Theorem absge0d 15640

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15480	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  ℂcc 11222  0cc0 11224   ≤ cle 11368  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429

This theorem is used by:  lo1bddrp  15718  mulcn2  15789  o1mul  15808  o1rlimmul  15812  o1fsum  16006  cvgcmpce  16011  explecnv  16060  cvgrat  16078  mertenslem1  16079  mertenslem2  16080  efcllem  16269  eftlub  16303  sqnprm  16904  gzrngunitlem  21765  blcvx  25144  cnheibor  25303  cphsqrtcl2  25534  ipcau2  25582  trirn  25748  rrxdstprj1  25757  mbfi1fseqlem6  26068  iblabs  26176  iblabsr  26177  iblmulc2  26178  itgabs  26182  bddmulibl  26186  bddiblnc  26189  itgcn  26192  dvlip  26340  dvlipcn  26341  dveq0  26347  dv11cn  26348  plyeq0lem  26556  aalioulem3  26688  mtest  26758  radcnvlem1  26767  radcnvlem2  26768  radcnvlt1  26772  dvradcnv  26775  pserulm  26776  psercnlem2  26778  psercnlem1  26779  pserdvlem1  26781  pserdv  26783  abelthlem5  26789  abelthlem7  26792  abelthlem8  26793  tanregt0  26894  efif1olem3  26899  argregt0  26965  argrege0  26966  logtayllem  27014  logtayl  27015  abscxpbnd  27108  heron  27193  efrlim  27324  rlimcxp  27328  lgamgulmlem2  27384  lgamgulmlem3  27385  lgamgulmlem5  27387  ftalem1  27427  ftalem4  27430  ftalem5  27431  lgsdirprm  27685  lgsdilem2  27687  lgsne0  27689  2sqblem  27785  dchrisumlem2  27844  dchrmusum2  27848  dchrvmasumlem2  27852  dchrvmasumlem3  27853  dchrvmasumiflem1  27855  dchrisum0flblem1  27862  dchrisum0lem2a  27871  mudivsum  27884  mulogsumlem  27885  mulog2sumlem2  27889  selberglem2  27900  selberg3lem2  27912  pntrsumbnd  27920  pntrlog2bndlem1  27931  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem3  27933  pntrlog2bndlem5  27935  pntrlog2bndlem6  27937  pntrlog2bnd  27938  pntleml  27965  smcnlem  31326  nmoub3i  31402  nmfnge0  32556  iconstr  34465  constrinvcl  34472  constrabscl  34477  constrsqrtcl  34478  sqsscirc2  34608  dnibndlem11  37531  knoppcnlem4  37539  unblimceq0lem  37549  unblimceq0  37550  knoppndvlem11  37565  knoppndvlem18  37572  mblfinlem2  38767  iblabsnc  38793  iblmulc2nc  38794  itgabsnc  38798  ftc1anclem2  38803  ftc1anclem4  38805  ftc1anclem5  38806  ftc1anclem6  38807  ftc1anclem7  38808  ftc1anclem8  38809  ftc1anc  38810  ftc2nc  38811  dvasin  38813  areacirclem1  38817  areacirclem2  38818  areacirclem4  38820  areacirclem5  38821  areacirc  38822  cntotbnd  38921  rrndstprj1  38955  rrndstprj2  38956  ismrer1  38963  pell14qrgt0  44057  radcnvrat  45488  dvconstbi  45508  binomcxplemnotnn0  45530  abslt2sqd  46575  dvdivbd  47136  dvbdfbdioolem1  47141  dvbdfbdioolem2  47142  ioodvbdlimc1lem1  47144  ioodvbdlimc1lem2  47145  ioodvbdlimc2lem  47147  fourierdlem30  47350  fourierdlem39  47359  fourierdlem47  47366  fourierdlem73  47392  fourierdlem77  47396  fourierdlem87  47406  etransclem23  47470  rrndistlt  47503  smfmullem1  48004  smfmullem2  48005  smfmullem3  48006