Theorem absge0d 15354

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15194	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  0cc0 11009   ≤ cle 11150  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15432  mulcn2  15503  o1mul  15522  o1rlimmul  15526  o1fsum  15720  cvgcmpce  15725  explecnv  15772  cvgrat  15790  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  efcllem  15984  eftlub  16018  sqnprm  16613  gzrngunitlem  21339  blcvx  24684  cnheibor  24852  cphsqrtcl2  25084  ipcau2  25132  trirn  25298  rrxdstprj1  25307  mbfi1fseqlem6  25619  iblabs  25728  iblabsr  25729  iblmulc2  25730  itgabs  25734  bddmulibl  25738  bddiblnc  25741  itgcn  25744  dvlip  25896  dvlipcn  25897  dveq0  25903  dv11cn  25904  plyeq0lem  26113  aalioulem3  26240  mtest  26311  radcnvlem1  26320  radcnvlem2  26321  radcnvlt1  26325  dvradcnv  26328  pserulm  26329  psercnlem2  26332  psercnlem1  26333  pserdvlem1  26335  pserdv  26337  abelthlem5  26343  abelthlem7  26346  abelthlem8  26347  tanregt0  26446  efif1olem3  26451  argregt0  26517  argrege0  26518  logtayllem  26566  logtayl  26567  abscxpbnd  26661  heron  26746  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  rlimcxp  26882  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem5  26941  ftalem1  26981  ftalem4  26984  ftalem5  26985  lgsdirprm  27240  lgsdilem2  27242  lgsne0  27244  2sqblem  27340  dchrisumlem2  27399  dchrmusum2  27403  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumlem3  27408  dchrvmasumiflem1  27410  dchrisum0flblem1  27417  dchrisum0lem2a  27426  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  mulog2sumlem2  27444  selberglem2  27455  selberg3lem2  27467  pntrsumbnd  27475  pntrlog2bndlem1  27486  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem3  27488  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntrlog2bnd  27493  pntleml  27520  smcnlem  30641  nmoub3i  30717  nmfnge0  31871  iconstr  33739  constrinvcl  33746  constrabscl  33751  constrsqrtcl  33752  sqsscirc2  33882  dnibndlem11  36472  knoppcnlem4  36480  unblimceq0lem  36490  unblimceq0  36491  knoppndvlem11  36506  knoppndvlem18  36513  mblfinlem2  37648  iblabsnc  37674  iblmulc2nc  37675  itgabsnc  37679  ftc1anclem2  37684  ftc1anclem4  37686  ftc1anclem5  37687  ftc1anclem6  37688  ftc1anclem7  37689  ftc1anclem8  37690  ftc1anc  37691  ftc2nc  37692  dvasin  37694  areacirclem1  37698  areacirclem2  37699  areacirclem4  37701  areacirclem5  37702  areacirc  37703  cntotbnd  37786  rrndstprj1  37820  rrndstprj2  37821  ismrer1  37828  pell14qrgt0  42842  radcnvrat  44297  dvconstbi  44317  binomcxplemnotnn0  44339  abslt2sqd  45350  dvdivbd  45914  dvbdfbdioolem1  45919  dvbdfbdioolem2  45920  ioodvbdlimc1lem1  45922  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  fourierdlem30  46128  fourierdlem39  46137  fourierdlem47  46144  fourierdlem73  46170  fourierdlem77  46174  fourierdlem87  46184  etransclem23  46248  rrndistlt  46281  smfmullem1  46782  smfmullem2  46783  smfmullem3  46784