Theorem absge0d 15567

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  ℂcc 11155  0cc0 11157   ≤ cle 11301  abscabs 15354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356

This theorem is used by:  lo1bddrp  15645  mulcn2  15716  o1mul  15735  o1rlimmul  15739  o1fsum  15933  cvgcmpce  15938  explecnv  15987  cvgrat  16005  mertenslem1  16006  mertenslem2  16007  efcllem  16196  eftlub  16230  sqnprm  16826  gzrngunitlem  21685  blcvx  25064  cnheibor  25223  cphsqrtcl2  25454  ipcau2  25502  trirn  25668  rrxdstprj1  25677  mbfi1fseqlem6  25988  iblabs  26096  iblabsr  26097  iblmulc2  26098  itgabs  26102  bddmulibl  26106  bddiblnc  26109  itgcn  26112  dvlip  26260  dvlipcn  26261  dveq0  26267  dv11cn  26268  plyeq0lem  26476  aalioulem3  26610  mtest  26680  radcnvlem1  26689  radcnvlem2  26690  radcnvlt1  26694  dvradcnv  26697  pserulm  26698  psercnlem2  26700  psercnlem1  26701  pserdvlem1  26703  pserdv  26705  abelthlem5  26711  abelthlem7  26714  abelthlem8  26715  tanregt0  26816  efif1olem3  26821  argregt0  26887  argrege0  26888  logtayllem  26936  logtayl  26937  abscxpbnd  27030  heron  27115  efrlim  27246  rlimcxp  27250  lgamgulmlem2  27306  lgamgulmlem3  27307  lgamgulmlem5  27309  ftalem1  27349  ftalem4  27352  ftalem5  27353  lgsdirprm  27607  lgsdilem2  27609  lgsne0  27611  2sqblem  27707  dchrisumlem2  27766  dchrmusum2  27770  dchrvmasumlem2  27774  dchrvmasumlem3  27775  dchrvmasumiflem1  27777  dchrisum0flblem1  27784  dchrisum0lem2a  27793  mudivsum  27806  mulogsumlem  27807  mulog2sumlem2  27811  selberglem2  27822  selberg3lem2  27834  pntrsumbnd  27842  pntrlog2bndlem1  27853  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem3  27855  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bndlem6  27859  pntrlog2bnd  27860  pntleml  27887  smcnlem  31218  nmoub3i  31294  nmfnge0  32448  iconstr  34317  constrinvcl  34324  constrabscl  34329  constrsqrtcl  34330  sqsscirc2  34460  dnibndlem11  37270  knoppcnlem4  37278  unblimceq0lem  37288  unblimceq0  37289  knoppndvlem11  37304  knoppndvlem18  37311  mblfinlem2  38490  iblabsnc  38516  iblmulc2nc  38517  itgabsnc  38521  ftc1anclem2  38526  ftc1anclem4  38528  ftc1anclem5  38529  ftc1anclem6  38530  ftc1anclem7  38531  ftc1anclem8  38532  ftc1anc  38533  ftc2nc  38534  dvasin  38536  areacirclem1  38540  areacirclem2  38541  areacirclem4  38543  areacirclem5  38544  areacirc  38545  cntotbnd  38644  rrndstprj1  38678  rrndstprj2  38679  ismrer1  38686  pell14qrgt0  43798  radcnvrat  45236  dvconstbi  45256  binomcxplemnotnn0  45278  abslt2sqd  46288  dvdivbd  46849  dvbdfbdioolem1  46854  dvbdfbdioolem2  46855  ioodvbdlimc1lem1  46857  ioodvbdlimc1lem2  46858  ioodvbdlimc2lem  46860  fourierdlem30  47063  fourierdlem39  47072  fourierdlem47  47079  fourierdlem73  47105  fourierdlem77  47109  fourierdlem87  47119  etransclem23  47183  rrndistlt  47216  smfmullem1  47717  smfmullem2  47718  smfmullem3  47719