Theorem etransclem41 46266

Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem41.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp	⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem41	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem41

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem41.mp	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2		etransclem41.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnred 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5		etransclem41.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		prmnn 16620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
9	4, 8	ltnled 11297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
10	1, 9	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
11	7	nnzd 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12	11, 3	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15		dvdsle 16256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
17	10, 16	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18		fzfid 13914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19		elfzelz 13461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
20	19	znegcld 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
23	18, 22	fprodabs2 45586	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗))
24	23	mptru 1547	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗)
25	19	zcnd 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
26	25	absnegd 15394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = (abs‘𝑗))
27	19	zred 12614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28		0red 11153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30		0lt1 11676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32		elfzle1 13464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
33	28, 29, 27, 31, 32	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
34	28, 27, 33	ltled 11298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
35	27, 34	absidd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
36	26, 35	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = 𝑗)
37	36	prodeq2i 15860	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
38	24, 37	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39		fprodfac 15915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
40	2, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
41	38, 40	eqtr4id 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = (!‘𝑀))
42	41	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
43	17, 42	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
44		fzfid 13914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
45	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
46	44, 45	fprodzcl 15896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ)
47		dvdsabsb 16221	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
48	11, 46, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
49	43, 48	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)
50		prmdvdsexp 16661	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
51	5, 46, 7, 50	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
52	49, 51	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
53		etransclem41.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
54		etransclem11 46236	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
55		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
56	55	ifbid 4508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
57	56	cbvmptv 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
58	7, 2, 53, 54, 57	etransclem35 46260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
59	58	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
60	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
61	44, 60	fprodcl 15894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℂ)
62	7	nnnn0d 12479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
63	61, 62	expcld 14087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
64		nnm1nn0 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 14225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
69	63, 67, 68	divcan3d 11939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
70	59, 69	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
71	70	breq2d 5114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
72	52, 71	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3402  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ↑cexp 14002  !cfa 14214  abscabs 15176  Σcsu 15628  ∏cprod 15845   ∥ cdvds 16198  ℙcprime 16617   D^𝑛 cdvn 25798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-prod 15846  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-dvn 25802

This theorem is referenced by:  etransclem44  46269