Theorem absge0d 15255

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  ℂcc 10970  0cc0 10972   ≤ cle 11111  abscabs 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15333  mulcn2  15404  o1mul  15423  o1rlimmul  15427  o1fsum  15624  cvgcmpce  15629  explecnv  15676  cvgrat  15694  mertenslem1  15695  mertenslem2  15696  efcllem  15886  eftlub  15917  sqnprm  16504  gzrngunitlem  20769  blcvx  24067  cnheibor  24224  cphsqrtcl2  24456  ipcau2  24504  trirn  24670  rrxdstprj1  24679  mbfi1fseqlem6  24991  iblabs  25099  iblabsr  25100  iblmulc2  25101  itgabs  25105  bddmulibl  25109  bddiblnc  25112  itgcn  25115  dvlip  25263  dvlipcn  25264  dveq0  25270  dv11cn  25271  plyeq0lem  25477  aalioulem3  25600  mtest  25669  radcnvlem1  25678  radcnvlem2  25679  radcnvlt1  25683  dvradcnv  25686  pserulm  25687  psercnlem2  25689  psercnlem1  25690  pserdvlem1  25692  pserdv  25694  abelthlem5  25700  abelthlem7  25703  abelthlem8  25704  tanregt0  25801  efif1olem3  25806  argregt0  25871  argrege0  25872  logtayllem  25920  logtayl  25921  abscxpbnd  26012  heron  26094  efrlim  26225  rlimcxp  26229  lgamgulmlem2  26285  lgamgulmlem3  26286  lgamgulmlem5  26288  ftalem1  26328  ftalem4  26331  ftalem5  26332  lgsdirprm  26585  lgsdilem2  26587  lgsne0  26589  2sqblem  26685  dchrisumlem2  26744  dchrmusum2  26748  dchrvmasumlem2  26752  dchrvmasumlem3  26753  dchrvmasumiflem1  26755  dchrisum0flblem1  26762  dchrisum0lem2a  26771  mudivsum  26784  mulogsumlem  26785  mulog2sumlem2  26789  selberglem2  26800  selberg3lem2  26812  pntrsumbnd  26820  pntrlog2bndlem1  26831  pntrlog2bndlem2  26832  pntrlog2bndlem3  26833  pntrlog2bndlem5  26835  pntrlog2bndlem6  26837  pntrlog2bnd  26838  pntleml  26865  smcnlem  29347  nmoub3i  29423  nmfnge0  30577  sqsscirc2  32157  dnibndlem11  34764  knoppcnlem4  34772  unblimceq0lem  34782  unblimceq0  34783  knoppndvlem11  34798  knoppndvlem18  34805  mblfinlem2  35920  iblabsnc  35946  iblmulc2nc  35947  itgabsnc  35951  ftc1anclem2  35956  ftc1anclem4  35958  ftc1anclem5  35959  ftc1anclem6  35960  ftc1anclem7  35961  ftc1anclem8  35962  ftc1anc  35963  ftc2nc  35964  dvasin  35966  areacirclem1  35970  areacirclem2  35971  areacirclem4  35973  areacirclem5  35974  areacirc  35975  cntotbnd  36059  rrndstprj1  36093  rrndstprj2  36094  ismrer1  36101  pell14qrgt0  40943  radcnvrat  42253  dvconstbi  42273  binomcxplemnotnn0  42295  abslt2sqd  43234  dvdivbd  43800  dvbdfbdioolem1  43805  dvbdfbdioolem2  43806  ioodvbdlimc1lem1  43808  ioodvbdlimc1lem2  43809  ioodvbdlimc2lem  43811  fourierdlem30  44014  fourierdlem39  44023  fourierdlem47  44030  fourierdlem73  44056  fourierdlem77  44060  fourierdlem87  44070  etransclem23  44134  rrndistlt  44167  smfmullem1  44666  smfmullem2  44667  smfmullem3  44668