MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absge0d 15330
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absge0d (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absge0 15173 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  cc 11050  0cc0 11052  cle 11191  abscabs 15120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15408  mulcn2  15479  o1mul  15498  o1rlimmul  15502  o1fsum  15699  cvgcmpce  15704  explecnv  15751  cvgrat  15769  mertenslem1  15770  mertenslem2  15771  efcllem  15961  eftlub  15992  sqnprm  16579  gzrngunitlem  20865  blcvx  24164  cnheibor  24321  cphsqrtcl2  24553  ipcau2  24601  trirn  24767  rrxdstprj1  24776  mbfi1fseqlem6  25088  iblabs  25196  iblabsr  25197  iblmulc2  25198  itgabs  25202  bddmulibl  25206  bddiblnc  25209  itgcn  25212  dvlip  25360  dvlipcn  25361  dveq0  25367  dv11cn  25368  plyeq0lem  25574  aalioulem3  25697  mtest  25766  radcnvlem1  25775  radcnvlem2  25776  radcnvlt1  25780  dvradcnv  25783  pserulm  25784  psercnlem2  25786  psercnlem1  25787  pserdvlem1  25789  pserdv  25791  abelthlem5  25797  abelthlem7  25800  abelthlem8  25801  tanregt0  25898  efif1olem3  25903  argregt0  25968  argrege0  25969  logtayllem  26017  logtayl  26018  abscxpbnd  26109  heron  26191  efrlim  26322  rlimcxp  26326  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem3  26383  lgamgulmlem5  26385  ftalem1  26425  ftalem4  26428  ftalem5  26429  lgsdirprm  26682  lgsdilem2  26684  lgsne0  26686  2sqblem  26782  dchrisumlem2  26841  dchrmusum2  26845  dchrvmasumlem2  26849  dchrvmasumlem3  26850  dchrvmasumiflem1  26852  dchrisum0flblem1  26859  dchrisum0lem2a  26868  mudivsum  26881  mulogsumlem  26882  mulog2sumlem2  26886  selberglem2  26897  selberg3lem2  26909  pntrsumbnd  26917  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem3  26930  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bndlem6  26934  pntrlog2bnd  26935  pntleml  26962  smcnlem  29642  nmoub3i  29718  nmfnge0  30872  sqsscirc2  32493  dnibndlem11  34954  knoppcnlem4  34962  unblimceq0lem  34972  unblimceq0  34973  knoppndvlem11  34988  knoppndvlem18  34995  mblfinlem2  36119  iblabsnc  36145  iblmulc2nc  36146  itgabsnc  36150  ftc1anclem2  36155  ftc1anclem4  36157  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161  ftc1anc  36162  ftc2nc  36163  dvasin  36165  areacirclem1  36169  areacirclem2  36170  areacirclem4  36172  areacirclem5  36173  areacirc  36174  cntotbnd  36258  rrndstprj1  36292  rrndstprj2  36293  ismrer1  36300  pell14qrgt0  41185  radcnvrat  42601  dvconstbi  42621  binomcxplemnotnn0  42643  abslt2sqd  43601  dvdivbd  44171  dvbdfbdioolem1  44176  dvbdfbdioolem2  44177  ioodvbdlimc1lem1  44179  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  fourierdlem30  44385  fourierdlem39  44394  fourierdlem47  44401  fourierdlem73  44427  fourierdlem77  44431  fourierdlem87  44441  etransclem23  44505  rrndistlt  44538  smfmullem1  45039  smfmullem2  45040  smfmullem3  45041
  Copyright terms: Public domain W3C validator