Theorem absge0d 15156

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 14999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  0cc0 10871   ≤ cle 11010  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15234  mulcn2  15305  o1mul  15324  o1rlimmul  15328  o1fsum  15525  cvgcmpce  15530  explecnv  15577  cvgrat  15595  mertenslem1  15596  mertenslem2  15597  efcllem  15787  eftlub  15818  sqnprm  16407  gzrngunitlem  20663  blcvx  23961  cnheibor  24118  cphsqrtcl2  24350  ipcau2  24398  trirn  24564  rrxdstprj1  24573  mbfi1fseqlem6  24885  iblabs  24993  iblabsr  24994  iblmulc2  24995  itgabs  24999  bddmulibl  25003  bddiblnc  25006  itgcn  25009  dvlip  25157  dvlipcn  25158  dveq0  25164  dv11cn  25165  plyeq0lem  25371  aalioulem3  25494  mtest  25563  radcnvlem1  25572  radcnvlem2  25573  radcnvlt1  25577  dvradcnv  25580  pserulm  25581  psercnlem2  25583  psercnlem1  25584  pserdvlem1  25586  pserdv  25588  abelthlem5  25594  abelthlem7  25597  abelthlem8  25598  tanregt0  25695  efif1olem3  25700  argregt0  25765  argrege0  25766  logtayllem  25814  logtayl  25815  abscxpbnd  25906  heron  25988  efrlim  26119  rlimcxp  26123  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamgulmlem5  26182  ftalem1  26222  ftalem4  26225  ftalem5  26226  lgsdirprm  26479  lgsdilem2  26481  lgsne0  26483  2sqblem  26579  dchrisumlem2  26638  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem2  26646  dchrvmasumlem3  26647  dchrvmasumiflem1  26649  dchrisum0flblem1  26656  dchrisum0lem2a  26665  mudivsum  26678  mulogsumlem  26679  mulog2sumlem2  26683  selberglem2  26694  selberg3lem2  26706  pntrsumbnd  26714  pntrlog2bndlem1  26725  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bndlem6  26731  pntrlog2bnd  26732  pntleml  26759  smcnlem  29059  nmoub3i  29135  nmfnge0  30289  sqsscirc2  31859  dnibndlem11  34668  knoppcnlem4  34676  unblimceq0lem  34686  unblimceq0  34687  knoppndvlem11  34702  knoppndvlem18  34709  mblfinlem2  35815  iblabsnc  35841  iblmulc2nc  35842  itgabsnc  35846  ftc1anclem2  35851  ftc1anclem4  35853  ftc1anclem5  35854  ftc1anclem6  35855  ftc1anclem7  35856  ftc1anclem8  35857  ftc1anc  35858  ftc2nc  35859  dvasin  35861  areacirclem1  35865  areacirclem2  35866  areacirclem4  35868  areacirclem5  35869  areacirc  35870  cntotbnd  35954  rrndstprj1  35988  rrndstprj2  35989  ismrer1  35996  pell14qrgt0  40681  radcnvrat  41932  dvconstbi  41952  binomcxplemnotnn0  41974  abslt2sqd  42899  dvdivbd  43464  dvbdfbdioolem1  43469  dvbdfbdioolem2  43470  ioodvbdlimc1lem1  43472  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  fourierdlem30  43678  fourierdlem39  43687  fourierdlem47  43694  fourierdlem73  43720  fourierdlem77  43724  fourierdlem87  43734  etransclem23  43798  rrndistlt  43831  smfmullem1  44325  smfmullem2  44326  smfmullem3  44327