Theorem absge0d 15420

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  0cc0 11075   ≤ cle 11216  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15498  mulcn2  15569  o1mul  15588  o1rlimmul  15592  o1fsum  15786  cvgcmpce  15791  explecnv  15838  cvgrat  15856  mertenslem1  15857  mertenslem2  15858  efcllem  16050  eftlub  16084  sqnprm  16679  gzrngunitlem  21356  blcvx  24693  cnheibor  24861  cphsqrtcl2  25093  ipcau2  25141  trirn  25307  rrxdstprj1  25316  mbfi1fseqlem6  25628  iblabs  25737  iblabsr  25738  iblmulc2  25739  itgabs  25743  bddmulibl  25747  bddiblnc  25750  itgcn  25753  dvlip  25905  dvlipcn  25906  dveq0  25912  dv11cn  25913  plyeq0lem  26122  aalioulem3  26249  mtest  26320  radcnvlem1  26329  radcnvlem2  26330  radcnvlt1  26334  dvradcnv  26337  pserulm  26338  psercnlem2  26341  psercnlem1  26342  pserdvlem1  26344  pserdv  26346  abelthlem5  26352  abelthlem7  26355  abelthlem8  26356  tanregt0  26455  efif1olem3  26460  argregt0  26526  argrege0  26527  logtayllem  26575  logtayl  26576  abscxpbnd  26670  heron  26755  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  rlimcxp  26891  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamgulmlem5  26950  ftalem1  26990  ftalem4  26993  ftalem5  26994  lgsdirprm  27249  lgsdilem2  27251  lgsne0  27253  2sqblem  27349  dchrisumlem2  27408  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumlem3  27417  dchrvmasumiflem1  27419  dchrisum0flblem1  27426  dchrisum0lem2a  27435  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  mulog2sumlem2  27453  selberglem2  27464  selberg3lem2  27476  pntrsumbnd  27484  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntleml  27529  smcnlem  30633  nmoub3i  30709  nmfnge0  31863  iconstr  33763  constrinvcl  33770  constrabscl  33775  constrsqrtcl  33776  sqsscirc2  33906  dnibndlem11  36483  knoppcnlem4  36491  unblimceq0lem  36501  unblimceq0  36502  knoppndvlem11  36517  knoppndvlem18  36524  mblfinlem2  37659  iblabsnc  37685  iblmulc2nc  37686  itgabsnc  37690  ftc1anclem2  37695  ftc1anclem4  37697  ftc1anclem5  37698  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem7  37700  ftc1anclem8  37701  ftc1anc  37702  ftc2nc  37703  dvasin  37705  areacirclem1  37709  areacirclem2  37710  areacirclem4  37712  areacirclem5  37713  areacirc  37714  cntotbnd  37797  rrndstprj1  37831  rrndstprj2  37832  ismrer1  37839  pell14qrgt0  42854  radcnvrat  44310  dvconstbi  44330  binomcxplemnotnn0  44352  abslt2sqd  45363  dvdivbd  45928  dvbdfbdioolem1  45933  dvbdfbdioolem2  45934  ioodvbdlimc1lem1  45936  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  fourierdlem30  46142  fourierdlem39  46151  fourierdlem47  46158  fourierdlem73  46184  fourierdlem77  46188  fourierdlem87  46198  etransclem23  46262  rrndistlt  46295  smfmullem1  46796  smfmullem2  46797  smfmullem3  46798