Theorem absrpcld 15541

Description: The absolute value of a nonzero number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absne0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
absrpcld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem absrpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absne0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		absrpcl 15378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  ℂcc 11125  0cc0 11127  ℝ⁺crp 13045  abscabs 15324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326

This theorem is used by:  rlimuni  15640  climuni  15642  rlimrecl  15670  reccn2  15687  rlimno1  15744  georeclim  15964  4sqlem11  17050  recld2  25044  c1liplem1  26226  aalioulem2  26572  aaliou2b  26580  ulmdvlem1  26639  abelthlem7  26677  tanregt0  26779  eff1olem  26788  logcnlem2  26883  logcnlem4  26885  logcn  26887  asinlem3  27111  lgamgulmlem2  27269  lgamgulmlem5  27272  lgambdd  27276  lgamucov  27277  ftalem2  27313  ftalem4  27315  dchrabs  27499  sinccvglem  36254  unbdqndv2lem2  37210  readvrec  43240  rencldnfilem  43664  pellexlem6  43678  modabsdifz  43830  jm2.19  43837  imo72b2lem1  45012  cvgdvgrat  45140  binomcxplemnotnn0  45183  abssubrp  46112  dstregt0  46118  absimnre  46307  lptre2pt  46471  0ellimcdiv  46480  limclner  46482  climxrre  46581  cnrefiisplem  46660  cncficcgt0  46719