Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem41 44764
Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is the first part of case 2: proven in in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem41.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem41.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem41.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem41.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
Assertion
Ref Expression
etransclem41 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem41
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑘 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem41.mp . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
2 etransclem41.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32faccld 14226 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
43nnred 12209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
5 etransclem41.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 prmnn 16593 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
87nnred 12209 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
94, 8ltnled 11343 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑀) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
101, 9mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
117nnzd 12567 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1211, 3jca 512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ))
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
15 dvdsle 16235 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑀) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀)))
1613, 14, 15sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 ∥ (!‘𝑀)) → 𝑃 ≤ (!‘𝑀))
1710, 16mtand 814 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (!‘𝑀))
18 fzfid 13920 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (1...𝑀) ∈ Fin)
19 elfzelz 13483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2019znegcld 12650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
2120zcnd 12649 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
2221adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
2318, 22fprodabs2 44084 . . . . . . . . 9 (⊤ → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗))
2423mptru 1548 . . . . . . . 8 (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗)
2519zcnd 12649 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
2625absnegd 15378 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = (abs‘𝑗))
2719zred 12648 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
28 0red 11199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29 1red 11197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30 0lt1 11718 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
32 elfzle1 13486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
3328, 29, 27, 31, 32ltletrd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
3428, 27, 33ltled 11344 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
3527, 34absidd 15351 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘𝑗) = 𝑗)
3626, 35eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (abs‘-𝑗) = 𝑗)
3736prodeq2i 15845 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
3824, 37eqtri 2759 . . . . . . 7 (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗
39 fprodfac 15899 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
402, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)𝑗)
4138, 40eqtr4id 2790 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) = (!‘𝑀))
4241breq2d 5153 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑀)))
4317, 42mtbird 324 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
44 fzfid 13920 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
4520adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℤ)
4644, 45fprodzcl 15880 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ)
47 dvdsabsb 16201 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
4811, 46, 47syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃 ∥ (abs‘∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)))
4943, 48mtbird 324 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗)
50 prmdvdsexp 16634 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
515, 46, 7, 50syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗))
5249, 51mtbird 324 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
53 etransclem41.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
54 etransclem11 44734 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
55 eqeq1 2735 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑗 = 0))
5655ifbid 4545 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
5756cbvmptv 5254 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 0)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
587, 2, 53, 54, 57etransclem35 44758 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
5958oveq1d 7408 . . . 4 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))))
6021adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
6144, 60fprodcl 15878 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗 ∈ ℂ)
627nnnn0d 12514 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6361, 62expcld 14093 . . . . 5 (𝜑 → (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
64 nnm1nn0 12495 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
657, 64syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6665faccld 14226 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6766nncnd 12210 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6866nnne0d 12244 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6963, 67, 68divcan3d 11977 . . . 4 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
7059, 69eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
7170breq2d 5153 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
7252, 71mtbird 324 1 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  {crab 3431  ifcif 4522   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6532  (class class class)co 7393  m cmap 8803  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   · cmul 11097   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426  -cneg 11427   / cdiv 11853  cn 12194  0cn0 12454  cz 12540  ...cfz 13466  cexp 14009  !cfa 14215  abscabs 15163  Σcsu 15614  cprod 15831  cdvds 16179  cprime 16590   D𝑛 cdvn 25310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-prod 15832  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-dvn 25314
This theorem is referenced by:  etransclem44  44767
  Copyright terms: Public domain W3C validator