Theorem absge0d 15084

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 14927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  0cc0 10802   ≤ cle 10941  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15162  mulcn2  15233  o1mul  15252  o1rlimmul  15256  o1fsum  15453  cvgcmpce  15458  explecnv  15505  cvgrat  15523  mertenslem1  15524  mertenslem2  15525  efcllem  15715  eftlub  15746  sqnprm  16335  gzrngunitlem  20575  blcvx  23867  cnheibor  24024  cphsqrtcl2  24255  ipcau2  24303  trirn  24469  rrxdstprj1  24478  mbfi1fseqlem6  24790  iblabs  24898  iblabsr  24899  iblmulc2  24900  itgabs  24904  bddmulibl  24908  bddiblnc  24911  itgcn  24914  dvlip  25062  dvlipcn  25063  dveq0  25069  dv11cn  25070  plyeq0lem  25276  aalioulem3  25399  mtest  25468  radcnvlem1  25477  radcnvlem2  25478  radcnvlt1  25482  dvradcnv  25485  pserulm  25486  psercnlem2  25488  psercnlem1  25489  pserdvlem1  25491  pserdv  25493  abelthlem5  25499  abelthlem7  25502  abelthlem8  25503  tanregt0  25600  efif1olem3  25605  argregt0  25670  argrege0  25671  logtayllem  25719  logtayl  25720  abscxpbnd  25811  heron  25893  efrlim  26024  rlimcxp  26028  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem5  26087  ftalem1  26127  ftalem4  26130  ftalem5  26131  lgsdirprm  26384  lgsdilem2  26386  lgsne0  26388  2sqblem  26484  dchrisumlem2  26543  dchrmusum2  26547  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumlem3  26552  dchrvmasumiflem1  26554  dchrisum0flblem1  26561  dchrisum0lem2a  26570  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  mulog2sumlem2  26588  selberglem2  26599  selberg3lem2  26611  pntrsumbnd  26619  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntleml  26664  smcnlem  28960  nmoub3i  29036  nmfnge0  30190  sqsscirc2  31761  dnibndlem11  34595  knoppcnlem4  34603  unblimceq0lem  34613  unblimceq0  34614  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem18  34636  mblfinlem2  35742  iblabsnc  35768  iblmulc2nc  35769  itgabsnc  35773  ftc1anclem2  35778  ftc1anclem4  35780  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem7  35783  ftc1anclem8  35784  ftc1anc  35785  ftc2nc  35786  dvasin  35788  areacirclem1  35792  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  areacirclem5  35796  areacirc  35797  cntotbnd  35881  rrndstprj1  35915  rrndstprj2  35916  ismrer1  35923  pell14qrgt0  40597  radcnvrat  41821  dvconstbi  41841  binomcxplemnotnn0  41863  abslt2sqd  42789  dvdivbd  43354  dvbdfbdioolem1  43359  dvbdfbdioolem2  43360  ioodvbdlimc1lem1  43362  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  fourierdlem30  43568  fourierdlem39  43577  fourierdlem47  43584  fourierdlem73  43610  fourierdlem77  43614  fourierdlem87  43624  etransclem23  43688  rrndistlt  43721  smfmullem1  44212  smfmullem2  44213  smfmullem3  44214