Theorem absge0d 15427

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  ℂcc 11138  0cc0 11140   ≤ cle 11281  abscabs 15217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15505  mulcn2  15576  o1mul  15595  o1rlimmul  15599  o1fsum  15795  cvgcmpce  15800  explecnv  15847  cvgrat  15865  mertenslem1  15866  mertenslem2  15867  efcllem  16057  eftlub  16089  sqnprm  16676  gzrngunitlem  21382  blcvx  24758  cnheibor  24925  cphsqrtcl2  25158  ipcau2  25206  trirn  25372  rrxdstprj1  25381  mbfi1fseqlem6  25694  iblabs  25802  iblabsr  25803  iblmulc2  25804  itgabs  25808  bddmulibl  25812  bddiblnc  25815  itgcn  25818  dvlip  25970  dvlipcn  25971  dveq0  25977  dv11cn  25978  plyeq0lem  26189  aalioulem3  26314  mtest  26385  radcnvlem1  26394  radcnvlem2  26395  radcnvlt1  26399  dvradcnv  26402  pserulm  26403  psercnlem2  26406  psercnlem1  26407  pserdvlem1  26409  pserdv  26411  abelthlem5  26417  abelthlem7  26420  abelthlem8  26421  tanregt0  26518  efif1olem3  26523  argregt0  26589  argrege0  26590  logtayllem  26638  logtayl  26639  abscxpbnd  26733  heron  26815  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  rlimcxp  26951  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  lgamgulmlem5  27010  ftalem1  27050  ftalem4  27053  ftalem5  27054  lgsdirprm  27309  lgsdilem2  27311  lgsne0  27313  2sqblem  27409  dchrisumlem2  27468  dchrmusum2  27472  dchrvmasumlem2  27476  dchrvmasumlem3  27477  dchrvmasumiflem1  27479  dchrisum0flblem1  27486  dchrisum0lem2a  27495  mudivsum  27508  mulogsumlem  27509  mulog2sumlem2  27513  selberglem2  27524  selberg3lem2  27536  pntrsumbnd  27544  pntrlog2bndlem1  27555  pntrlog2bndlem2  27556  pntrlog2bndlem3  27557  pntrlog2bndlem5  27559  pntrlog2bndlem6  27561  pntrlog2bnd  27562  pntleml  27589  smcnlem  30579  nmoub3i  30655  nmfnge0  31809  sqsscirc2  33641  dnibndlem11  36094  knoppcnlem4  36102  unblimceq0lem  36112  unblimceq0  36113  knoppndvlem11  36128  knoppndvlem18  36135  mblfinlem2  37262  iblabsnc  37288  iblmulc2nc  37289  itgabsnc  37293  ftc1anclem2  37298  ftc1anclem4  37300  ftc1anclem5  37301  ftc1anclem6  37302  ftc1anclem7  37303  ftc1anclem8  37304  ftc1anc  37305  ftc2nc  37306  dvasin  37308  areacirclem1  37312  areacirclem2  37313  areacirclem4  37315  areacirclem5  37316  areacirc  37317  cntotbnd  37400  rrndstprj1  37434  rrndstprj2  37435  ismrer1  37442  pell14qrgt0  42421  radcnvrat  43893  dvconstbi  43913  binomcxplemnotnn0  43935  abslt2sqd  44880  dvdivbd  45449  dvbdfbdioolem1  45454  dvbdfbdioolem2  45455  ioodvbdlimc1lem1  45457  ioodvbdlimc1lem2  45458  ioodvbdlimc2lem  45460  fourierdlem30  45663  fourierdlem39  45672  fourierdlem47  45679  fourierdlem73  45705  fourierdlem77  45709  fourierdlem87  45719  etransclem23  45783  rrndistlt  45816  smfmullem1  46317  smfmullem2  46318  smfmullem3  46319