem4  36762  unblimceq0lem  36772  unblimceq0  36773  knoppndvlem11  36788  knoppndvlem18  36795  mblfinlem2  37983  iblabsnc  38009  iblmulc2nc  38010  itgabsnc  38014  ftc1anclem2  38019  ftc1anclem4  38021  ftc1anclem5  38022  ftc1anclem6  38023  ftc1anclem7  38024  ftc1anclem8  38025  ftc1anc  38026  ftc2nc  38027  dvasin  38029  areacirclem1  38033  areacirclem2  38034  areacirclem4  38036  areacirclem5  38037  areacirc  38038  cntotbnd  38121  rrndstprj1  38155  rrndstprj2  38156  ismrer1  38163  pell14qrgt0  43295  radcnvrat  44749  dvconstbi  44769  binomcxplemnotnn0  44791  abslt2sqd  45798  dvdivbd  46359  dvbdfbdioolem1  46364  dvbdfbdioolem2  46365  ioodvbdlimc1lem1  46367  ioodvbdlimc1lem2  46368  ioodvbdlimc2lem  46370  fourierdlem30  46573  fourierdlem39  46582  fourierdlem47  46589  fourierdlem73  46615  fourierdlem77  46619  fourierdlem87  46629  etransclem23  46693  rrndistlt  46726  smfmullem1  47227  smfmullem2  47228  smfmullem3  47229