Theorem absge0d 15354

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15194	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  0cc0 11006   ≤ cle 11147  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15432  mulcn2  15503  o1mul  15522  o1rlimmul  15526  o1fsum  15720  cvgcmpce  15725  explecnv  15772  cvgrat  15790  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  efcllem  15984  eftlub  16018  sqnprm  16613  gzrngunitlem  21369  blcvx  24713  cnheibor  24881  cphsqrtcl2  25113  ipcau2  25161  trirn  25327  rrxdstprj1  25336  mbfi1fseqlem6  25648  iblabs  25757  iblabsr  25758  iblmulc2  25759  itgabs  25763  bddmulibl  25767  bddiblnc  25770  itgcn  25773  dvlip  25925  dvlipcn  25926  dveq0  25932  dv11cn  25933  plyeq0lem  26142  aalioulem3  26269  mtest  26340  radcnvlem1  26349  radcnvlem2  26350  radcnvlt1  26354  dvradcnv  26357  pserulm  26358  psercnlem2  26361  psercnlem1  26362  pserdvlem1  26364  pserdv  26366  abelthlem5  26372  abelthlem7  26375  abelthlem8  26376  tanregt0  26475  efif1olem3  26480  argregt0  26546  argrege0  26547  logtayllem  26595  logtayl  26596  abscxpbnd  26690  heron  26775  efrlim  26906  efrlimOLD  26907  rlimcxp  26911  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem5  26970  ftalem1  27010  ftalem4  27013  ftalem5  27014  lgsdirprm  27269  lgsdilem2  27271  lgsne0  27273  2sqblem  27369  dchrisumlem2  27428  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumlem3  27437  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0lem2a  27455  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulog2sumlem2  27473  selberglem2  27484  selberg3lem2  27496  pntrsumbnd  27504  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntleml  27549  smcnlem  30677  nmoub3i  30753  nmfnge0  31907  iconstr  33779  constrinvcl  33786  constrabscl  33791  constrsqrtcl  33792  sqsscirc2  33922  dnibndlem11  36532  knoppcnlem4  36540  unblimceq0lem  36550  unblimceq0  36551  knoppndvlem11  36566  knoppndvlem18  36573  mblfinlem2  37697  iblabsnc  37723  iblmulc2nc  37724  itgabsnc  37728  ftc1anclem2  37733  ftc1anclem4  37735  ftc1anclem5  37736  ftc1anclem6  37737  ftc1anclem7  37738  ftc1anclem8  37739  ftc1anc  37740  ftc2nc  37741  dvasin  37743  areacirclem1  37747  areacirclem2  37748  areacirclem4  37750  areacirclem5  37751  areacirc  37752  cntotbnd  37835  rrndstprj1  37869  rrndstprj2  37870  ismrer1  37877  pell14qrgt0  42951  radcnvrat  44406  dvconstbi  44426  binomcxplemnotnn0  44448  abslt2sqd  45458  dvdivbd  46020  dvbdfbdioolem1  46025  dvbdfbdioolem2  46026  ioodvbdlimc1lem1  46028  ioodvbdlimc1lem2  46029  ioodvbdlimc2lem  46031  fourierdlem30  46234  fourierdlem39  46243  fourierdlem47  46250  fourierdlem73  46276  fourierdlem77  46280  fourierdlem87  46290  etransclem23  46354  rrndistlt  46387  smfmullem1  46888  smfmullem2  46889  smfmullem3  46890