Theorem absge0d 15409

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  ℂcc 11036  0cc0 11038   ≤ cle 11180  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15487  mulcn2  15558  o1mul  15577  o1rlimmul  15581  o1fsum  15776  cvgcmpce  15781  explecnv  15830  cvgrat  15848  mertenslem1  15849  mertenslem2  15850  efcllem  16042  eftlub  16076  sqnprm  16672  gzrngunitlem  21412  blcvx  24763  cnheibor  24922  cphsqrtcl2  25153  ipcau2  25201  trirn  25367  rrxdstprj1  25376  mbfi1fseqlem6  25687  iblabs  25796  iblabsr  25797  iblmulc2  25798  itgabs  25802  bddmulibl  25806  bddiblnc  25809  itgcn  25812  dvlip  25960  dvlipcn  25961  dveq0  25967  dv11cn  25968  plyeq0lem  26175  aalioulem3  26300  mtest  26369  radcnvlem1  26378  radcnvlem2  26379  radcnvlt1  26383  dvradcnv  26386  pserulm  26387  psercnlem2  26389  psercnlem1  26390  pserdvlem1  26392  pserdv  26394  abelthlem5  26400  abelthlem7  26403  abelthlem8  26404  tanregt0  26503  efif1olem3  26508  argregt0  26574  argrege0  26575  logtayllem  26623  logtayl  26624  abscxpbnd  26717  heron  26802  efrlim  26933  rlimcxp  26937  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem5  26996  ftalem1  27036  ftalem4  27039  ftalem5  27040  lgsdirprm  27294  lgsdilem2  27296  lgsne0  27298  2sqblem  27394  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0lem2a  27480  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulog2sumlem2  27498  selberglem2  27509  selberg3lem2  27521  pntrsumbnd  27529  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntleml  27574  smcnlem  30768  nmoub3i  30844  nmfnge0  31998  iconstr  33910  constrinvcl  33917  constrabscl  33922  constrsqrtcl  33923  sqsscirc2  34053  dnibndlem11  36748  knoppcnlem4  36756  unblimceq0lem  36766  unblimceq0  36767  knoppndvlem11  36782  knoppndvlem18  36789  mblfinlem2  37979  iblabsnc  38005  iblmulc2nc  38006  itgabsnc  38010  ftc1anclem2  38015  ftc1anclem4  38017  ftc1anclem5  38018  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  ftc1anc  38022  ftc2nc  38023  dvasin  38025  areacirclem1  38029  areacirclem2  38030  areacirclem4  38032  areacirclem5  38033  areacirc  38034  cntotbnd  38117  rrndstprj1  38151  rrndstprj2  38152  ismrer1  38159  pell14qrgt0  43287  radcnvrat  44741  dvconstbi  44761  binomcxplemnotnn0  44783  abslt2sqd  45790  dvdivbd  46351  dvbdfbdioolem1  46356  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  fourierdlem30  46565  fourierdlem39  46574  fourierdlem47  46581  fourierdlem73  46607  fourierdlem77  46611  fourierdlem87  46621  etransclem23  46685  rrndistlt  46718  smfmullem1  47219  smfmullem2  47220  smfmullem3  47221