Theorem absge0d 15505

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15345	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ℂcc 11104  0cc0 11106   ≤ cle 11250  abscabs 15292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294

This theorem is used by:  lo1bddrp  15583  mulcn2  15654  o1mul  15673  o1rlimmul  15677  o1fsum  15872  cvgcmpce  15877  explecnv  15926  cvgrat  15944  mertenslem1  15945  mertenslem2  15946  efcllem  16137  eftlub  16171  sqnprm  16767  gzrngunitlem  21593  blcvx  24966  cnheibor  25125  cphsqrtcl2  25356  ipcau2  25404  trirn  25570  rrxdstprj1  25579  mbfi1fseqlem6  25890  iblabs  25999  iblabsr  26000  iblmulc2  26001  itgabs  26005  bddmulibl  26009  bddiblnc  26012  itgcn  26015  dvlip  26163  dvlipcn  26164  dveq0  26170  dv11cn  26171  plyeq0lem  26378  aalioulem3  26508  mtest  26578  radcnvlem1  26587  radcnvlem2  26588  radcnvlt1  26592  dvradcnv  26595  pserulm  26596  psercnlem2  26598  psercnlem1  26599  pserdvlem1  26601  pserdv  26603  abelthlem5  26609  abelthlem7  26612  abelthlem8  26613  tanregt0  26715  efif1olem3  26720  argregt0  26786  argrege0  26787  logtayllem  26835  logtayl  26836  abscxpbnd  26929  heron  27014  efrlim  27145  rlimcxp  27149  lgamgulmlem2  27205  lgamgulmlem3  27206  lgamgulmlem5  27208  ftalem1  27248  ftalem4  27251  ftalem5  27252  lgsdirprm  27506  lgsdilem2  27508  lgsne0  27510  2sqblem  27606  dchrisumlem2  27665  dchrmusum2  27669  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumlem3  27674  dchrvmasumiflem1  27676  dchrisum0flblem1  27683  dchrisum0lem2a  27692  mudivsum  27705  mulogsumlem  27706  mulog2sumlem2  27710  selberglem2  27721  selberg3lem2  27733  pntrsumbnd  27741  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6  27758  pntrlog2bnd  27759  pntleml  27786  smcnlem  31060  nmoub3i  31136  nmfnge0  32290  iconstr  34165  constrinvcl  34172  constrabscl  34177  constrsqrtcl  34178  sqsscirc2  34308  dnibndlem11  37105  knoppcnlem4  37113  unblimceq0lem  37123  unblimceq0  37124  knoppndvlem11  37139  knoppndvlem18  37146  mblfinlem2  38337  iblabsnc  38363  iblmulc2nc  38364  itgabsnc  38368  ftc1anclem2  38373  ftc1anclem4  38375  ftc1anclem5  38376  ftc1anclem6  38377  ftc1anclem7  38378  ftc1anclem8  38379  ftc1anc  38380  ftc2nc  38381  dvasin  38383  areacirclem1  38387  areacirclem2  38388  areacirclem4  38390  areacirclem5  38391  areacirc  38392  cntotbnd  38475  rrndstprj1  38509  rrndstprj2  38510  ismrer1  38517  pell14qrgt0  43614  radcnvrat  45052  dvconstbi  45072  binomcxplemnotnn0  45094  abslt2sqd  46104  dvdivbd  46665  dvbdfbdioolem1  46670  dvbdfbdioolem2  46671  ioodvbdlimc1lem1  46673  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  fourierdlem30  46879  fourierdlem39  46888  fourierdlem47  46895  fourierdlem73  46921  fourierdlem77  46925  fourierdlem87  46935  etransclem23  46999  rrndistlt  47032  smfmullem1  47533  smfmullem2  47534  smfmullem3  47535