Theorem absge0d 15536

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  0cc0 11127   ≤ cle 11271  abscabs 15323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325

This theorem is used by:  lo1bddrp  15614  mulcn2  15685  o1mul  15704  o1rlimmul  15708  o1fsum  15902  cvgcmpce  15907  explecnv  15956  cvgrat  15974  mertenslem1  15975  mertenslem2  15976  efcllem  16167  eftlub  16201  sqnprm  16797  gzrngunitlem  21646  blcvx  25025  cnheibor  25184  cphsqrtcl2  25415  ipcau2  25463  trirn  25629  rrxdstprj1  25638  mbfi1fseqlem6  25949  iblabs  26058  iblabsr  26059  iblmulc2  26060  itgabs  26064  bddmulibl  26068  bddiblnc  26071  itgcn  26074  dvlip  26222  dvlipcn  26223  dveq0  26229  dv11cn  26230  plyeq0lem  26437  aalioulem3  26567  mtest  26637  radcnvlem1  26646  radcnvlem2  26647  radcnvlt1  26651  dvradcnv  26654  pserulm  26655  psercnlem2  26657  psercnlem1  26658  pserdvlem1  26660  pserdv  26662  abelthlem5  26668  abelthlem7  26671  abelthlem8  26672  tanregt0  26774  efif1olem3  26779  argregt0  26845  argrege0  26846  logtayllem  26894  logtayl  26895  abscxpbnd  26988  heron  27073  efrlim  27204  rlimcxp  27208  lgamgulmlem2  27264  lgamgulmlem3  27265  lgamgulmlem5  27267  ftalem1  27307  ftalem4  27310  ftalem5  27311  lgsdirprm  27565  lgsdilem2  27567  lgsne0  27569  2sqblem  27665  dchrisumlem2  27724  dchrmusum2  27728  dchrvmasumlem2  27732  dchrvmasumlem3  27733  dchrvmasumiflem1  27735  dchrisum0flblem1  27742  dchrisum0lem2a  27751  mudivsum  27764  mulogsumlem  27765  mulog2sumlem2  27769  selberglem2  27780  selberg3lem2  27792  pntrsumbnd  27800  pntrlog2bndlem1  27811  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem3  27813  pntrlog2bndlem5  27815  pntrlog2bndlem6  27817  pntrlog2bnd  27818  pntleml  27845  smcnlem  31164  nmoub3i  31240  nmfnge0  32394  iconstr  34263  constrinvcl  34270  constrabscl  34275  constrsqrtcl  34276  sqsscirc2  34406  dnibndlem11  37172  knoppcnlem4  37180  unblimceq0lem  37190  unblimceq0  37191  knoppndvlem11  37206  knoppndvlem18  37213  mblfinlem2  38394  iblabsnc  38420  iblmulc2nc  38421  itgabsnc  38425  ftc1anclem2  38430  ftc1anclem4  38432  ftc1anclem5  38433  ftc1anclem6  38434  ftc1anclem7  38435  ftc1anclem8  38436  ftc1anc  38437  ftc2nc  38438  dvasin  38440  areacirclem1  38444  areacirclem2  38445  areacirclem4  38447  areacirclem5  38448  areacirc  38449  cntotbnd  38533  rrndstprj1  38567  rrndstprj2  38568  ismrer1  38575  pell14qrgt0  43687  radcnvrat  45125  dvconstbi  45145  binomcxplemnotnn0  45167  abslt2sqd  46177  dvdivbd  46738  dvbdfbdioolem1  46743  dvbdfbdioolem2  46744  ioodvbdlimc1lem1  46746  ioodvbdlimc1lem2  46747  ioodvbdlimc2lem  46749  fourierdlem30  46952  fourierdlem39  46961  fourierdlem47  46968  fourierdlem73  46994  fourierdlem77  46998  fourierdlem87  47008  etransclem23  47072  rrndistlt  47105  smfmullem1  47606  smfmullem2  47607  smfmullem3  47608