Theorem absge0d 15413

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15253	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℂcc 11066  0cc0 11068   ≤ cle 11209  abscabs 15200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15491  mulcn2  15562  o1mul  15581  o1rlimmul  15585  o1fsum  15779  cvgcmpce  15784  explecnv  15831  cvgrat  15849  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  efcllem  16043  eftlub  16077  sqnprm  16672  gzrngunitlem  21349  blcvx  24686  cnheibor  24854  cphsqrtcl2  25086  ipcau2  25134  trirn  25300  rrxdstprj1  25309  mbfi1fseqlem6  25621  iblabs  25730  iblabsr  25731  iblmulc2  25732  itgabs  25736  bddmulibl  25740  bddiblnc  25743  itgcn  25746  dvlip  25898  dvlipcn  25899  dveq0  25905  dv11cn  25906  plyeq0lem  26115  aalioulem3  26242  mtest  26313  radcnvlem1  26322  radcnvlem2  26323  radcnvlt1  26327  dvradcnv  26330  pserulm  26331  psercnlem2  26334  psercnlem1  26335  pserdvlem1  26337  pserdv  26339  abelthlem5  26345  abelthlem7  26348  abelthlem8  26349  tanregt0  26448  efif1olem3  26453  argregt0  26519  argrege0  26520  logtayllem  26568  logtayl  26569  abscxpbnd  26663  heron  26748  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  rlimcxp  26884  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem5  26943  ftalem1  26983  ftalem4  26986  ftalem5  26987  lgsdirprm  27242  lgsdilem2  27244  lgsne0  27246  2sqblem  27342  dchrisumlem2  27401  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0lem2a  27428  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulog2sumlem2  27446  selberglem2  27457  selberg3lem2  27469  pntrsumbnd  27477  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntleml  27522  smcnlem  30626  nmoub3i  30702  nmfnge0  31856  iconstr  33756  constrinvcl  33763  constrabscl  33768  constrsqrtcl  33769  sqsscirc2  33899  dnibndlem11  36476  knoppcnlem4  36484  unblimceq0lem  36494  unblimceq0  36495  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem18  36517  mblfinlem2  37652  iblabsnc  37678  iblmulc2nc  37679  itgabsnc  37683  ftc1anclem2  37688  ftc1anclem4  37690  ftc1anclem5  37691  ftc1anclem6  37692  ftc1anclem7  37693  ftc1anclem8  37694  ftc1anc  37695  ftc2nc  37696  dvasin  37698  areacirclem1  37702  areacirclem2  37703  areacirclem4  37705  areacirclem5  37706  areacirc  37707  cntotbnd  37790  rrndstprj1  37824  rrndstprj2  37825  ismrer1  37832  pell14qrgt0  42847  radcnvrat  44303  dvconstbi  44323  binomcxplemnotnn0  44345  abslt2sqd  45356  dvdivbd  45921  dvbdfbdioolem1  45926  dvbdfbdioolem2  45927  ioodvbdlimc1lem1  45929  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  fourierdlem30  46135  fourierdlem39  46144  fourierdlem47  46151  fourierdlem73  46177  fourierdlem77  46181  fourierdlem87  46191  etransclem23  46255  rrndistlt  46288  smfmullem1  46789  smfmullem2  46790  smfmullem3  46791