Theorem absge0d 15493

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  0cc0 11184   ≤ cle 11325  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15571  mulcn2  15642  o1mul  15661  o1rlimmul  15665  o1fsum  15861  cvgcmpce  15866  explecnv  15913  cvgrat  15931  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  efcllem  16125  eftlub  16157  sqnprm  16749  gzrngunitlem  21473  blcvx  24839  cnheibor  25006  cphsqrtcl2  25239  ipcau2  25287  trirn  25453  rrxdstprj1  25462  mbfi1fseqlem6  25775  iblabs  25884  iblabsr  25885  iblmulc2  25886  itgabs  25890  bddmulibl  25894  bddiblnc  25897  itgcn  25900  dvlip  26052  dvlipcn  26053  dveq0  26059  dv11cn  26060  plyeq0lem  26269  aalioulem3  26394  mtest  26465  radcnvlem1  26474  radcnvlem2  26475  radcnvlt1  26479  dvradcnv  26482  pserulm  26483  psercnlem2  26486  psercnlem1  26487  pserdvlem1  26489  pserdv  26491  abelthlem5  26497  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  tanregt0  26599  efif1olem3  26604  argregt0  26670  argrege0  26671  logtayllem  26719  logtayl  26720  abscxpbnd  26814  heron  26899  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  rlimcxp  27035  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem5  27094  ftalem1  27134  ftalem4  27137  ftalem5  27138  lgsdirprm  27393  lgsdilem2  27395  lgsne0  27397  2sqblem  27493  dchrisumlem2  27552  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0lem2a  27579  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem2  27597  selberglem2  27608  selberg3lem2  27620  pntrsumbnd  27628  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntleml  27673  smcnlem  30729  nmoub3i  30805  nmfnge0  31959  sqsscirc2  33855  dnibndlem11  36454  knoppcnlem4  36462  unblimceq0lem  36472  unblimceq0  36473  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem18  36495  mblfinlem2  37618  iblabsnc  37644  iblmulc2nc  37645  itgabsnc  37649  ftc1anclem2  37654  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  ftc1anc  37661  ftc2nc  37662  dvasin  37664  areacirclem1  37668  areacirclem2  37669  areacirclem4  37671  areacirclem5  37672  areacirc  37673  cntotbnd  37756  rrndstprj1  37790  rrndstprj2  37791  ismrer1  37798  pell14qrgt0  42815  radcnvrat  44283  dvconstbi  44303  binomcxplemnotnn0  44325  abslt2sqd  45275  dvdivbd  45844  dvbdfbdioolem1  45849  dvbdfbdioolem2  45850  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  fourierdlem30  46058  fourierdlem39  46067  fourierdlem47  46074  fourierdlem73  46100  fourierdlem77  46104  fourierdlem87  46114  etransclem23  46178  rrndistlt  46211  smfmullem1  46712  smfmullem2  46713  smfmullem3  46714