Theorem absge0d 15374

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  ℂcc 11028  0cc0 11030   ≤ cle 11171  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15452  mulcn2  15523  o1mul  15542  o1rlimmul  15546  o1fsum  15740  cvgcmpce  15745  explecnv  15792  cvgrat  15810  mertenslem1  15811  mertenslem2  15812  efcllem  16004  eftlub  16038  sqnprm  16633  gzrngunitlem  21391  blcvx  24746  cnheibor  24914  cphsqrtcl2  25146  ipcau2  25194  trirn  25360  rrxdstprj1  25369  mbfi1fseqlem6  25681  iblabs  25790  iblabsr  25791  iblmulc2  25792  itgabs  25796  bddmulibl  25800  bddiblnc  25803  itgcn  25806  dvlip  25958  dvlipcn  25959  dveq0  25965  dv11cn  25966  plyeq0lem  26175  aalioulem3  26302  mtest  26373  radcnvlem1  26382  radcnvlem2  26383  radcnvlt1  26387  dvradcnv  26390  pserulm  26391  psercnlem2  26394  psercnlem1  26395  pserdvlem1  26397  pserdv  26399  abelthlem5  26405  abelthlem7  26408  abelthlem8  26409  tanregt0  26508  efif1olem3  26513  argregt0  26579  argrege0  26580  logtayllem  26628  logtayl  26629  abscxpbnd  26723  heron  26808  efrlim  26939  efrlimOLD  26940  rlimcxp  26944  lgamgulmlem2  27000  lgamgulmlem3  27001  lgamgulmlem5  27003  ftalem1  27043  ftalem4  27046  ftalem5  27047  lgsdirprm  27302  lgsdilem2  27304  lgsne0  27306  2sqblem  27402  dchrisumlem2  27461  dchrmusum2  27465  dchrvmasumlem2  27469  dchrvmasumlem3  27470  dchrvmasumiflem1  27472  dchrisum0flblem1  27479  dchrisum0lem2a  27488  mudivsum  27501  mulogsumlem  27502  mulog2sumlem2  27506  selberglem2  27517  selberg3lem2  27529  pntrsumbnd  27537  pntrlog2bndlem1  27548  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem3  27550  pntrlog2bndlem5  27552  pntrlog2bndlem6  27554  pntrlog2bnd  27555  pntleml  27582  smcnlem  30776  nmoub3i  30852  nmfnge0  32006  iconstr  33925  constrinvcl  33932  constrabscl  33937  constrsqrtcl  33938  sqsscirc2  34068  dnibndlem11  36690  knoppcnlem4  36698  unblimceq0lem  36708  unblimceq0  36709  knoppndvlem11  36724  knoppndvlem18  36731  mblfinlem2  37861  iblabsnc  37887  iblmulc2nc  37888  itgabsnc  37892  ftc1anclem2  37897  ftc1anclem4  37899  ftc1anclem5  37900  ftc1anclem6  37901  ftc1anclem7  37902  ftc1anclem8  37903  ftc1anc  37904  ftc2nc  37905  dvasin  37907  areacirclem1  37911  areacirclem2  37912  areacirclem4  37914  areacirclem5  37915  areacirc  37916  cntotbnd  37999  rrndstprj1  38033  rrndstprj2  38034  ismrer1  38041  pell14qrgt0  43168  radcnvrat  44622  dvconstbi  44642  binomcxplemnotnn0  44664  abslt2sqd  45672  dvdivbd  46234  dvbdfbdioolem1  46239  dvbdfbdioolem2  46240  ioodvbdlimc1lem1  46242  ioodvbdlimc1lem2  46243  ioodvbdlimc2lem  46245  fourierdlem30  46448  fourierdlem39  46457  fourierdlem47  46464  fourierdlem73  46490  fourierdlem77  46494  fourierdlem87  46504  etransclem23  46568  rrndistlt  46601  smfmullem1  47102  smfmullem2  47103  smfmullem3  47104