Theorem etransclem41 47284

Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem41.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp	⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
etransclem41	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑗)

Proof of Theorem etransclem41

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem41.mp	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2		etransclem41.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
4	3	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5		etransclem41.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6		prmnn 16849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
9	4, 8	ltnled 11457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
10	1, 9	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
11	7	nnzd 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12	11, 3	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15		dvdsle 16480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
17	10, 16	mtand 828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18		fzfid 14116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19		elfzelz 13656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
20	19	znegcld 12805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
23	18, 22	fprodabs2 46606	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘ -𝑗))
24	23	mptru 1577	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘ -𝑗)
25	19	zcnd 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
26	25	absnegd 15619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘ -𝑗) = (abs‘𝑗))
27	19	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28		0red 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32		elfzle1 13660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
33	28, 29, 27, 31, 32	ltletrd 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
34	28, 27, 33	ltled 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
35	27, 34	absidd 15590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
36	26, 35	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘ -𝑗) = 𝑗)
37	36	prodeq2i 16086	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘ -𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
38	24, 37	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39		fprodfac 16140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
40	2, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
41	38, 40	eqtr4id 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗) = (!‘𝑀))
42	41	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
43	17, 42	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗))
44		fzfid 14116	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
45	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
46	44, 45	fprodzcl 16121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗 ∈ ℤ)
47		dvdsabsb 16445	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗)))
48	11, 46, 47	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗 ↔ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗)))
49	43, 48	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗)
50		prmdvdsexp 16891	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗))
51	5, 46, 7, 50	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗))
52	49, 51	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃))
53		etransclem41.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
54		etransclem11 47254	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
55		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
56	55	ifbid 4506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
57	56	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
58	7, 2, 53, 54, 57	etransclem35 47278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃)))
59	58	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
60	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
61	44, 60	fprodcl 16119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗 ∈ ℂ)
62	7	nnnn0d 12667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
63	61, 62	expcld 14289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
64		nnm1nn0 12647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
65	7, 64	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
66	65	faccld 14428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
69	63, 67, 68	divcan3d 12098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃))
70	59, 69	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃))
71	70	breq2d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀) -𝑗↑𝑃)))
72	52, 71	mtbird 328	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  !cfa 14417  abscabs 15401  Σcsu 15853  ∏cprod 16072   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846   D^𝑛 cdvn 26184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-prod 16073  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-dvn 26188

This theorem is used by:  etransclem44  47287