Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem41 43342
Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem41.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
Assertion
Ref Expression
etransclem41 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem41
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem41.mp . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2 etransclem41.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32faccld 13729 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
43nnred 11724 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5 etransclem41.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 prmnn 16108 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
87nnred 11724 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
94, 8ltnled 10858 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
101, 9mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
117nnzd 12160 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1211, 3jca 515 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15 dvdsle 15748 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
1613, 14, 15sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
1710, 16mtand 816 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18 fzfid 13425 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19 elfzelz 12991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2019znegcld 12163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
2120zcnd 12162 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
2221adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
2318, 22fprodabs2 42662 . . . . . . . . 9 (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗))
2423mptru 1549 . . . . . . . 8 (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗)
2519zcnd 12162 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
2625absnegd 14892 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = (abs‘𝑗))
2719zred 12161 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28 0red 10715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29 1red 10713 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30 0lt1 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32 elfzle1 12994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
3328, 29, 27, 31, 32ltletrd 10871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
3428, 27, 33ltled 10859 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3527, 34absidd 14865 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
3626, 35eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = 𝑗)
3736prodeq2i 15358 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
3824, 37eqtri 2761 . . . . . . 7 (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39 fprodfac 15412 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
402, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
4138, 40eqtr4id 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = (!‘𝑀))
4241breq2d 5039 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
4317, 42mtbird 328 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
44 fzfid 13425 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
4520adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
4644, 45fprodzcl 15393 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ)
47 dvdsabsb 15714 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
4811, 46, 47syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
4943, 48mtbird 328 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)
50 prmdvdsexp 16149 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
515, 46, 7, 50syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
5249, 51mtbird 328 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
53 etransclem41.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
54 etransclem11 43312 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
55 eqeq1 2742 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
5655ifbid 4434 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
5756cbvmptv 5130 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
587, 2, 53, 54, 57etransclem35 43336 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
5958oveq1d 7179 . . . 4 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
6021adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
6144, 60fprodcl 15391 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℂ)
627nnnn0d 12029 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6361, 62expcld 13595 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
64 nnm1nn0 12010 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
657, 64syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6665faccld 13729 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 11725 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6866nnne0d 11759 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6963, 67, 68divcan3d 11492 . . . 4 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
7059, 69eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
7170breq2d 5039 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
7252, 71mtbird 328 1 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2113  {crab 3057  ifcif 4411   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  m cmap 8430  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   · cmul 10613   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  cn 11709  0cn0 11969  cz 12055  ...cfz 12974  cexp 13514  !cfa 13718  abscabs 14676  Σcsu 15128  cprod 15344  cdvds 15692  cprime 16105   D𝑛 cdvn 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-sum 15129  df-prod 15345  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-prm 16106  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-dvn 24612
This theorem is referenced by:  etransclem44  43345
  Copyright terms: Public domain W3C validator