Theorem etransclem41 44926

Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem41.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp	⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem41	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem41

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem41.mp	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2		etransclem41.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnred 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5		etransclem41.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		prmnn 16607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
9	4, 8	ltnled 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
10	1, 9	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
11	7	nnzd 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12	11, 3	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
13	12	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15		dvdsle 16249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
17	10, 16	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18		fzfid 13934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19		elfzelz 13497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
20	19	znegcld 12664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
22	21	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
23	18, 22	fprodabs2 44246	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗))
24	23	mptru 1549	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗)
25	19	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
26	25	absnegd 15392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = (abs‘𝑗))
27	19	zred 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28		0red 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30		0lt1 11732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32		elfzle1 13500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
33	28, 29, 27, 31, 32	ltletrd 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
34	28, 27, 33	ltled 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
35	27, 34	absidd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
36	26, 35	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = 𝑗)
37	36	prodeq2i 15859	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
38	24, 37	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39		fprodfac 15913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
40	2, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
41	38, 40	eqtr4id 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = (!‘𝑀))
42	41	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
43	17, 42	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
44		fzfid 13934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
45	20	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
46	44, 45	fprodzcl 15894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ)
47		dvdsabsb 16215	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
48	11, 46, 47	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
49	43, 48	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)
50		prmdvdsexp 16648	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
51	5, 46, 7, 50	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
52	49, 51	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
53		etransclem41.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
54		etransclem11 44896	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
55		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
56	55	ifbid 4550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
57	56	cbvmptv 5260	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
58	7, 2, 53, 54, 57	etransclem35 44920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
59	58	oveq1d 7419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
60	21	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
61	44, 60	fprodcl 15892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℂ)
62	7	nnnn0d 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
63	61, 62	expcld 14107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
64		nnm1nn0 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 14240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
69	63, 67, 68	divcan3d 11991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
70	59, 69	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
71	70	breq2d 5159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
72	52, 71	mtbird 325	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  {crab 3433  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8816  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480  ↑cexp 14023  !cfa 14229  abscabs 15177  Σcsu 15628  ∏cprod 15845   ∥ cdvds 16193  ℙcprime 16604   D^𝑛 cdvn 25363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-dvn 25367

This theorem is referenced by:  etransclem44  44929