Theorem absrpcld 15393

Description: The absolute value of a nonzero number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absne0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
absrpcld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem absrpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absne0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		absrpcl 15230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  0cc0 11044  ℝ⁺crp 12927  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  rlimuni  15492  climuni  15494  rlimrecl  15522  reccn2  15539  rlimno1  15596  georeclim  15814  4sqlem11  16902  recld2  24679  c1liplem1  25877  aalioulem2  26217  aaliou2b  26225  ulmdvlem1  26285  abelthlem7  26324  tanregt0  26424  eff1olem  26433  logcnlem2  26528  logcnlem4  26530  logcn  26532  asinlem3  26757  lgamgulmlem2  26916  lgamgulmlem5  26919  lgambdd  26923  lgamucov  26924  ftalem2  26960  ftalem4  26962  dchrabs  27147  sinccvglem  35632  unbdqndv2lem2  36471  readvrec  42323  rencldnfilem  42781  pellexlem6  42795  modabsdifz  42948  jm2.19  42955  imo72b2lem1  44131  cvgdvgrat  44275  binomcxplemnotnn0  44318  abssubrp  45247  dstregt0  45253  absimnre  45445  lptre2pt  45611  0ellimcdiv  45620  limclner  45622  climxrre  45721  cnrefiisplem  45800  cncficcgt0  45859