Theorem absge0d 15483

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15326	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  0cc0 11155   ≤ cle 11296  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15561  mulcn2  15632  o1mul  15651  o1rlimmul  15655  o1fsum  15849  cvgcmpce  15854  explecnv  15901  cvgrat  15919  mertenslem1  15920  mertenslem2  15921  efcllem  16113  eftlub  16145  sqnprm  16739  gzrngunitlem  21450  blcvx  24819  cnheibor  24987  cphsqrtcl2  25220  ipcau2  25268  trirn  25434  rrxdstprj1  25443  mbfi1fseqlem6  25755  iblabs  25864  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  itgabs  25870  bddmulibl  25874  bddiblnc  25877  itgcn  25880  dvlip  26032  dvlipcn  26033  dveq0  26039  dv11cn  26040  plyeq0lem  26249  aalioulem3  26376  mtest  26447  radcnvlem1  26456  radcnvlem2  26457  radcnvlt1  26461  dvradcnv  26464  pserulm  26465  psercnlem2  26468  psercnlem1  26469  pserdvlem1  26471  pserdv  26473  abelthlem5  26479  abelthlem7  26482  abelthlem8  26483  tanregt0  26581  efif1olem3  26586  argregt0  26652  argrege0  26653  logtayllem  26701  logtayl  26702  abscxpbnd  26796  heron  26881  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  rlimcxp  27017  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamgulmlem5  27076  ftalem1  27116  ftalem4  27119  ftalem5  27120  lgsdirprm  27375  lgsdilem2  27377  lgsne0  27379  2sqblem  27475  dchrisumlem2  27534  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumlem3  27543  dchrvmasumiflem1  27545  dchrisum0flblem1  27552  dchrisum0lem2a  27561  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  mulog2sumlem2  27579  selberglem2  27590  selberg3lem2  27602  pntrsumbnd  27610  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntleml  27655  smcnlem  30716  nmoub3i  30792  nmfnge0  31946  sqsscirc2  33908  dnibndlem11  36489  knoppcnlem4  36497  unblimceq0lem  36507  unblimceq0  36508  knoppndvlem11  36523  knoppndvlem18  36530  mblfinlem2  37665  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692  itgabsnc  37696  ftc1anclem2  37701  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anclem8  37707  ftc1anc  37708  ftc2nc  37709  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirclem2  37716  areacirclem4  37718  areacirclem5  37719  areacirc  37720  cntotbnd  37803  rrndstprj1  37837  rrndstprj2  37838  ismrer1  37845  pell14qrgt0  42870  radcnvrat  44333  dvconstbi  44353  binomcxplemnotnn0  44375  abslt2sqd  45371  dvdivbd  45938  dvbdfbdioolem1  45943  dvbdfbdioolem2  45944  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  fourierdlem30  46152  fourierdlem39  46161  fourierdlem47  46168  fourierdlem73  46194  fourierdlem77  46198  fourierdlem87  46208  etransclem23  46272  rrndistlt  46305  smfmullem1  46806  smfmullem2  46807  smfmullem3  46808