Theorem absge0d 14798

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 14641	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  ℂcc 10529  0cc0 10531   ≤ cle 10670  abscabs 14587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14876  mulcn2  14946  o1mul  14965  o1rlimmul  14969  o1fsum  15162  cvgcmpce  15167  explecnv  15214  cvgrat  15233  mertenslem1  15234  mertenslem2  15235  efcllem  15425  eftlub  15456  sqnprm  16040  gzrngunitlem  20604  blcvx  23400  cnheibor  23553  cphsqrtcl2  23784  ipcau2  23831  trirn  23997  rrxdstprj1  24006  mbfi1fseqlem6  24315  iblabs  24423  iblabsr  24424  iblmulc2  24425  itgabs  24429  bddmulibl  24433  itgcn  24437  dvlip  24584  dvlipcn  24585  dveq0  24591  dv11cn  24592  plyeq0lem  24794  aalioulem3  24917  mtest  24986  radcnvlem1  24995  radcnvlem2  24996  radcnvlt1  25000  dvradcnv  25003  pserulm  25004  psercnlem2  25006  psercnlem1  25007  pserdvlem1  25009  pserdv  25011  abelthlem5  25017  abelthlem7  25020  abelthlem8  25021  tanregt0  25117  efif1olem3  25122  argregt0  25187  argrege0  25188  logtayllem  25236  logtayl  25237  abscxpbnd  25328  heron  25410  efrlim  25541  rlimcxp  25545  lgamgulmlem2  25601  lgamgulmlem3  25602  lgamgulmlem5  25604  ftalem1  25644  ftalem4  25647  ftalem5  25648  lgsdirprm  25901  lgsdilem2  25903  lgsne0  25905  2sqblem  26001  dchrisumlem2  26060  dchrmusum2  26064  dchrvmasumlem2  26068  dchrvmasumlem3  26069  dchrvmasumiflem1  26071  dchrisum0flblem1  26078  dchrisum0lem2a  26087  mudivsum  26100  mulogsumlem  26101  mulog2sumlem2  26105  selberglem2  26116  selberg3lem2  26128  pntrsumbnd  26136  pntrlog2bndlem1  26147  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem3  26149  pntrlog2bndlem5  26151  pntrlog2bndlem6  26153  pntrlog2bnd  26154  pntleml  26181  smcnlem  28468  nmoub3i  28544  nmfnge0  29698  sqsscirc2  31147  dnibndlem11  33822  knoppcnlem4  33830  unblimceq0lem  33840  unblimceq0  33841  knoppndvlem11  33856  knoppndvlem18  33863  mblfinlem2  34924  iblabsnc  34950  iblmulc2nc  34951  itgabsnc  34955  bddiblnc  34956  ftc1anclem2  34962  ftc1anclem4  34964  ftc1anclem5  34965  ftc1anclem6  34966  ftc1anclem7  34967  ftc1anclem8  34968  ftc1anc  34969  ftc2nc  34970  dvasin  34972  areacirclem1  34976  areacirclem2  34977  areacirclem4  34979  areacirclem5  34980  areacirc  34981  cntotbnd  35068  rrndstprj1  35102  rrndstprj2  35103  ismrer1  35110  pell14qrgt0  39449  radcnvrat  40639  dvconstbi  40659  binomcxplemnotnn0  40681  abslt2sqd  41620  dvdivbd  42200  dvbdfbdioolem1  42205  dvbdfbdioolem2  42206  ioodvbdlimc1lem1  42208  ioodvbdlimc1lem2  42209  ioodvbdlimc2lem  42211  fourierdlem30  42415  fourierdlem39  42424  fourierdlem47  42431  fourierdlem73  42457  fourierdlem77  42461  fourierdlem87  42471  etransclem23  42535  rrndistlt  42568  smfmullem1  43059  smfmullem2  43060  smfmullem3  43061