Theorem absge0d 15368

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  ℂcc 11022  0cc0 11024   ≤ cle 11165  abscabs 15155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15446  mulcn2  15517  o1mul  15536  o1rlimmul  15540  o1fsum  15734  cvgcmpce  15739  explecnv  15786  cvgrat  15804  mertenslem1  15805  mertenslem2  15806  efcllem  15998  eftlub  16032  sqnprm  16627  gzrngunitlem  21385  blcvx  24740  cnheibor  24908  cphsqrtcl2  25140  ipcau2  25188  trirn  25354  rrxdstprj1  25363  mbfi1fseqlem6  25675  iblabs  25784  iblabsr  25785  iblmulc2  25786  itgabs  25790  bddmulibl  25794  bddiblnc  25797  itgcn  25800  dvlip  25952  dvlipcn  25953  dveq0  25959  dv11cn  25960  plyeq0lem  26169  aalioulem3  26296  mtest  26367  radcnvlem1  26376  radcnvlem2  26377  radcnvlt1  26381  dvradcnv  26384  pserulm  26385  psercnlem2  26388  psercnlem1  26389  pserdvlem1  26391  pserdv  26393  abelthlem5  26399  abelthlem7  26402  abelthlem8  26403  tanregt0  26502  efif1olem3  26507  argregt0  26573  argrege0  26574  logtayllem  26622  logtayl  26623  abscxpbnd  26717  heron  26802  efrlim  26933  efrlimOLD  26934  rlimcxp  26938  lgamgulmlem2  26994  lgamgulmlem3  26995  lgamgulmlem5  26997  ftalem1  27037  ftalem4  27040  ftalem5  27041  lgsdirprm  27296  lgsdilem2  27298  lgsne0  27300  2sqblem  27396  dchrisumlem2  27455  dchrmusum2  27459  dchrvmasumlem2  27463  dchrvmasumlem3  27464  dchrvmasumiflem1  27466  dchrisum0flblem1  27473  dchrisum0lem2a  27482  mudivsum  27495  mulogsumlem  27496  mulog2sumlem2  27500  selberglem2  27511  selberg3lem2  27523  pntrsumbnd  27531  pntrlog2bndlem1  27542  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem3  27544  pntrlog2bndlem5  27546  pntrlog2bndlem6  27548  pntrlog2bnd  27549  pntleml  27576  smcnlem  30721  nmoub3i  30797  nmfnge0  31951  iconstr  33872  constrinvcl  33879  constrabscl  33884  constrsqrtcl  33885  sqsscirc2  34015  dnibndlem11  36631  knoppcnlem4  36639  unblimceq0lem  36649  unblimceq0  36650  knoppndvlem11  36665  knoppndvlem18  36672  mblfinlem2  37798  iblabsnc  37824  iblmulc2nc  37825  itgabsnc  37829  ftc1anclem2  37834  ftc1anclem4  37836  ftc1anclem5  37837  ftc1anclem6  37838  ftc1anclem7  37839  ftc1anclem8  37840  ftc1anc  37841  ftc2nc  37842  dvasin  37844  areacirclem1  37848  areacirclem2  37849  areacirclem4  37851  areacirclem5  37852  areacirc  37853  cntotbnd  37936  rrndstprj1  37970  rrndstprj2  37971  ismrer1  37978  pell14qrgt0  43043  radcnvrat  44497  dvconstbi  44517  binomcxplemnotnn0  44539  abslt2sqd  45547  dvdivbd  46109  dvbdfbdioolem1  46114  dvbdfbdioolem2  46115  ioodvbdlimc1lem1  46117  ioodvbdlimc1lem2  46118  ioodvbdlimc2lem  46120  fourierdlem30  46323  fourierdlem39  46332  fourierdlem47  46339  fourierdlem73  46365  fourierdlem77  46369  fourierdlem87  46379  etransclem23  46443  rrndistlt  46476  smfmullem1  46977  smfmullem2  46978  smfmullem3  46979