Theorem etransclem41 46718

Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem41.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp	⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem41	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem41

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem41.mp	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2		etransclem41.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5		etransclem41.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		prmnn 16634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
9	4, 8	ltnled 11284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
10	1, 9	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
11	7	nnzd 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12	11, 3	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15		dvdsle 16270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
17	10, 16	mtand 821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18		fzfid 13926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19		elfzelz 13469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
20	19	znegcld 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
23	18, 22	fprodabs2 46040	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗))
24	23	mptru 1554	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗)
25	19	zcnd 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
26	25	absnegd 15405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = (abs‘𝑗))
27	19	zred 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28		0red 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32		elfzle1 13472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
33	28, 29, 27, 31, 32	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
34	28, 27, 33	ltled 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
35	27, 34	absidd 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
36	26, 35	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = 𝑗)
37	36	prodeq2i 15874	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
38	24, 37	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39		fprodfac 15929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
40	2, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
41	38, 40	eqtr4id 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = (!‘𝑀))
42	41	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
43	17, 42	mtbird 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
44		fzfid 13926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
45	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
46	44, 45	fprodzcl 15910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ)
47		dvdsabsb 16235	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
48	11, 46, 47	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
49	43, 48	mtbird 326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)
50		prmdvdsexp 16676	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
51	5, 46, 7, 50	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
52	49, 51	mtbird 326	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
53		etransclem41.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
54		etransclem11 46688	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
55		eqeq1 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
56	55	ifbid 4478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
57	56	cbvmptv 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
58	7, 2, 53, 54, 57	etransclem35 46712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
59	58	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
60	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
61	44, 60	fprodcl 15908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℂ)
62	7	nnnn0d 12489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
63	61, 62	expcld 14099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
64		nnm1nn0 12469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 14237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12181	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
69	63, 67, 68	divcan3d 11927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
70	59, 69	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
71	70	breq2d 5084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
72	52, 71	mtbird 326	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  {crab 3391  ifcif 4454   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  !cfa 14226  abscabs 15187  Σcsu 15639  ∏cprod 15859   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631   D^𝑛 cdvn 25849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-dvn 25853

This theorem is referenced by:  etransclem44  46721