Theorem etransclem41 46304

Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem41.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp	⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem41	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem41

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem41.mp	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2		etransclem41.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnred 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5		etransclem41.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		prmnn 16693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
9	4, 8	ltnled 11382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
10	1, 9	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
11	7	nnzd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12	11, 3	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15		dvdsle 16329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
17	10, 16	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18		fzfid 13991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19		elfzelz 13541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
20	19	znegcld 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
23	18, 22	fprodabs2 45624	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗))
24	23	mptru 1547	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗)
25	19	zcnd 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
26	25	absnegd 15468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = (abs‘𝑗))
27	19	zred 12697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28		0red 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30		0lt1 11759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32		elfzle1 13544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
33	28, 29, 27, 31, 32	ltletrd 11395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
34	28, 27, 33	ltled 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
35	27, 34	absidd 15441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
36	26, 35	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = 𝑗)
37	36	prodeq2i 15934	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
38	24, 37	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39		fprodfac 15989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
40	2, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
41	38, 40	eqtr4id 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = (!‘𝑀))
42	41	breq2d 5131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
43	17, 42	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
44		fzfid 13991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
45	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
46	44, 45	fprodzcl 15970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ)
47		dvdsabsb 16295	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
48	11, 46, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
49	43, 48	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)
50		prmdvdsexp 16734	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
51	5, 46, 7, 50	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
52	49, 51	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
53		etransclem41.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
54		etransclem11 46274	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
55		eqeq1 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
56	55	ifbid 4524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
57	56	cbvmptv 5225	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
58	7, 2, 53, 54, 57	etransclem35 46298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
59	58	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
60	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
61	44, 60	fprodcl 15968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℂ)
62	7	nnnn0d 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
63	61, 62	expcld 14164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
64		nnm1nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 14302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
69	63, 67, 68	divcan3d 12022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
70	59, 69	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
71	70	breq2d 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
72	52, 71	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  {crab 3415  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  !cfa 14291  abscabs 15253  Σcsu 15702  ∏cprod 15919   ∥ cdvds 16272  ℙcprime 16690   D^𝑛 cdvn 25817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-prod 15920  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-dvn 25821

This theorem is referenced by:  etransclem44  46307