Theorem absge0d 15384

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  ℂcc 11038  0cc0 11040   ≤ cle 11181  abscabs 15171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15462  mulcn2  15533  o1mul  15552  o1rlimmul  15556  o1fsum  15750  cvgcmpce  15755  explecnv  15802  cvgrat  15820  mertenslem1  15821  mertenslem2  15822  efcllem  16014  eftlub  16048  sqnprm  16643  gzrngunitlem  21404  blcvx  24759  cnheibor  24927  cphsqrtcl2  25159  ipcau2  25207  trirn  25373  rrxdstprj1  25382  mbfi1fseqlem6  25694  iblabs  25803  iblabsr  25804  iblmulc2  25805  itgabs  25809  bddmulibl  25813  bddiblnc  25816  itgcn  25819  dvlip  25971  dvlipcn  25972  dveq0  25978  dv11cn  25979  plyeq0lem  26188  aalioulem3  26315  mtest  26386  radcnvlem1  26395  radcnvlem2  26396  radcnvlt1  26400  dvradcnv  26403  pserulm  26404  psercnlem2  26407  psercnlem1  26408  pserdvlem1  26410  pserdv  26412  abelthlem5  26418  abelthlem7  26421  abelthlem8  26422  tanregt0  26521  efif1olem3  26526  argregt0  26592  argrege0  26593  logtayllem  26641  logtayl  26642  abscxpbnd  26736  heron  26821  efrlim  26952  efrlimOLD  26953  rlimcxp  26957  lgamgulmlem2  27013  lgamgulmlem3  27014  lgamgulmlem5  27016  ftalem1  27056  ftalem4  27059  ftalem5  27060  lgsdirprm  27315  lgsdilem2  27317  lgsne0  27319  2sqblem  27415  dchrisumlem2  27474  dchrmusum2  27478  dchrvmasumlem2  27482  dchrvmasumlem3  27483  dchrvmasumiflem1  27485  dchrisum0flblem1  27492  dchrisum0lem2a  27501  mudivsum  27514  mulogsumlem  27515  mulog2sumlem2  27519  selberglem2  27530  selberg3lem2  27542  pntrsumbnd  27550  pntrlog2bndlem1  27561  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem3  27563  pntrlog2bndlem5  27565  pntrlog2bndlem6  27567  pntrlog2bnd  27568  pntleml  27595  smcnlem  30791  nmoub3i  30867  nmfnge0  32021  iconstr  33950  constrinvcl  33957  constrabscl  33962  constrsqrtcl  33963  sqsscirc2  34093  dnibndlem11  36716  knoppcnlem4  36724  unblimceq0lem  36734  unblimceq0  36735  knoppndvlem11  36750  knoppndvlem18  36757  mblfinlem2  37938  iblabsnc  37964  iblmulc2nc  37965  itgabsnc  37969  ftc1anclem2  37974  ftc1anclem4  37976  ftc1anclem5  37977  ftc1anclem6  37978  ftc1anclem7  37979  ftc1anclem8  37980  ftc1anc  37981  ftc2nc  37982  dvasin  37984  areacirclem1  37988  areacirclem2  37989  areacirclem4  37991  areacirclem5  37992  areacirc  37993  cntotbnd  38076  rrndstprj1  38110  rrndstprj2  38111  ismrer1  38118  pell14qrgt0  43245  radcnvrat  44699  dvconstbi  44719  binomcxplemnotnn0  44741  abslt2sqd  45748  dvdivbd  46310  dvbdfbdioolem1  46315  dvbdfbdioolem2  46316  ioodvbdlimc1lem1  46318  ioodvbdlimc1lem2  46319  ioodvbdlimc2lem  46321  fourierdlem30  46524  fourierdlem39  46533  fourierdlem47  46540  fourierdlem73  46566  fourierdlem77  46570  fourierdlem87  46580  etransclem23  46644  rrndistlt  46677  smfmullem1  47178  smfmullem2  47179  smfmullem3  47180