Theorem absge0d 15463

Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absge0 15306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ℂcc 11127  0cc0 11129   ≤ cle 11270  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15541  mulcn2  15612  o1mul  15631  o1rlimmul  15635  o1fsum  15829  cvgcmpce  15834  explecnv  15881  cvgrat  15899  mertenslem1  15900  mertenslem2  15901  efcllem  16093  eftlub  16127  sqnprm  16721  gzrngunitlem  21400  blcvx  24737  cnheibor  24905  cphsqrtcl2  25138  ipcau2  25186  trirn  25352  rrxdstprj1  25361  mbfi1fseqlem6  25673  iblabs  25782  iblabsr  25783  iblmulc2  25784  itgabs  25788  bddmulibl  25792  bddiblnc  25795  itgcn  25798  dvlip  25950  dvlipcn  25951  dveq0  25957  dv11cn  25958  plyeq0lem  26167  aalioulem3  26294  mtest  26365  radcnvlem1  26374  radcnvlem2  26375  radcnvlt1  26379  dvradcnv  26382  pserulm  26383  psercnlem2  26386  psercnlem1  26387  pserdvlem1  26389  pserdv  26391  abelthlem5  26397  abelthlem7  26400  abelthlem8  26401  tanregt0  26500  efif1olem3  26505  argregt0  26571  argrege0  26572  logtayllem  26620  logtayl  26621  abscxpbnd  26715  heron  26800  efrlim  26931  efrlimOLD  26932  rlimcxp  26936  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  lgamgulmlem5  26995  ftalem1  27035  ftalem4  27038  ftalem5  27039  lgsdirprm  27294  lgsdilem2  27296  lgsne0  27298  2sqblem  27394  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0lem2a  27480  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulog2sumlem2  27498  selberglem2  27509  selberg3lem2  27521  pntrsumbnd  27529  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntleml  27574  smcnlem  30678  nmoub3i  30754  nmfnge0  31908  iconstr  33800  constrinvcl  33807  constrabscl  33812  constrsqrtcl  33813  sqsscirc2  33940  dnibndlem11  36506  knoppcnlem4  36514  unblimceq0lem  36524  unblimceq0  36525  knoppndvlem11  36540  knoppndvlem18  36547  mblfinlem2  37682  iblabsnc  37708  iblmulc2nc  37709  itgabsnc  37713  ftc1anclem2  37718  ftc1anclem4  37720  ftc1anclem5  37721  ftc1anclem6  37722  ftc1anclem7  37723  ftc1anclem8  37724  ftc1anc  37725  ftc2nc  37726  dvasin  37728  areacirclem1  37732  areacirclem2  37733  areacirclem4  37735  areacirclem5  37736  areacirc  37737  cntotbnd  37820  rrndstprj1  37854  rrndstprj2  37855  ismrer1  37862  pell14qrgt0  42882  radcnvrat  44338  dvconstbi  44358  binomcxplemnotnn0  44380  abslt2sqd  45387  dvdivbd  45952  dvbdfbdioolem1  45957  dvbdfbdioolem2  45958  ioodvbdlimc1lem1  45960  ioodvbdlimc1lem2  45961  ioodvbdlimc2lem  45963  fourierdlem30  46166  fourierdlem39  46175  fourierdlem47  46182  fourierdlem73  46208  fourierdlem77  46212  fourierdlem87  46222  etransclem23  46286  rrndistlt  46319  smfmullem1  46820  smfmullem2  46821  smfmullem3  46822